Les équations interviennent dans tous les domaines de mathématiques. De plus, nous pouvons les utiliser pour modéliser et résoudre divers problèmes de la vie réelle. Comme les équations ont un rôle important, cela veut dire qu'il s'agit d'un concept à maîtriser !
Équation : définition
Une équation est une phrase mathématique, impliquant une quantité inconnue (ou variable), dans laquelle il y a une égalité entre deux valeurs. L'inconnue est représentée par une lettre.
\(2x + 5 = 7\) et \(z^2 - 9 = 0\) sont des équations. La variable dans la première équation est \(x\) et dans la seconde, la variable est \(z\).
Pour écrire de façon plus simple et pour éviter des confusions, nous n'écrivons pas généralement le signe de multiplication dans les équations et dans les autres expressions algébriques. Donc, \(2x\) veut dire deux fois \(x\).
Le nombre par lequel nous multiplions une variable est appelé le coefficient.
Dans l'équation \(2x + 5 = 7\), le coefficient de \(x\) est \(2\).
Les autres nombres (qui ne sont pas des coefficients ou des puissances) sont appelés constantes.
Dans l'équation \(2x + 5 = 7\), les nombres \(5\) et \(7\) sont des constantes.
Avec une équation, le but est souvent de trouver la valeur inconnue, qui sera donc la solution de l'équation.
Une équation peut avoir une solution, plusieurs solutions ou aucune solution.
Quand l'équation possède une ou plusieurs solutions, nous les trouvons en manipulant les deux côtés (ou membres) de l'équation avec des règles de l'algèbre. Notre approche dépendra du type d'équation.
Types d'équations
Il y a tellement de types d'équations ! Donc, nous ne décrirons que les principaux dans cet article. Commençons avec le plus simple.
Une équation du premier degré (ou linéaire) est une équation dont la puissance plus élevée de la variable est \(1\).
\(2x + 5 = 7\) est une équation du premier degré. Par contre, \(z^2 - 9 = 0\) ne l'est pas comme la variable \(z\) est élevée au carré.
Il y a également d'autres types d'équations, qui contiennent des puissances plus élevées.
Une équation de second degré (ou quadratique) est une équation dont la puissance la plus élevée de la variable est \(2\).
\(z^2 - 9 = 0\) est une équation du second degré. \(2a^2 +4a + 7 = 0\) l'est aussi.
Et s'il y avait plus d'une inconnue dans une équation ? Aucun problème ! En général, quand il y a \(n\) inconnues, il nous faut \(n\) équations indépendantes pour trouver ces inconnues. Nous allons donc résoudre un système d'équations. Résoudre un système d'équations n'est pas si difficile, mais il faut des méthodes spécifiques.
\( \begin{cases} xy = 2 \\ x +y = -3 \end{cases} \) est un système d'équations.
Nous pouvons aussi nous intéresser aux équations trigonométriques et aux équations différentielles, mais il faut bien commencer quelque part. Donc, dans cet article, nous ne détaillerons que la résolution des équations du premier degré.
Résoudre des équations
Pour résoudre des équations, il faut savoir comment les manipuler. La règle la plus importante pour résoudre des équations est qu'il faut toujours faire les mêmes opérations sur les deux membres. Cela fait que l'égalité reste vraie. Par exemple, si nous savons que \(a = b\), et nous ajoutons \(2\) aux deux côtés, alors l'égalité devient \(a + 2 = b + 2\), ce qui est toujours vrai. Nous pouvons faire la même chose avec les autres opérations binaires habituelles, à savoir la soustraction, la multiplication et la division.
Afin de résoudre une équation, nous devons chercher à « isoler » la variable. En d'autres termes, nous cherchons à faire en sorte qu'il n'y ait que la variable dans un côté de l'équation. Cela veut dire que nous devons effectuer les opérations inverses de celles impliquées dans l'équation — et dans l'ordre inverse aussi.
L'opération inverse de l'addition est la soustraction et l'opération inverse de la multiplication est la division.
Ces idées peuvent sembler assez abstraites, il faut donc regarder quelques exemples !
Résolvons l'équation \(x + 5 = 7\).
Nous cherchons à isoler la variable \(x\). Observe que \(5\) s'ajoute à \(x\) ici. Donc, pour que \(x\) soit seul, nous devons soustraire \(5\) des deux côtés. Ainsi, nous avons \(x + 5 - 5 = 7 - 5\) et enfin, \(x = 2\)
Nous devons toujours effectuer les mêmes opérations aux deux côtés de l'équation.
Résolvons l'équation \(-3a = 18\).
Nous cherchons à isoler la variable \(a\). Observe que \(q\) est multiplié par \(-3\) ici. Donc, pour que \(a\) soit seul, nous devons diviser les deux côtés par \(-3\) . Ainsi, nous avons \(\frac{-3a}{-3} = \frac{18}{-3}\) et enfin, \(a = -6\).
Les fractions dans les équations peuvent faire peur à certains — mais pas à toi — car tu auras lu l'exemple ci-dessous.
Résolvons l'équation \(\frac{2y}{3} = 3\).
Il y a deux façons d'y réfléchir, mais c'est (plus ou moins) la même chose.
1. Nous pouvons considérer que la fraction représente la division de \(2y\) par \(3\). Dans ce cas, nous devons multiplier les deux côtés de l'équation par \(3\), et ensuite diviser par \(2\).
\(\frac{2y}{3} = 3\)
\(2y = 3 \times 3\)
\(2y = 9\)
\(y = \frac{9}{2}\)
2. Nous pouvons considérer que nous multiplions \(y\) par \(\frac{2}{3}\). Dans ce cas, devons diviser les deux côtés de l'équation par \(\frac{2}{3}\).
\(\frac{2y}{3} = 3\)
\(\frac{2y}{3} \div \frac{2}{3} = 3 \div \frac{2}{3}\)
\( y = 3 \times \frac{3}{2} \)
\(y = \frac{9}{2}\)
Essayons maintenant de synthétiser notre approche pour pouvoir résoudre n'importe quelle équation du premier degré.
Équations, premier degré
Pour résoudre une équation du premier degré, il faut suivre ces étapes.
Nous mettons toutes les constantes dans un côté de l'équation.
Nous mettons tous les termes contenant la variable dans l'autre côté de l'équation.
Nous divisons les deux côtés par le coefficient de la variable.
Appliquons cette stratégie à un exemple.
Résolvons l'équation \(x + 5 = 7 - x \).
Mettons toutes les constantes dans un côté de l'équation : \(x + 5 - 5 = 7 - 5 - x\).
Simplifions : \(x = 2 - x \)
Mettons toutes les constantes dans l'autre côté de l'équation : \(x + x = 7 - x + x\)
Simplifions : \(2x = 2\)
Divisons les deux côtés par le coefficient de la variable : \(\frac{2x}{2} = \frac{2}{2}\)
Enfin, nous obtenons \(x = 1\).
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