Matrices

Comment lire une matrice ?

Fig. 1 - Description d'une matrice de taille m x n

Notation matricielle

La notation matricielle est un moyen pratique de représenter et de travailler avec des matrices. En notation matricielle, une matrice s'écrit avec une majuscule, comme A, B ou C. Les dimensions de la matrice s'écrivent en indice, comme A_i,j où i représente la ligne et j la colonne.

Dans la notation matricielle, les opérations matricielles sont écrites en utilisant la notation matricielle. Par exemple, l'addition matricielle s'écrit A + B, la multiplication s'écrit AB, la division s'écrit A / B (= A x B^-1) et la soustraction s'écrit A - B.

Matrices définitions

Matrice en ligne

Une matrice en ligne est une matrice dans laquelle les éléments sont disposés sur une seule ligne. Par exemple, la matrice

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 5\end{array}9\begin{array}{ccc}7& 0& 5\end{array}\right)$

est une matrice en ligne.

Matrice en colonnes

Une matrice en colonnes est une matrice qui ne comporte qu'une seule colonne. Par exemple, la matrice

$\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\\ 0\end{array}\right)$

est une matrice en colonnes.

Matrice carrée d'ordre n

Une matrice carrée d'ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes. Par exemple, la matrice

$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 8\\ 2& -9& 0\\ -1& 1& 8\end{array}\right)$

est une matrice carrée d'ordre 3.

Matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments extérieurs à la diagonale principale sont nuls. Par exemple, la matrice

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$

est une matrice diagonale.

Matrice nulle d'ordre n

Une matrice nulle d'ordre n est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls. Par exemple la matrice

$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

est une matrice nulle d'ordre 3.

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont égaux à 0. Elle possède plusieurs propriétés :

• La transposée d'une matrice nulle est aussi une matrice nulle.
• Le produit d'une matrice nulle et de toute autre matrice est une matrice nulle.
• Une matrice nulle est son propre inverse.
• Le déterminant d'une matrice nulle est égal à 0.

Matrice symétrique

Une matrice symétrique est une matrice carrée dans laquelle l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est égal à l'élément de la j-ème ligne et de la i-ème colonne, pour tous les i et j. Par exemple, la matrice

$\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 6\\ 5& 2& 9\\ 6& 9& 3\end{array}\right)$

est une matrice symétrique.

Transposée d'une matrice

La transposée d'une matrice est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice d'origine. Par exemple, la transposée de la matrice

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$

est la matrice

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$

Opérations matricielles

Les opérations matricielles comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. L'addition matricielle consiste à additionner deux matrices. La soustraction matricielle consiste à soustraire une matrice d'une autre. La multiplication matricielle consiste à multiplier deux matrices. La division matricielle consiste à multiplier une matrice par l'inverse d'une autre.

Les matrices peuvent être utilisées pour représenter et résoudre des systèmes d'équations linéaires. Dans cette application, les opérations matricielles sont utilisées pour trouver la solution d'un système d'équations. L'équation matricielle est écrite sous forme de matrice, ce qui est une façon particulière d'écrire l'équation en utilisant des matrices.

Déterminant et inverse

Il existe également les opérations matricielles spéciales, telles que le déterminant et l'inverse. Le déterminant est une valeur qui peut être calculée pour toute matrice carrée. L'inverse d'une matrice est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par la matrice d'origine, donne la matrice identité. La matrice identité est une matrice spéciale avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.

Soit A = $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ alors A^-1 = $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ si et seulement si det(A) $\ne$0

Les matrices sont un outil puissant qui peut être utilisé de diverses manières. Elles constituent un moyen pratique de représenter et de travailler avec des ensembles de données et des équations. Avec la notation matricielle, les opérations matricielles peuvent être réalisées facilement et avec précision. La matrice permet d'effectuer facilement des calculs mathématiques et scientifiques.