Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, de symboles ou d'expressions disposés en lignes et en colonnes. Le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice est appelé sa dimension ou son ordre. Par exemple, une matrice comportant deux rangées et trois colonnes est appelée matrice 2 x 3. Les matrices sont couramment utilisées dans les calculs mathématiques et scientifiques.
Les matrices sont souvent écrites entre parenthèses, avec les nombres disposés en lignes et en colonnes. Par exemple, la matrice ci-dessous représente une liste de chiffres :
Les matrices peuvent être utilisées pour représenter des données de nombreuses façons différentes. Par exemple, elles peuvent être utilisées pour représenter la position de particules dans un espace tridimensionnel. Dans ce cas, chaque ligne de la matrice représente la coordonnée x, la coordonnée y, et la coordonnée z d'une particule.
Il existe de nombreux types de matrices, notamment les matrices carrées, les matrices non carrées, les matrices lignes, les matrices colonnes, etc. Chaque type de matrice possède des propriétés et des applications qui lui sont propres.
Comment lire une matrice ?
La matrice ci-dessous est une matrice 3 x 3.
On dira que dans cette matrice, il y a trois lignes et trois colonnes. La première ligne contient les éléments 1, 2et 3. La deuxième ligne contient les éléments 4, 5 et 6. La troisième ligne contient les éléments 7, 8 et 9.
Pour lire une matrice, nous devons d'abord identifier la ligne qui nous intéresse. Par exemple, si nous voulons trouver l'élément dans la première ligne et la première colonne, nous dirons que l'élément est 1. Si nous voulons trouver l'élément dans la deuxième ligne et la troisième colonne nous dirons que l'élément est 6.
Fig. 1 - Description d'une matrice de taille m x n
On parle d'une matrice de taille m x n pour désigner les lignes et les colonnes.
Notation matricielle
La notation matricielle est un moyen pratique de représenter et de travailler avec des matrices. En notation matricielle, une matrice s'écrit avec une majuscule, comme A, B ou C. Les dimensions de la matrice s'écrivent en indice, comme Ai,j où i représente la ligne et j la colonne.
Dans la notation matricielle, les opérations matricielles sont écrites en utilisant la notation matricielle. Par exemple, l'addition matricielle s'écrit A + B, la multiplication s'écrit AB, la division s'écrit A / B (= A x B-1) et la soustraction s'écrit A - B.
Il est important de noter que nous pouvons utiliser des parenthèses ou des crochets pour entourer une matrice. Les deux notations sont correctes.
Matrices définitions
Matrice en ligne
Une matrice en ligne est une matrice dans laquelle les éléments sont disposés sur une seule ligne. Par exemple, la matrice
est une matrice en ligne.
Matrice en colonnes
Une matrice en colonnes est une matrice qui ne comporte qu'une seule colonne. Par exemple, la matrice
est une matrice en colonnes.
Matrice carrée d'ordre n
Une matrice carrée d'ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes. Par exemple, la matrice
est une matrice carrée d'ordre 3.
Matrice diagonale
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments extérieurs à la diagonale principale sont nuls. Par exemple, la matrice
est une matrice diagonale.
Matrice nulle d'ordre n
Une matrice nulle d'ordre n est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls. Par exemple la matrice
est une matrice nulle d'ordre 3.
Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont égaux à 0. Elle possède plusieurs propriétés :
- La transposée d'une matrice nulle est aussi une matrice nulle.
- Le produit d'une matrice nulle et de toute autre matrice est une matrice nulle.
- Une matrice nulle est son propre inverse.
- Le déterminant d'une matrice nulle est égal à 0.
Matrice symétrique
Une matrice symétrique est une matrice carrée dans laquelle l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est égal à l'élément de la j-ème ligne et de la i-ème colonne, pour tous les i et j. Par exemple, la matrice
est une matrice symétrique.
Il faut voir la diagonale comme l'axe de symétrie.
Transposée d'une matrice
La transposée d'une matrice est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice d'origine. Par exemple, la transposée de la matrice
est la matrice
La transposée de la matrice A est notée tA
Opérations matricielles
Les opérations matricielles comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. L'addition matricielle consiste à additionner deux matrices. La soustraction matricielle consiste à soustraire une matrice d'une autre. La multiplication matricielle consiste à multiplier deux matrices. La division matricielle consiste à multiplier une matrice par l'inverse d'une autre.
A =
B =
A + B =
C =
D =
C - D =
Les matrices peuvent être utilisées pour représenter et résoudre des systèmes d'équations linéaires. Dans cette application, les opérations matricielles sont utilisées pour trouver la solution d'un système d'équations. L'équation matricielle est écrite sous forme de matrice, ce qui est une façon particulière d'écrire l'équation en utilisant des matrices.
Déterminant et inverse
Il existe également les opérations matricielles spéciales, telles que le déterminant et l'inverse. Le déterminant est une valeur qui peut être calculée pour toute matrice carrée. L'inverse d'une matrice est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par la matrice d'origine, donne la matrice identité. La matrice identité est une matrice spéciale avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
Le déterminant d'une matrice est un nombre qui est associé à chaque matrice carrée. Le déterminant d'une matrice A est désigné par det(A), ou |A|. Le déterminant d'une matrice 2x2 est donné par :
det(A) = a1,1 x a2,2 - a1,2 x a2,1
a1,2 représente la valeur de la matrice dans la ligne 1 et la colonne 2.
L'inverse d'une matrice est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par la matrice originale, donne la matrice identité. L'inverse d'une matrice A est noté A-1.
Soit A = alors A-1 = si et seulement si det(A) 0
Si le déterminant d'une matrice n'est pas égal à zéro, alors la matrice a un inverse et l'inverse est donné par : A-1 = où com(A) est la comatrice de A.
Les matrices sont un outil puissant qui peut être utilisé de diverses manières. Elles constituent un moyen pratique de représenter et de travailler avec des ensembles de données et des équations. Avec la notation matricielle, les opérations matricielles peuvent être réalisées facilement et avec précision. La matrice permet d'effectuer facilement des calculs mathématiques et scientifiques.
Matrices - Points clés
- Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, de symboles ou d'expressions disposés en lignes et en colonnes.
- On parle d'une matrice de taille m x n pour désigner le nombre de lignes et de colonnes, respectivement.
- Nous pouvons utiliser des parenthèses ou des crochets pour entourer une matrice.
- Une matrice symétrique est une matrice carrée dans laquelle l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est égal à l'élément de la j-ème ligne et de la i-ème colonne, pour tous les i et j.
- La transposée d'une matrice est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice d'origine.
- Le déterminant d'une matrice est un nombre qui est associé à chaque matrice carrée. Le déterminant d'une matrice A est désigné par det(A), ou |A|.
- L'inverse d'une matrice A est noté A-1.
Références
- Fig. 1 : Description d'une matrice de taille m x n de Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Matrice.svg) par HB (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:HB) sous license Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic
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