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Limites de Précision

Q: Qu'est-ce que la limite de précision en mathématiques?

La limite de précision se réfère au degré de détail et de discrimination qu'une mesure ou un calcul peut atteindre. Elle est souvent influencée par l'instrument de mesure ou la méthode utilisée.

Q: Pourquoi les limites de précision sont-elles importantes?

Les limites de précision sont importantes car elles déterminent la fiabilité et la validité des résultats. Sans elles, les calculs et mesures peuvent être incorrects ou trompeurs.

Q: Comment calculer une limite de précision?

Pour calculer une limite de précision, il faut connaître le plus petit incrément que peut mesurer l'instrument utilisé. Par exemple, si une règle mesure en millimètres, sa limite de précision est de 1 mm.

Q: Quelle est la différence entre précision et exactitude?

La précision se réfère à la cohérence des mesures répétées, tandis que l'exactitude se réfère à la proximité de la mesure avec la valeur réelle. Une mesure peut être précise sans être exacte, et vice versa.

Supposons que nous mesurions la longueur d'une ficelle à l'aide d'une règle et que nous disions qu'elle fait 8,2 cm. Eh bien, ce n'est peut-être pas exactement 8,2 cm... c'est peut-être 8,23 cm, mais comme notre règle ne peut mesurer les choses qu'au millimètre près, 8,2 cm est le maximum que nous puissions obtenir. Dans ce cas, le millimètre le plus proche, ou 0,1 cm, est appelé limite de précision. Dans cet article, nous allons tout apprendre sur ce que sont les limites de précision et comment nous pouvons apprendre à les gérer dans les exemples. Commençons par définir ce que l'on entend réellement par limite de précision.

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Dernière mise à jour: 01.01.1970
Temps de lecture: 10 min

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Règles relatives aux limites de précision

La limite de précision d'une mesure est l'éventail des valeurs possibles que peut réellement prendre une mesure lorsqu'elle est donnée.

La longueur d'une pièce est de 10 mètres au mètre près. Dans ce cas, le degré de précision est d'un mètre.
Connie pèse 65 kg à 5 kg près. Dans ce cas, le degré de précision est de 5 kg.
La longueur d'une ficelle est de 10,2 cm à 0,1 cm près. Dans ce cas, le degré de précision est de 0,1 cm.
Sébastien a gagné 110 £ hier, à 10 £ près. Dans ce cas, le degré de précision est de 10 £.

Nous pourrions dire que nous allons rencontrer nos amis à 10 heures. Mais est-ce que nous voulons dire exactement 10 heures ? Ce que nous voulons vraiment dire pourrait être 10 heures plus ou moins dix minutes. Dans ce cas, la limite inférieure est 9 h 50 et la limite supérieure est 10 h 10. Toute heure en dehors de cette fourchette est considérée comme précoce ou tardive. Dans la section suivante, nous examinerons les limites supérieures et inférieures plus en détail.

Formule des limites de précision

Pour déterminer les limites de précision, nous devons calculer les limites supérieures et inférieures. Celles-ci peuvent être trouvées à l'aide d'une formule. Définissons d'abord ce que nous entendons par limites supérieure et inférieure.

La limite inférieure d 'une mesure est la plus petite valeur possible qu'elle pourrait avoir lorsqu'une mesure arrondie est donnée. De même, la borne supérieure est la plus grande valeur possible.

Pour déterminer la limite supérieure, il suffit de diviser par deux le degré de précision et de l'ajouter à la mesure indiquée. Pour déterminer la limite inférieure, on divise par deux le degré de précision et on le soustrait à la mesure indiquée.

Limites supérieure et inférieure de la précision

Nous allons maintenant examiner quelques exemples permettant de trouver des limites supérieures et inférieures.

Un sac d'oranges pèse 3 kg au kilogramme près. Quelles sont les bornes inférieure et supérieure des poids des oranges ?

Solution :

Suppose que le sac d'oranges pèse 2,8 kg. Eh bien, si nous arrondissons le poids au kilogramme le plus proche, nous dirons que les oranges pesaient 3 kg. Ainsi, le poids réel des oranges pourrait être de 2,8 kg. De même, le poids pourrait être de 2,6 kg ou de 2,55 kg.

La question est de savoir quel est le plus petit poids des oranges qui pourrait être arrondi à 3 kg. Ici, le degré de précision est de 1 kg, donc nous le divisons par deux pour obtenir 0,5 kg et nous le soustrayons de 3 kg pour obtenir 2,5 kg. La limite inférieure est donc de 2,5 kg .

La limite supérieure est un peu plus confuse. Si nous prenons la moitié du degré de précision et que nous l'ajoutons à 3 kg, nous obtenons 3,5 kg, mais il est certain que cela s'arrondirait à 4 kg...

Quelle est la plus grande valeur possible qui s'arrondirait à 3 kg ? Les oranges pourraient peser 3,4 kg parce qu'elles seraient arrondies à 3 kg. De même, les oranges pourraient peser 3,49 kg, car cette valeur s'arrondirait également à 3 kg. Si nous disons que les oranges pèsent 3,4999 kg, cela s'arrondira à 3 kg, mais si nous disons que les oranges pèsent 3,5 kg, cela s'arrondira à 4 kg.

La réponse est qu'il n'y a pas de plus grande valeur. La plus grande valeur serait 3,49 récurrents mais il n'est pas possible qu'un sac d'oranges pèse 3,49 kilogrammes récurrents. Par conséquent, même si 3,5 kg s'arrondit à 4 kg, nous dirons que 3,5 kg est la borne supérieure parce qu'il n'y a pas de plus grande valeur inférieure à 3,5 kg.

Par conséquent, dans ce cas, la borne inférieure est 2,5 kg et la borne supérieure est 3,5 kg.

Exemples de limites de précision

Ici, nous allons examiner une question typique d'examen GCSE pour les limites de précision.

La masse d'une pomme moyenne est de 175 g au gramme près. Quelles sont la plus petite et la plus grande masse possibles pour la pomme ?

Solution :

Ici, le degré de précision est de 1 gramme. Si on divise par deux 1 gramme, on obtient 0,5 gramme. Pour obtenir la limite inférieure, nous soustrayons 0,5 g de 175 g pour obtenir 174,5 g. Pour obtenir la limite supérieure, nous ajoutons 0,5 g à 175 g pour obtenir 175,5 g.

Si nous définissions la masse de la pomme comme étant m, nous pourrions dire $174.5 \leq m < 175.5$ . C'est ce qu'on appelle l'intervalle d'erreur. Nous utilisons l'inégalité < pour la borne supérieure afin de dire que la masse de la pomme ne peut pas être égale à 175,5 g, mais qu'elle peut être inférieure à 175,5 g.

Un intervalle d'erreur est la plage de valeurs possibles que peut représenter une mesure. Il peut être formé en exprimant la borne supérieure et la borne inférieure de la mesure par une inégalité.

Une voiture roule à une vitesse de 70 mph, à 10 mph près. Quelles sont les vitesses maximale et minimale possibles de la voiture ?

Solution :

Ici, le degré de précision est de 10 mph. Si on divise par deux 10 mph, on obtient 5 mph. En ajoutant 5 mph à 70 mph, nous obtenons la limite supérieure de 75 mph. En soustrayant 5 mph de 70 mph, nous obtenons la limite inférieure de 65 mph.

Si nous avons défini la vitesse de la voiture comme étant x mph, nous pourrions dire que la gamme des vitesses possibles de la voiture peut être exprimée comme suit $65 \leq x < 75$ .

Application des limites de précision

Il s'agit de questions de type GCSE où les limites de précision sont utilisées, mais qui portent sur d'autres sujets.

Matthew a mesuré la longueur de la hauteur et de la base d'un triangle.

Il a mesuré la hauteur à 16 cm près et la base à 20 cm près. Calcule l'aire maximale possible du triangle.

Solution :

Rappelle-toi que l'aire d'un triangle est donnée par $\frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t$ .

La surface maximale possible est obtenue en utilisant les valeurs maximales possibles pour la base et la hauteur.

La limite supérieure de la hauteur est de 16,5 cm et la limite supérieure de la base est de 25 cm. La surface maximale possible est donc $\frac{1}{2} \times 16.5 \times 25 = 206.25 c m^{2}$ .

Tony a fait une randonnée à vélo de 40 miles à 10 miles près. Il s'est déplacé à une vitesse constante de 15 mph à la mph près. Quel est le temps minimum en lequel il a terminé son parcours à vélo ?

Solution :

Rappelle que $s p e e d = \frac{d i s \tan c e}{t i m e}$ . En réarrangeant cela, on obtient que , $t i m e = \frac{d i s \tan c e}{s p e e d}$ . Pour obtenir le temps le plus petit possible, nous devons diviser la plus petite distance possible par la plus grande vitesse possible. La distance minimale est de 35 miles puisque 40 a été arrondi à la dizaine la plus proche. De même, la vitesse maximale est de 15,5 mph. Le temps minimum est donc de $\frac{35}{15.5} = 2.26$ heures.

Voici le triangle ABC.

L'angle ABC est un angle droit.

BC = 10 cm au centimètre près. L'angle ACB est de 34 degrés au degré près.

Détermine les limites supérieure et inférieure de la longueur de AB.

Appliquer les limites de la précision, Triangle ABC avec côté AB=10cm et angle ACB=34 degrés, Jordan Madge Triangle ABC avec côté AB=10 cm et angle ACB=34 degrés, StudySmarter Originals

Solution :

Ici, nous pouvons utiliser la trigonométrie. Si tu n'es pas sûr de tes connaissances en trigonométrie, tu devrais peut-être revoir ce texte avant de répondre à cette question. Cependant, si tu te sens à l'aise avec la trigonométrie, continue à lire !

Nous avons le côté adjacent et nous cherchons à trouver le côté opposé. Nous utilisons donc le rapport trigonométrique tan.

Rappelle-toi que $\tan θ = \frac{O}{A}$ où O est le côté opposé, A est le côté adjacent et $θ$ est l'angle. Nous essayons de trouver le côté opposé, nous pouvons donc dire que $O = A \tan θ$ .

Pour la borne inférieure, nous devons trouver la valeur de A et de $θ$ qui donnent la plus petite valeur possible pour le côté opposé. Dans ce cas, c'est la borne inférieure de A et de $θ$ qui permettent d'atteindre cet objectif. La borne inférieure de A est 9,5 cm et celle de $θ$ est $33.5 °$ . Ainsi, la borne inférieure du côté opposé isid="5304794" role="math" $O = 9.5 \tan (33.5) = 6.29 c m$ .

De même, pour la borne supérieure, nous devons trouver les valeurs de A et de $θ$ qui donnent la plus grande valeur possible. La borne supérieure de A est 10,5 cm et la borne supérieure de l'angle est $34.5 °$ . Ainsi, la borne supérieure du côté opposé est isid="5304795" role="math" $O = 10.5 \tan (34.5) = 7.22 c m$ .

Ainsi, la borne inférieure du côté AB est 6,29 cm et la borne supérieure est 7,22 cm.

Limites de précision - Points clés à retenir

La limite de précision d'une mesure est la plage de valeurs possibles qu'une mesure peut réellement être lorsqu'une mesure est donnée.
La limite inférieure de la mesure est la plus petite valeur possible qu'elle pourrait être lorsqu'une mesure arrondie est donnée. De même, la limite supérieure est la plus grande valeur possible qu'elle pourrait être.
L'intervalle d'erreur est l'étendue des valeurs possibles lorsqu'une mesure est lancée. Il est défini à l'aide d'inégalités.

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Questions fréquemment posées en Limites de Précision

Qu'est-ce que la limite de précision en mathématiques?

La limite de précision se réfère au degré de détail et de discrimination qu'une mesure ou un calcul peut atteindre. Elle est souvent influencée par l'instrument de mesure ou la méthode utilisée.

Pourquoi les limites de précision sont-elles importantes?

Les limites de précision sont importantes car elles déterminent la fiabilité et la validité des résultats. Sans elles, les calculs et mesures peuvent être incorrects ou trompeurs.

Comment calculer une limite de précision?

Pour calculer une limite de précision, il faut connaître le plus petit incrément que peut mesurer l'instrument utilisé. Par exemple, si une règle mesure en millimètres, sa limite de précision est de 1 mm.

Quelle est la différence entre précision et exactitude?

La précision se réfère à la cohérence des mesures répétées, tandis que l'exactitude se réfère à la proximité de la mesure avec la valeur réelle. Une mesure peut être précise sans être exacte, et vice versa.

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