Fractions algébriques

$a+b$, $2x-1$, $\frac{y}{5}$, $uv-3b$ sont des exemples d'expressions algébriques.

Trouve le PGCD entre la paire algébrique ^24x2y6 et ^6x3y4.

Solution

Ici, tu souhaites trouver l'expression la plus élevée qui est un facteur des deux expressions algébriques. La meilleure approche consiste à les diviser en leurs composants séparément.

Pour ^24x2y6, tu as 24, ^x2 et ^y6, et pour ^6x3y4, tu as 6, ^x3 et ^y4.

Compare maintenant les composantes similaires et trouve leur PGCD par paires.

24 et 6 : Le PGCD entre 24 et 6 est 6.

^x2 et ^x3: Lorsqu'il s'agit d'exposants, l'expression dont la puissance est la plus faible est le PGCD, ce qui signifie que ^x2 est le PGCD.

^y6 et ^y4: Lorsqu'il s'agit d'exposants, l'expression dont la puissance est la plus faible est le PGCD, ce qui signifie que ^y4 est le PGCD.

L'étape suivante consiste à multiplier tous tes PGCD à partir des comparaisons, pour obtenir

$6\times x^2\times y^4=6x^2{y}^4$

Par conséquent, le PGCD entre la paire algébrique : ^24x2y6 et ^6x3y4 est ^6x2y4.

Simplifie ce qui suit,

$\frac{15t^3{s}^4}{20t{s}^5}$

Solution

Étape 1.

Trouve le PGCD entre le numérateur et le dénominateur. En appliquant le même raisonnement que celui expliqué dans l'exemple précédent, le PGCD entre ^15t3s4 et ^20ts5 est ^5ts4.

Étape 2.

Divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD, pour obtenir

$\frac{15t^3{s}^4÷5t{s}^4}{20t{s}^5÷5t{s}^4}=\frac{(15÷5)(t^3÷t)(s^4÷s^4)}{(20÷5)(t÷t)(s^5÷s^4)}=\frac{3t^2}{4s}$

Simplifie les fractions algébriques suivantes

a. $\frac{56x^3{y}^2}{42x^2{y}^3}$

b. $\frac{10a^4{b}^2}{2ab}$

Solution

a.

$\frac{56x^3{y}^2}{42x^2{y}^3}$

On divise directement par ou on réexprime l'expression sous forme de produit de ses facteurs,

$$\begin{gathered} \frac{56x^3{y}^2}{42x^2{y}^3}=\frac{2\times 2\times 2\times 7\times x\times x\times x\times y\times y}{2\times 3\times 7\times x\times x\times y\times y\times y} \\ =\frac{\cancel{2}\times 2\times 2\times \cancel{7}\times \cancel{x}\times \cancel{x}\times x\times \cancel{y}\times \cancel{y}}{\cancel{2}\times 3\times \cancel{7}\times \cancel{x}\times \cancel{x}\times \cancel{y}\times \cancel{y}\times y} \\ =\frac{2\times 2\times x}{3\times y} \\ =\frac{4x}{3y} \end{gathered}$$

b.

$\frac{10a^4{b}^2}{2ab}$

On divise par pour obtenir,

$\frac{10a^4{b}^2}{2ab}=\frac{\cancel{{10}^5\times }{a}^4{b}^2}{\cancel{2^1\times }ab}=\frac{5a^4{b}^2}{ab}=\frac{5\cancel{a^4}{b}^2}{\cancel{a}b}=\frac{5a^3{b}^2}{b}=\frac{5a^3\cancel{b^2}}{\cancel{b}}=5a^{3}b$

Factorise $4x-2xy$

Solution

Lors de la factorisation, exprime chaque expression algébrique comme un produit de ses facteurs (facteurs premiers pour les nombres).

Ensuite, nous comparons et faisons ressortir les facteurs communs comme le montre l'illustration ci-dessous,

Notre facteur est 2x. En prenant 2x comme facteur commun de l'expression 4x, nous nous retrouvons avec 2. En fait,

$\frac{\cancel{{}^{2}4}\cancel{x}}{\cancel{2}\cancel{x}}=2$

Et en prenant 2x comme facteur commun de l'expression -2xy, on obtient -y. En effet,

$\frac{-\cancel{2x}y}{\cancel{2x}}=-y$

Ainsi, lorsque l'on factorise $4x-2xy$ est factorisé, on obtient ,

$2x(2-y)$.

Factorise $2y^2+4x-2xy-4y$

Solution

Étape 1.

Rapproche les termes semblables pour obtenir,

$4x-2xy-4y+2y^2$

Étape 2.

Utilise des parenthèses pour séparer les termes similaires afin de faciliter la factorisation, pour obtenir

$(4x-2xy)+(-4y+2y^2)$

Étape 3.

Fais ressortir les facteurs communs à partir de ce que tu as entre parenthèses.

Le facteur commun entre 4x et -2xy est 2x, ce qui donne

$4x-2xy=2x(2-y)$

Le facteur commun entre $-4y$et $2y^2$est 2y, ce qui donne

$-4y+2y^2=2y(-2+y)$

Ainsi, l'expression algébrique $2y^2+4x-2xy-4y$ peut être réécrite comme suit,

$2y^2+4x-2xy-4y=2x(2-y)+2y(y-2)$

Note que la factorisation n'est pas encore terminée. Les expressions (2-y) et (y-2) diffèrent par le signe moins. Ainsi, en réécrivant, nous obtenons ,

$2y^2+4x-2xy-4y=2x(2-y)-2y(2-y)$

Maintenant que nous avons la même expression entre les parenthèses, nous prenons (2-y) comme facteur commun entre ces expressions pour obtenir,

$2y^2+4x-2xy-4y=2x(2-y)-2y(2-y)=(2-y)(2x-2y)$

Nous remarquons que le facteur (2x-2y) a un facteur commun de 2, nous avons donc

$2x-2y=2(x-y)$

Par conséquent, la forme factorisée complète de l'expression algébrique initiale est la suivante

$2y^2+4x-2xy-4y=(2-y)2(x-y)=2(2-y)(x-y)$

Pour vérifier que la forme factorisée est correcte, nous la développons et nous constatons que nous obtenons la même expression algébrique initiale.

Simplifie ce qui suit,

a. $\frac{x+1}{x^2-1}$

b. $\frac{15y+12}{25y^2-16}$

c. $\frac{p^2-4}{p^2-4p+4}$

Solution

a.$\frac{x+1}{x^2-1}$

Étape 1.

On remarque d'abord que le dénominateur peut être factorisé en,

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

Étape 2.

Maintenant, nous substituons l'expression factorisée dans l'expression principale pour obtenir,

$\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{{\cancel{x+1}}^1}{(x-1)\cancel{{(x+1)}^1}}=\frac{1}{x-1}$

Étape 1.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique peuvent être factorisés pour donner ,

$$\begin{gathered} 15y+12=3(5y+4) \\ 25y^2-16=(5y-4)(5y+4) \end{gathered}$$

Étape 2.

Maintenant, substitue les expressions factorisées dans la fraction algébrique pour obtenir ,

$\frac{15y+12}{25y^2-16}=\frac{3(5y+4)}{(5y-4)(5y+4)}=\frac{3(\cancel{5y+4{)}^1}}{(5y-4){\cancel{(5y+4)}}^1}=\frac{3}{5y-4}$

tout en veillant à ce que $5y+4\ne 0$ c'est-à-dire $y\ne \frac{-4}{5}$.

c.$\frac{p^2-4}{p^2-4p+4}$

Étape 1.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique peuvent être factorisés pour donner ,

$$\begin{gathered} p^2-4=(p-2)(p+2) \\ {p}^2-4p+4=(p-2)(p-2) \end{gathered}$$

Étape 2.

Maintenant, substitue les expressions factorisées dans la fraction algébrique pour obtenir,

$\frac{p^2-4}{p^2-4p+4}=\frac{{\cancel{(p-2)}}^1(p+2)}{{\cancel{(p-2)}}^1(p-2)}=\frac{p+2}{p-2}$tout en veillant à ce que $p-2\ne 0$c'est-à-dire $p\ne 2$.

Additionne les fractions algébriques suivantes,

a. $\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}$

b. $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}$

c. $\frac{1}{p^2-5p+6}+\frac{p}{p-3}$

Solution

a.$\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}$

Étape 1.

Nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les deux dénominateurs. L'ACL entre y et ^y2 est ^y2.

Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{y}$ par l'IVC $y^2$pour obtenir,

$\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\left(\frac{y^2}{y^2}\times \frac{1}{y}\right)+\frac{1}{y^2}=\frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2}$

Étape 2.

Maintenant que nous avons deux fractions avec le même dénominateur, nous ajoutons seulement les numérateurs, pour obtenir,

$\frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{y+1}{y^2}$

b. $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}$

Étape 1.

Nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les dénominateurs. Le plus petit dénominateur commun entre x+1 et x-2 est leur produit (x+1)(x-2).

Étape 2.

Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (x-2), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (x+1) pour obtenir,

$\left(\frac{(x-2)}{(x-2)}\times \frac{2}{x+1}\right)+\left(\frac{3}{x-2}\times \frac{(x+1)}{(x+1)}\right)=\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}$

Comme les deux fractions obtenues ont le même dénominateur, on additionne directement les numérateurs en conservant le dénominateur, ce qui donne

$$\begin{gathered} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{2x-4}{(x+1)(x-2)}+\frac{3x+3}{(x+1)(x-2)}=\frac{2x-4+3x+3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x+3x-4+3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)} \end{gathered}$$

c.$\frac{1}{p^2-5p+6}+\frac{p}{p-3}$

Étape 1.

Trouve le plus petit dénominateur commun (PDC). Le plus petit dénominateur commun entre ^p2-5p+6 et p-3 est ^p2-5p+6 car lorsque ^p2-5p+6 est factorisé en (p-2)(p-3), le plus petit dénominateur commun est p2-5p+6. Remplace ^p2-5p+6 par (p-2)(p-3) pour faciliter le calcul. Maintenant que tu as ton ACL, multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par $(p-2)$

$\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p}{p-3}\times \frac{(p-2)}{(p-2)}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}$

Comme ils ont tous les deux le même dénominateur, tu peux les additionner directement tout en conservant le dénominateur. Par conséquent ;

$\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p^2-2p}{(p-2)(p-3)}=\frac{p^2-2p+1}{(p-2)(p-3)}$

Note que ^p2-2p+1, une fois factorisé, donnerait (p-1)(p-1). Ainsi, une fois substituée à l'expression, on obtient ,

$\frac{p^2-2p+1}{(p-2)(p-3)}=\frac{(p-1)(p-1)}{(p-2)(p-3)}=\frac{{(p-1)}^2}{(p-2)(p-3)}$

Simplifie ce qui suit,

a. $\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}$

b. $\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}$

c. $\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}$

Solution

Nous nous référons à l'exemple précédent pour le calcul de l'ACL entre les fractions en question.

a. $\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}$

Étape 1.

Trouve le plus petit dénominateur commun (PDC). L'ACL entre y et ^y2 est ^y2.

Étape 2.

Multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par y pour obtenir,

$\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{y}{y}\times \frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{y-1}{y^2}$

b.$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}$

Étape 1.

L'IVC entre les deux dénominateurs est (x+1)(x-2).

Étape 2.

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (x-2), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (x+1), on obtient : (x+1)(x-2)(x-2)(x+1)(x-2)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1).

$\left(\frac{(x-2)}{(x-2)}\times \frac{2}{x+1}\right)-\left(\frac{3}{x-2}\times \frac{(x+1)}{(x+1)}\right)=\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}-\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}$

Étape 3.

Comme les deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait directement en conservant le dénominateur, ce qui donne

$$\begin{gathered} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}-\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{2x-4}{(x+1)(x-2)}-\frac{3x+3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x-4-(3x+3)}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x-4-3x-3)}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x-3x-4-3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{-x-7}{(x+1)(x-2)} \end{gathered}$$

c.$\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}$

Étape 1.

L'ACL entre les dénominateurs des deux fractions est $p^2-5p+6$.

Étape 2.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (p-2) pour obtenir.

$\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}-\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}$

Comme les deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait directement en conservant le dénominateur, pour obtenir .

$$\begin{gathered} \frac{1}{(p-2)(p-3)}-\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}-\frac{p^2-2p}{(p-2)(p-3)} \\ =\frac{1-(p^2-2p)}{(p-2)(p-3)} \\ =\frac{1+2p-p^2}{(p-2)(p-3)} \end{gathered}$$

Multiplie les fractions suivantes,

$\frac{3}{y}\times \frac{2x}{7}$

Solution

Multiplie jusqu'à ce que tu obtiennes

$\frac{3}{y}\times \frac{2x}{7}=\frac{3\times 2x}{y\times 7}=\frac{6x}{7y}$

Multiplie les éléments suivants,

a. $\frac{4p}{3qr}\times \frac{5rk}{6q^{2}p}$

b. $\frac{x-y}{z}\times \frac{z^2}{x^2-y^2}$

c. $\frac{p^2-1}{p^2-5p+6}\times \frac{p-3}{p-1}$

Solution

a.$\frac{4p}{3qr}\times \frac{5rk}{6q^{2}p}$

Nous pouvons soit multiplier les numérateurs et les dénominateurs avant d'éventuellement diviser directement les facteurs communs, nous avons donc

$$\begin{gathered} \frac{4p}{3qr}\times \frac{5rk}{6q^{2}p}=\frac{2\times 2\times p}{3\times q\times r}\times \frac{5\times r\times k}{2\times \times 3\times q\times q\times p}=\frac{\cancel{2}\times 2\times \cancel{p}}{3\times q\times \cancel{r}}\times \frac{5\times \cancel{r}\times k}{\cancel{2}\times \times 3\times q\times q\times \cancel{p}} \\ =\frac{2\times 5\times k}{3\times 3\times q\times q\times q}=\frac{10k}{9q^3} \end{gathered}$$

b. $\frac{x-y}{z}\times \frac{z^2}{x^2-y^2}$

Nous factorisons le dénominateur de la deuxième fraction pour obtenir

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

Maintenant, nous substituons l'expression factorisée dans l'expression principale pour obtenir,

$\frac{x-y}{z}\times \frac{z^2}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{z}\times \frac{z\times z}{(x-y)(x+y)}=\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{z}}\times \frac{\cancel{z}\times z}{\cancel{(x-y)}(x+y)}=\frac{z}{x+y}$

c.$\frac{p^2-1}{p^2-5p+6}\times \frac{p-3}{p-1}$

Nous veillons à factoriser les expressions algébriques pour faciliter la multiplication,

$$\begin{gathered} p^2-1=(p-1)(p+1) \\ {p}^2-5p+6=(p-2)(p-3) \end{gathered}$$

Ensuite, nous substituons les expressions factorisées dans l'expression principale pour obtenir,

$\frac{p^2-1}{p^2-5p+6}=\frac{(p-1)(p+1)}{(p-2)(p-3)}\times \frac{p-3}{p-1}=\frac{\cancel{(p-1)}(p+1)}{(p-2)\cancel{(p-3)}}\times \frac{\cancel{p-3}}{\cancel{p-1}}=\frac{p+1}{p-2}$

Simplifier

$\frac{3y}{x}÷\frac{5u}{w}$

Solution

$\frac{3y}{x}÷\frac{5u}{w}$

Nous écrivons la réciproque de la deuxième fraction algébrique et remplaçons le signe de division par le signe de multiplication pour obtenir

$\frac{3y}{x}÷\frac{5u}{w}=\frac{3y}{x}\times \frac{w}{5u}=\frac{3y\times w}{x\times 5u}=\frac{3wy}{5ux}$

Simplifie ce qui suit,

a. $\frac{r{t}^2}{15}÷\frac{r^2}{5t}$

b. $\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}÷\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7}$

Solution

a.$\frac{r{t}^2}{15}÷\frac{r^2}{5t}$

Nous réarrangeons l'expression en changeant le signe de division en signe de multiplication et en utilisant la réciproque de la fraction algébrique à droite, pour obtenir

$\frac{r{t}^2}{15}÷\frac{r^2}{5t}=\frac{r{t}^2}{15}\times \frac{5t}{r^2}=\frac{r\times t\times t}{5\times 3}\times \frac{5\times t}{r\times r}=\frac{\cancel{r}\times t\times t}{\cancel{5}\times 3}\times \frac{\cancel{5}\times t}{\cancel{r}\times r}=\frac{t^3}{3r}$

b.$\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}÷\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7}$

On réarrange d'abord l'expression en changeant le signe de division en signe de multiplication et en utilisant la réciproque de la fraction algébrique à droite, pour obtenir

$\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}\times \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+9}$

Ensuite, factorise les expressions quadratiques

$$\begin{gathered} x^2-9=(x-3)(x+3) \\ {x}^2+3x+2=(x+2)(x+1) \\ {x}^2+8x+7=(x+7)(x+1) \\ {x}^2+6x+9=(x+3)(x+3) \end{gathered}$$

Nous remplaçons maintenant les expressions factorisées par les fractions algébriques et nous simplifions pour obtenir

$$\begin{gathered} \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+1)}\times \frac{(x+7)(x+1)}{(x+3)(x+3)}=\frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+1)}}\times \frac{(x+7)\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+3)}(x+3)} \\ =\frac{(x-3)(x+7)}{(x+2)(x+3)} \\ =\frac{x^2+4x-21}{x^2+5x+6} \end{gathered}$$

Tout en s'assurant que $x+1\ne 0$ c'est-à-dire $x\ne -1$et $x+3\ne 0$ que c'est $x\ne -3$.

Lorsqu'un certain nombre est réduit de 8, il est équivalent à la somme d'un tiers du nombre et de la moitié de celui-ci. Trouve ce nombre.

Solution

Appelons le nombre inconnu w. Nous pouvons maintenant créer une équation en fonction de w.

La première partie dit que le nombre est réduit de 8, ce qui signifie,

$w-8$

La deuxième partie dit que la somme d'un tiers du nombre et de la moitié de celui-ci, ce qui signifie

$\frac{w}{3}+\frac{w}{2}$

On nous dit maintenant que la première partie est équivalente à la seconde. Ainsi, nous avons

$w-8=\frac{w}{3}+\frac{w}{2}$

Ensuite, nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) et nous multiplions l'ensemble de l'équation par ce dénominateur. Le DCL entre 3 et 2 est 6, ce qui donne

$$\begin{gathered} 6(w-8)=6\left(\frac{w}{3}\right)+6\left(\frac{w}{2}\right) \\ 6w-48=2w+3w \\ 6w-48=5w \end{gathered}$$

Nous rapprochons les termes semblables et nous résolvons l'équation,

$$\begin{gathered} 6w-48=5w \\ 6w-5w=48 \\ w=48 \end{gathered}$$

Lorsque le carré d'un nombre positif est ajouté à $\frac{3}{4}$le résultat est 1. Trouve le nombre entier.

Solution

Appelons le nombre entier inconnu z.

On nous dit que le dénominateur est ajouté au carré du nombre entier. Ainsi,

$\frac{3}{4}+z^2$

Ensuite, on nous dit que lorsque cela est fait, notre résultat est 1. Donc,

$\frac{3}{4}+z^2=1$

$z^2=1-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Donc, $z=\pm \frac{1}{2}$

Rappelle que la question précise qu'il s'agit d'un nombre positif, donc $z=\frac{1}{2}$.