Fractions algébriques

Savais-tu que le mot "algèbre" provient du mot arabe traduit par "al-jabr" qui signifie littéralement réparer des parties de morceaux d'un tout, comme réparer des os fracturés dans les temps anciens.

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    Quoi qu'il en soit, tu n'apprendras pas l'arabe, mais tu comprendras comment simplifier, multiplier, additionner et fracturer les fractions algébriques.

    Définition des fractions algébriques

    Avant de définir les fractions algébriques, nous rappelons d'abord la définition des expressions algébriques.

    Les expressions algébriques sont des expressions contenant des variables et des constantes.

    a+b, 2x-1, y5, uv-3b sont des exemples d'expressions algébriques.

    Nous sommes maintenant prêts à définir les fractions algébriques.

    Les fractions algébriques sont des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions algébriques.

    En d'autres termes, les fractions numériques sont de la forme,

    25,56,13

    Cependant, plutôt que de simples nombres au numérateur ou au dénominateur, des expressions algébriques sont présentes au numérateur et/ou au dénominateur. Par conséquent, les fractions algébriques sont de la forme,

    2x7,32y,x+12x,x2+23y-4.

    Simplifier les fractions algébriques

    Simplifier les fractions algébriques, c'est réduire les fractions algébriques à leurs plus petits termes. Ici, notre capacité à diviser avec précision est cruciale. Nous appliquons des principes similaires à ceux utilisés pour simplifier les fractions numériques en procédant à la simplification des fractions algébriques.

    Et cela peut se faire en suivant l'une des deux méthodes suivantes,

    Nous expliquerons brièvement comment la première méthode est appliquée dans les exemples suivants, mais nous commencerons d'abord par un exemple sur la façon de trouver le plus grand diviseur commun entre des paires algébriques.

    Trouve le PGCD entre la paire algébrique 24x2y6 et 6x3y4.

    Solution

    Ici, tu souhaites trouver l'expression la plus élevée qui est un facteur des deux expressions algébriques. La meilleure approche consiste à les diviser en leurs composants séparément.

    Pour 24x2y6, tu as 24, x2 et y6, et pour 6x3y4, tu as 6, x3 et y4.

    Compare maintenant les composantes similaires et trouve leur PGCD par paires.

    24 et 6 : Le PGCD entre 24 et 6 est 6.

    x2 et x3: Lorsqu'il s'agit d'exposants, l'expression dont la puissance est la plus faible est le PGCD, ce qui signifie que x2 est le PGCD.

    y6 et y4: Lorsqu'il s'agit d'exposants, l'expression dont la puissance est la plus faible est le PGCD, ce qui signifie que y4 est le PGCD.

    L'étape suivante consiste à multiplier tous tes PGCD à partir des comparaisons, pour obtenir

    6×x2×y4=6x2y4

    Par conséquent, le PGCD entre la paire algébrique : 24x2y6 et 6x3y4 est 6x2y4.

    Maintenant que tu sais comment trouver le PGCD parmi les paires algébriques, tu devrais désormais l'appliquer dans la simplification des fractions algébriques.

    Simplifie ce qui suit,

    15t3s420ts5

    Solution

    Étape 1.

    Trouve le PGCD entre le numérateur et le dénominateur. En appliquant le même raisonnement que celui expliqué dans l'exemple précédent, le PGCD entre 15t3s4 et 20ts5 est 5ts4.

    Étape 2.

    Divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD, pour obtenir

    15t3s4÷5ts420ts5÷5ts4=(15÷5)(t3÷t)(s4÷s4)(20÷5)(t÷t)(s5÷s4)=3t24s

    Envisageons maintenant d'utiliser la deuxième méthode, qui fait appel à la division continue. Pour faciliter cette méthode, tu peux choisir d'exprimer l'expression algébrique comme un produit de ses facteurs.

    Simplifie les fractions algébriques suivantes

    a. 56x3y242x2y3

    b. 10a4b22ab

    Solution

    a.

    56x3y242x2y3

    On divise directement par ou on réexprime l'expression sous forme de produit de ses facteurs,

    56x3y242x2y3=2×2×2×7×x×x×x×y×y2×3×7×x×x×y×y×y =2×2×2×7×x×x×x×y×y2×3×7×x×x×y×y×y =2×2×x3×y =4x3y

    b.

    10a4b22ab

    On divise par pour obtenir,

    10a4b22ab=105 ×a4b221 ×ab=5a4b2ab=5a4b2ab=5a3b2b=5a3b2b=5a3b

    Factorisation des fractions algébriques

    La connaissance de la factorisation est essentielle pour résoudre les problèmes liés aux fractions algébriques. D'ailleurs, voyons dans quelle mesure tu te souviens de la factorisation dans l'exemple ci-dessous.

    Factorise 4x-2xy

    Solution

    Lors de la factorisation, exprime chaque expression algébrique comme un produit de ses facteurs (facteurs premiers pour les nombres).

    Ensuite, nous comparons et faisons ressortir les facteurs communs comme le montre l'illustration ci-dessous,

    Fractions algébriques Figure 1 : décrire comment les facteurs communs sont dérivés des fractions algébriques StudySmarter

    Figure 1 : décrire comment les facteurs communs sont dérivés d'une fraction algébrique, StudySmarter Originals

    Notre facteur est 2x. En prenant 2x comme facteur commun de l'expression 4x, nous nous retrouvons avec 2. En fait,

    24x2x=2

    Et en prenant 2x comme facteur commun de l'expression -2xy, on obtient -y. En effet,

    -2xy2x=-y

    Ainsi, lorsque l'on factorise 4x-2xy est factorisé, on obtient ,

    2x(2-y).

    Factorise 2y2+4x-2xy-4y

    Solution

    Étape 1.

    Rapproche les termes semblables pour obtenir,

    4x-2xy-4y+2y2

    Étape 2.

    Utilise des parenthèses pour séparer les termes similaires afin de faciliter la factorisation, pour obtenir

    (4x-2xy)+(-4y+2y2)

    Étape 3.

    Fais ressortir les facteurs communs à partir de ce que tu as entre parenthèses.

    Le facteur commun entre 4x et -2xy est 2x, ce qui donne

    4x-2xy=2x(2-y)

    Le facteur commun entre -4y et 2y2est 2y, ce qui donne

    -4y+2y2=2y(-2+y)

    Ainsi, l'expression algébrique 2y2+4x-2xy-4y peut être réécrite comme suit,

    2y2+4x-2xy-4y=2x(2-y)+2y(y-2)

    Note que la factorisation n'est pas encore terminée. Les expressions (2-y) et (y-2) diffèrent par le signe moins. Ainsi, en réécrivant, nous obtenons ,

    2y2+4x-2xy-4y=2x(2-y)-2y(2-y)

    Maintenant que nous avons la même expression entre les parenthèses, nous prenons (2-y) comme facteur commun entre ces expressions pour obtenir,

    2y2+4x-2xy-4y=2x(2-y)-2y(2-y)=(2-y)(2x-2y)

    Nous remarquons que le facteur (2x-2y) a un facteur commun de 2, nous avons donc

    2x-2y=2(x-y)

    Par conséquent, la forme factorisée complète de l'expression algébrique initiale est la suivante

    2y2+4x-2xy-4y=(2-y)2(x-y)=2(2-y)(x-y)

    Pour vérifier que la forme factorisée est correcte, nous la développons et nous constatons que nous obtenons la même expression algébrique initiale.

    Nous sommes maintenant prêts à approfondir avec les exemples suivants.

    Simplifie ce qui suit,

    a. x+1x2-1

    b. 15y+1225y2-16

    c. p2-4p2-4p+4

    Solution

    a.x+1x2-1

    Étape 1.

    On remarque d'abord que le dénominateur peut être factorisé en,

    x2-1=(x-1)(x+1)

    Étape 2.

    Maintenant, nous substituons l'expression factorisée dans l'expression principale pour obtenir,

    x+1x2-1=x+1(x-1)(x+1)=x+11(x-1)(x+1)1=1x-1

    tout en s'assurant que le x+10 c'est-à-dire x-1.b. 15y+1225y2-16

    Étape 1.

    Le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique peuvent être factorisés pour donner ,

    15y+12=3(5y+4)25y2-16=(5y-4)(5y+4)

    Étape 2.

    Maintenant, substitue les expressions factorisées dans la fraction algébrique pour obtenir ,

    15y+1225y2-16=3(5y+4)(5y-4)(5y+4)=3(5y+4)1(5y-4)(5y+4)1=35y-4

    tout en veillant à ce que 5y+40 c'est-à-dire y-45.

    c.p2-4p2-4p+4

    Étape 1.

    Le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique peuvent être factorisés pour donner ,

    p2-4=(p-2)(p+2)p2-4p+4=(p-2)(p-2)

    Étape 2.

    Maintenant, substitue les expressions factorisées dans la fraction algébrique pour obtenir,

    p2-4p2-4p+4=(p-2)1(p+2)(p-2)1(p-2)=p+2p-2tout en veillant à ce que p-20c'est-à-dire p2.

    Additionner des fractions algébriques

    Tout comme les fractions numériques, les fractions algébriques peuvent être additionnées en devant trouver le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les fractions algébriques soumises à ces opérations.

    Additionne les fractions algébriques suivantes,

    a. 1y+1y2

    b. 2x+1+3x-2

    c. 1p2-5p+6+pp-3

    Solution

    a.1y+1y2

    Étape 1.

    Nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les deux dénominateurs. L'ACL entre y et y2 est y2.

    Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de 1y par l'IVC y2pour obtenir,

    1y+1y2=y2y2×1y+1y2=yy2+1y2

    Étape 2.

    Maintenant que nous avons deux fractions avec le même dénominateur, nous ajoutons seulement les numérateurs, pour obtenir,

    yy2+1y2=y+1y2

    b. 2x+1+3x-2

    Étape 1.

    Nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les dénominateurs. Le plus petit dénominateur commun entre x+1 et x-2 est leur produit (x+1)(x-2).

    Étape 2.

    Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (x-2), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (x+1) pour obtenir,

    (x-2)(x-2)×2x+1+3x-2×(x+1)(x+1)=2(x-2)(x+1)(x-2)+3(x+1)(x+1)(x-2)

    Comme les deux fractions obtenues ont le même dénominateur, on additionne directement les numérateurs en conservant le dénominateur, ce qui donne

    2(x-2)(x+1)(x-2)+3(x+1)(x+1)(x-2)=2x-4(x+1)(x-2)+3x+3(x+1)(x-2)=2x-4+3x+3(x+1)(x-2) =2x+3x-4+3(x+1)(x-2) =5x-1(x+1)(x-2)

    c.1p2-5p+6+pp-3

    Étape 1.

    Trouve le plus petit dénominateur commun (PDC). Le plus petit dénominateur commun entre p2-5p+6 et p-3 est p2-5p+6 car lorsque p2-5p+6 est factorisé en (p-2)(p-3), le plus petit dénominateur commun est p2-5p+6. Remplace p2-5p+6 par (p-2)(p-3) pour faciliter le calcul. Maintenant que tu as ton ACL, multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (p-2)

    1(p-2)(p-3)+pp-3×(p-2)(p-2)=1(p-2)(p-3)+p(p-2)(p-2)(p-3)

    Comme ils ont tous les deux le même dénominateur, tu peux les additionner directement tout en conservant le dénominateur. Par conséquent ;

    1(p-2)(p-3)+p(p-2)(p-2)(p-3)=1(p-2)(p-3)+p2-2p(p-2)(p-3)=p2-2p+1(p-2)(p-3)

    Note que p2-2p+1, une fois factorisé, donnerait (p-1)(p-1). Ainsi, une fois substituée à l'expression, on obtient ,

    p2-2p+1(p-2)(p-3)=(p-1)(p-1)(p-2)(p-3)=(p-1)2(p-2)(p-3)

    Soustraction de fractions algébriques

    Tout comme les fractions algébriques peuvent être ajoutées, elles peuvent également être soustraites. La soustraction de fractions algébriques est assez similaire à l'addition, la différence réside dans l'application du signe moins (-).

    Simplifie ce qui suit,

    a. 1y-1y2

    b. 2x+1-3x-2

    c. 1p2-5p+6-pp-3

    Solution

    Nous nous référons à l'exemple précédent pour le calcul de l'ACL entre les fractions en question.

    a. 1y-1y2

    Étape 1.

    Trouve le plus petit dénominateur commun (PDC). L'ACL entre y et y2 est y2.

    Étape 2.

    Multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par y pour obtenir,

    1y-1y2=yy×1y-1y2=y-1y2

    b.2x+1-3x-2

    Étape 1.

    L'IVC entre les deux dénominateurs est (x+1)(x-2).

    Étape 2.

    En multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (x-2), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (x+1), on obtient : (x+1)(x-2)(x-2)(x+1)(x-2)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1).

    (x-2)(x-2)×2x+1-3x-2×(x+1)(x+1)=2(x-2)(x+1)(x-2)-3(x+1)(x+1)(x-2)

    Étape 3.

    Comme les deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait directement en conservant le dénominateur, ce qui donne

    2(x-2)(x+1)(x-2)-3(x+1)(x+1)(x-2)=2x-4(x+1)(x-2)-3x+3(x+1)(x-2) =2x-4-(3x+3)(x+1)(x-2) =2x-4-3x-3)(x+1)(x-2) =2x-3x-4-3(x+1)(x-2) =-x-7(x+1)(x-2)

    c.1p2-5p+6-pp-3

    Étape 1.

    L'ACL entre les dénominateurs des deux fractions est p2-5p+6.

    Étape 2.

    On multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (p-2) pour obtenir.

    1p2-5p+6-pp-3=1(p-2)(p-3)-p(p-2)(p-2)(p-3)

    Comme les deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait directement en conservant le dénominateur, pour obtenir .

    1(p-2)(p-3)-p(p-2)(p-2)(p-3)=1(p-2)(p-3)-p2-2p(p-2)(p-3) =1-(p2-2p)(p-2)(p-3) =1+2p-p2(p-2)(p-3)

    Multiplier des fractions algébriques

    Le produit des fractions algébriques peut également être calculé comme les autres fractions numériques. On multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.

    Multiplie les fractions suivantes,

    3y×2x7

    Solution

    Multiplie jusqu'à ce que tu obtiennes

    3y×2x7=3×2xy×7=6x7y

    Multiplie les éléments suivants,

    a. 4p3qr×5rk6q2p

    b. x-yz×z2x2-y2

    c. p2-1p2-5p+6×p-3p-1

    Solution

    a.4p3qr×5rk6q2p

    Nous pouvons soit multiplier les numérateurs et les dénominateurs avant d'éventuellement diviser directement les facteurs communs, nous avons donc

    4p3qr×5rk6q2p=2×2×p3×q×r×5×r×k2××3×q×q×p=2×2×p3×q×r×5×r×k2××3×q×q×p =2×5×k3×3×q×q×q=10k9q3

    b. x-yz×z2x2-y2

    Nous factorisons le dénominateur de la deuxième fraction pour obtenir

    x2-y2=(x-y)(x+y)

    Maintenant, nous substituons l'expression factorisée dans l'expression principale pour obtenir,

    x-yz×z2x2-y2=x-yz×z×z(x-y)(x+y)=x-yz×z×z(x-y)(x+y)=zx+y

    c.p2-1p2-5p+6×p-3p-1

    Nous veillons à factoriser les expressions algébriques pour faciliter la multiplication,

    p2-1=(p-1)(p+1)p2-5p+6=(p-2)(p-3)

    Ensuite, nous substituons les expressions factorisées dans l'expression principale pour obtenir,

    p2-1p2-5p+6=(p-1)(p+1)(p-2)(p-3)×p-3p-1=(p-1)(p+1)(p-2)(p-3)×p-3p-1=p+1p-2

    Diviser des fractions algébriques

    Le quotient de deux fractions algébriques peut être calculé en multipliant la première fraction par la réciproque de la deuxième fraction.

    C'est-à-dire ,

    abcd=ab÷cd=ab×dc

    Simplifier

    3yx÷5uw

    Solution

    3yx÷5uw

    Nous écrivons la réciproque de la deuxième fraction algébrique et remplaçons le signe de division par le signe de multiplication pour obtenir

    3yx÷5uw=3yx×w5u=3y×wx×5u=3wy5ux

    Simplifie ce qui suit,

    a. rt215÷r25t

    b. x2-9x2+3x+2÷x2+6x+9x2+8x+7

    Solution

    a.rt215÷r25t

    Nous réarrangeons l'expression en changeant le signe de division en signe de multiplication et en utilisant la réciproque de la fraction algébrique à droite, pour obtenir

    rt215÷r25t=rt215×5tr2=r×t×t5×3×5×tr×r=r×t×t5×3×5×tr×r=t33r

    b.x2-9x2+3x+2÷x2+6x+9x2+8x+7

    On réarrange d'abord l'expression en changeant le signe de division en signe de multiplication et en utilisant la réciproque de la fraction algébrique à droite, pour obtenir

    x2-9x2+3x+2×x2+8x+7x2+6x+9

    Ensuite, factorise les expressions quadratiques

    x2-9=(x-3)(x+3)x2+3x+2=(x+2)(x+1)x2+8x+7=(x+7)(x+1)x2+6x+9=(x+3)(x+3)

    Nous remplaçons maintenant les expressions factorisées par les fractions algébriques et nous simplifions pour obtenir

    (x-3)(x+3)(x+2)(x+1)×(x+7)(x+1)(x+3)(x+3)=(x-3)(x+3)(x+2)(x+1)×(x+7)(x+1)(x+3)(x+3) =(x-3)(x+7)(x+2)(x+3) =x2+4x-21x2+5x+6

    Tout en s'assurant que x+10 c'est-à-dire x-1et x+30 que c'est x-3.

    Exemples de fractions algébriques

    Bien que nous ayons vu plusieurs exemples sur les fractions algébriques, tu verras d'autres applications des fractions algébriques dans les problèmes de mots ci-après.

    Lorsqu'un certain nombre est réduit de 8, il est équivalent à la somme d'un tiers du nombre et de la moitié de celui-ci. Trouve ce nombre.

    Solution

    Appelons le nombre inconnu w. Nous pouvons maintenant créer une équation en fonction de w.

    La première partie dit que le nombre est réduit de 8, ce qui signifie,

    w-8

    La deuxième partie dit que la somme d'un tiers du nombre et de la moitié de celui-ci, ce qui signifie

    w3+w2

    On nous dit maintenant que la première partie est équivalente à la seconde. Ainsi, nous avons

    w-8=w3+w2

    Ensuite, nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) et nous multiplions l'ensemble de l'équation par ce dénominateur. Le DCL entre 3 et 2 est 6, ce qui donne

    6(w-8)=6(w3)+6(w2)6w-48=2w+3w6w-48=5w

    Nous rapprochons les termes semblables et nous résolvons l'équation,

    6w-48=5w6w-5w=48 w=48

    Lorsque le carré d'un nombre positif est ajouté à 34le résultat est 1. Trouve le nombre entier.

    Solution

    Appelons le nombre entier inconnu z.

    On nous dit que le dénominateur est ajouté au carré du nombre entier. Ainsi,

    34+z2

    Ensuite, on nous dit que lorsque cela est fait, notre résultat est 1. Donc,

    34+z2=1

    z2=1-34=44-34=14

    Donc, z=±12

    Rappelle que la question précise qu'il s'agit d'un nombre positif, donc z=12.

    Fractions algébriques - Principaux enseignements

    • Les fractions algébriques sont des fractions qui portent des expressions algébriques.
    • Simplifier les fractions algébriques signifie réduire les fractions algébriques aux plus petits termes.
    • La connaissance de la factorisation est essentielle pour résoudre les problèmes liés aux fractions algébriques.
    • Les fractions algébriques peuvent être additionnées ou soustraites.
    • Les fractions algébriques peuvent être multipliées et divisées.
    Questions fréquemment posées en Fractions algébriques
    Qu'est-ce qu'une fraction algébrique ?
    Une fraction algébrique est une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
    Comment simplifier une fraction algébrique ?
    Pour simplifier une fraction algébrique, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on annule les facteurs communs.
    Comment additionner des fractions algébriques ?
    Pour additionner des fractions algébriques, on trouve un dénominateur commun, puis on ajuste les numérateurs en conséquence.
    Comment diviser des fractions algébriques ?
    Pour diviser des fractions algébriques, on multiplie par l'inverse de la deuxième fraction.

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