Logarithme Naturel

Quelles sont les règles des logarithmes naturels ?

En plus des règles spécifiques aux logarithmes naturels, tu peux utiliser les lois générales des logarithmes ainsi que les règles exponentielles.

Règles pour les logarithmes naturels

• \N- (\Nn(e) = 1\N)
• \N-(\N-(1) = 0)
• \N- (\N-(e^x) = x)
• Si \(\ln(y) = \ln(x)\), alors y = x
• \N(e^{\ln(x)}) = x\)

Prouver les règles du logarithme naturel

Tout comme pour les preuves des lois des logarithmes, tu dois être capable de comprendre chaque étape de la preuve d'une règle de logarithme naturel - tu ne dois pas avoir l'impression que tu aurais pu arriver à ce point sans aucune aide.

Démontrer que Ln (1) = 0

\N(\Nln(1) = m\N) peut être écrit comme \N(\Nlog_e(1) = m\N)

Tu vas la réécrire comme une fonction exponentielle où la base est e, la réponse de l'exponentielle est 1 et l'exposant est m. Cette exponentielle ressemblerait à ceci : \(e^m = 1\)

En utilisant notre loi exponentielle Puissance = 0, tu sais que l'exposant (dans ce cas, m) doit être 0 pour que la réponse de l'exponentielle soit 1.

Ainsi, \N(\Nln(1) = 0\N)

Prouver que Ln (e) = 1

\(\ln(e) = n\) peut être réécrit comme \(\log_e(e) = n\) où la base est e, la réponse à l'exponentielle est e, et l'exposant est n.

Par conséquent, tu réécris \(\log_e(e) = n\) comme \(e^n = e\).

Selon nos règles exponentielles, lorsque la réponse à l'exponentielle est la même que la base, alors la puissance doit être 1.

Ainsi, \N(\Nln(e) = 1\N)

Prouver que Ln(^ex)=x

L'exponentielle et le logarithme étant des fonctions inverses, ils s'annulent lorsqu'ils sont placés dans la même fonction.

Par conséquent, ln et e s'annulent et tu n'as plus que x.

Prouver que Ln (y) = Ln (x) signifie que y = x

Si tu poses ln(y) = a et ln(x) = b, tu peux réécrire chaque fonction comme une exponentielle.

• \N(\Nln(y) = a, \Nlog_e(y) = a\N)

Où la base est e, l'exposant est a, et la réponse à l'exponentielle est y. Par conséquent, l'exponentielle est \(e^a = y\).

• \N(\Nln(x) = b, \Nlog_e(x) = b\N)

La base est e, l'exposant est b et la réponse à l'exponentielle est x. Par conséquent, l'exponentielle est \(e^b = x\).

Comme on te dit ln (y) = ln (x), \(e^a\) doit être égal à \(e^b\), donc y = x.

Prouver que eLn^(x)=x

Le e et le Ln s'annulent parce que les exponentielles et les logarithmes sont les fonctions inverses l'une de l'autre. En faisant cela, il te reste x.

Par conséquent, \N(e^{\ln(x)} = x\N)

Application des règles du logarithme naturel