Résolution des inégalités radicales

Toute expression ou équation algébrique peut contenir des inégalités pour montrer une relation d'ordre entre elles. Ici, nous allons discuter des inégalités dans les fonctions radicales (contenant des racines carrées) et apprendre à les résoudre.

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Table des mateères

    Inégalités radicales : Définition et formule

    Une inégalité dont les variables se trouvent dans le radicande est connue sous le nom d'inégalité radicale.

    En d'autres termes, une inégalité radicale est une inégalité qui a une ou plusieurs variables à l'intérieur du symbole radical (le radicande). La formule suivante décrit le format dans lequel tu peux t'attendre à voir des inégalités radicales :xn<d. La variable x à l'intérieur du radical représente le radicande. Ce format est le même pour tous les autres signes d'inégalité>,,.

    N'oublie pas que le radicande est une valeur à l'intérieur du symbole du radical. C'est-à-dire qu'il s'agit de la valeur pour laquelle nous prenons la racine.

    Voyons quelques exemples pour comprendre comment nous pouvons identifier cette inégalité.

    2x-53.

    Ici, nous voyons une variable x à l'intérieur de la racine. Et cette équation est exprimée avec un signe d'inégalité.

    De même, tu trouveras ci-dessous d'autres exemples d'inégalités radicales.

    4x+112 x+3-29 x-43<3 1612a13>1

    Détermination des inégalités radicales : Méthode et règles

    Voici les deux façons de déterminer les inégalités radicales :

    1. En utilisant l'algèbre
    2. À l'aide de graphiques

    Utilisation de l'algèbre

    Nous pouvons résoudre des inégalités radicales de tous types en utilisant l'algèbre. Certaines inégalités radicales ont également des variables en dehors du radical, et nous pouvons utiliser l'algèbre pour les calculer également. Les étapes suivantes peuvent être utilisées pour résoudre les inégalités radicales :

    Étape 1: Vérifie l'indice du radical.

    • Si l'indice est pair, alors la valeur finale calculée du radicande ne peut pas être négative et doit être positive. C'est ce qu'on appelle une restriction de domaine. Voici pour l'inégalité des radicaux,xn<dn est l'indice et x est le radicande.

    Étape 2: Si l'indice est pair, considère la valeur du radicande comme positive. Résous la variable x à l'intérieur du radicande.

    • Nous allons donc résoudre la variable x de ce radicande lorsqu'elle est supérieure ou égale à zéro. Autrement dit, nous considérons le radicande commex0à partir de l'inégalité des radicauxxn<det calculons la variable x. Si l'indice est impair, en revanche, nous considérons le radicande comme x<d.

    Comme la racine carrée principale n'est jamais négative, les inégalités qui se simplifient sous la forme xdoù d est le nombre négatif, n'ont pas de solution.

    Étape 3: Résous l' expression de l'inégalité originale de façon algébrique (comme tu le fais avec les équations) et supprime également le symbole du radical de l'expression.

    • Nous supprimons le radical en prenant l'indice et en l'utilisant comme exposant sur les termes des deux côtés de l'inégalité. (c'est-à-dire, xn<d xnn<dn). Note ici que l'utilisation de l'indice en tant qu'exposant sur le terme radical annule le symbole du radical, et donc l'élimine.

    Rappelle-toi que lorsqu'aucune valeur d'indice n'est donnée, elle est toujours considérée comme égale à 2.

    Étape 4: Teste les valeurs pour vérifier la solution.

    • Pour tester les valeurs de x, nous allons considérer quelques valeurs aléatoires qui satisfont l'inégalité. Et nous considérerons également quelques valeurs en dehors de l'égalité afin de pouvoir confirmer l'exactitude de notre solution.

    Prenons un exemple pour bien comprendre.

    Résoudre 2+4x-46

    Solution: Pour résoudre cette inégalité radicale, suivons toutes les étapes.

    Étape 1 : Nous vérifions d'abord l'indice de l'inégalité radicale donnée. Comme aucune valeur d'indice n'est donnée, la valeur de l'indice est 2.

    Étape 2 : Comme l'indice est pair, le radicande de la racine carrée sera supérieur ou égal à zéro.

    4x-40 4x4 x1 (1)

    Étape 3 : Nous allons maintenant résoudre l'inégalité radicale de façon algébrique et également supprimer le symbole du radical pour la simplifier. Tout d'abord, nous isolons le radical.

    2+4x-46 4x-44

    Maintenant, nous éliminons le symbole du radical en prenant l'indice comme exposant des deux côtés de l'inégalité.

    4x-4242 4x-416 4x20 x5 (2)

    Ici, nous avons obtenu deux inégalités pour la valeur de x à partir de l'équation (1) et (2). Nous les combinons donc toutes les deux et les écrivons comme une inégalité composée. Notre réponse finale est donc :

    1x5

    Note ici que 1 est la valeur inférieure de l'intervalle et que 5 est la valeur supérieure de l'intervalle.

    Étape 4 : Enfin, nous allons tester certaines valeurs de x pour vérifier notre solution et la confirmer. Considérons x=0,8 en dehors de notre plage de x et x=3 à l'intérieur de notre plage de x.

    x=0x=3x=8
    2+4(0)-42+-4Impossible car -4 n'est pas un nombre réel2+4(3)-42+84.8 <6Elle satisfait à l'inégalité2+4(8)-42+287.3 6Cette valeur ne satisfait pas l'inégalité

    On constate que la valeur de x satisfait l'inégalité du radical. La solution 1x5 vérifie et satisfait l'inégalité radicale donnée.

    Utilisation des graphiques

    Nous pouvons également résoudre les inégalités radicales à l'aide de graphiques. Nous allons suivre les étapes données pour utiliser cette méthode :

    Étape 1: Pour une inégalité radicale xn<d>peut aussi être>,,considère les deux fonctions de y=xn et y=d.

    Étape 2: Trace un graphique qui affiche les deux fonctions de l'étape 1.

    Étape 3: Identifie le ou les intervalles de x pour les fonctions tracées en les comparant graphiquement, en tenant compte du signe de l'inégalité. Trouve également le point x où les deux fonctions se croisent sur le graphique, le cas échéant.

    • Autrement dit, si l'inégalité a un signe plus grand que, trouve des valeurs de x supérieures à l' autre fonction. Et si l'inégalité a un signe inférieur, identifie x en dessous de l' autre fonction.

    Étape 4: Confirmer et tester les valeurs de x.

    • De façon similaire à la méthode précédente, nous considérons des valeurs aléatoires de x qui satisfont l'inégalité, et aussi qui ne satisfont pas l'intervalle de x obtenu.

    Comprenons cela à l'aide d'un exemple.

    Résoudre x-5>3

    Solution:

    Étape 1 : Nous considérons y=x-5 et y=3.

    Étape 2 : Maintenant, nous traçons le graphique pour les deux fonctions de l'étape 1.

    Résoudre des inégalités radicales, graphique d'inégalité radicale, StudySmarterGraphique de l'inégalité radicale, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Ici, le graphique avec la ligne rouge est celui de la fonction y=x-5et le graphique avec la ligne verte est celui de la fonction y=3. Nous avons tracé le graphique de façon à ce que nous puissions clairement identifier les valeurs de l'axe des x entre 0 et 30. De même, nous pouvons clairement prendre note des valeurs sur l'axe des y.

    Étape 3 : Maintenant, nous identifions les valeurs de x pour lesquelles le premier graphique y=x-5 se situe au-dessus du second graphique y=3L'équation de l'inégalité d'origine contient un signe d'inégalité plus grand que, ce qui signifie que la valeur de x est supérieure à celle du second graphique. Nous pouvons également voir que la valeur de x croise les deux graphiques à x=14. Cela implique que le premier graphique se trouve au-dessus du second graphique pour x>14.

    La solution de cette inégalité radicale est x>14.

    Remarque : Le domaine de y=x-5 est x5. Le domaine n'a donc aucun effet sur la solution.

    Exemples de résolution d'inégalités radicales

    Tu trouveras ici d'autres exemples d'inégalités radicales en utilisant les deux méthodes.

    Résous x+231, algébriquement et graphiquement.

    Solution: Nous commençons par résoudre à l'aide de la méthode algébrique.

    Étape 1 : Nous vérifions d'abord l'indice de l'inégalité radicale donnée. Ici, il est de 3.

    Étape 2 : Comme l'indice est impair, nous considérons : x+21 x-1.

    Étape 3 : Maintenant, nous résolvons l'inégalité originale. Comme l'inégalité donnée n'a pas d'autres opérations, nous sautons l'étape de l'isolation.

    x+231x+23313 x+21 x-1

    Les valeurs de x obtenues aux étapes 2 et 3 sont donc les suivantes x-1.

    Étape 4 : Nous vérifions maintenant notre solution pour la confirmer.

    x=-2x=-1x=12
    -2+23=03=01-1+23=13=112+23=1432.41

    On voit donc que l'inégalité radicale donnée est satisfaite pour les valeursx-1.

    Nous allons maintenant résoudre la même inégalité radicale à l'aide de la méthode graphique.

    Étape 1 : Nous considérons y=x+23 et y=1.

    Étape 2 : nous traçons les graphiques de deux fonctions prises en compte à l'étape 1.

    Résoudre des inégalités radicales, graphique d'inégalité radicale, StudySmarterForme graphique de l'inégalité radicale, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Dans le graphique ci-dessus, la ligne rouge représente la fonction y=x+23 et la ligne bleue représente la fonctiony=1.

    Étape 3 : Nous identifions les valeurs de x pour lesquelles le premier graphique y=x+23 se situe au-dessus du graphique y=1. Et la valeur de x croise les deux graphiques à x=-1. Le premier graphique se trouve donc au-dessus du second graphique pour les valeurs x-1.

    Par conséquent, la solution de l'inégalité radicale donnée est x-1.

    Résoudre les inégalités radicales - Principaux enseignements

    • Une inégalité dont les variables se trouvent à l'intérieur du radicande est connue sous le nom d'inégalité radicale.
    • Le radicande est la valeur qui se trouve à l'intérieur du symbole du radical.
    • Il y a deux façons de déterminer les inégalités radicales : en utilisant l'algèbre et en utilisant les graphiques.
    Questions fréquemment posées en Résolution des inégalités radicales
    Comment résoudre une inégalité radicale?
    Pour résoudre une inégalité radicale, isolez le radical, élevez les deux côtés à la puissance appropriée, et résolvez. Vérifiez toujours les solutions.
    Quelles sont les étapes pour résoudre des inégalités avec des racines carrées?
    Les étapes sont : isolez la racine carrée, élevez au carré les deux côtés, résolvez l'inégalité résultante, et vérifiez les solutions potentielles.
    Pourquoi est-il important de vérifier les solutions des inégalités radicales?
    Il est important de vérifier car l'élévation au carré peut introduire des solutions extrêmes ou non valides. Toujours substituer pour voir si elles satisfont l'inégalité originale.
    Comment aborder une inégalité radicale avec plusieurs radicaux?
    Pour plusieurs radicaux, isolez un radical à la fois, simplifiez étape par étape, et vérifiez toutes les solutions pour chaque étape.

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