Résolution des inégalités radicales

Résoudre $2+\sqrt{4x-4}\le 6$

Solution: Pour résoudre cette inégalité radicale, suivons toutes les étapes.

Étape 1 : Nous vérifions d'abord l'indice de l'inégalité radicale donnée. Comme aucune valeur d'indice n'est donnée, la valeur de l'indice est 2.

Étape 2 : Comme l'indice est pair, le radicande de la racine carrée sera supérieur ou égal à zéro.

$$\begin{gathered} 4x-4\ge 0 \\ \Rightarrow 4x\ge 4 \\ \Rightarrow x\ge 1\left(1\right) \end{gathered}$$

Étape 3 : Nous allons maintenant résoudre l'inégalité radicale de façon algébrique et également supprimer le symbole du radical pour la simplifier. Tout d'abord, nous isolons le radical.

$2+\sqrt{4x-4}\le 6\Rightarrow \sqrt{4x-4}\le 4$

Maintenant, nous éliminons le symbole du radical en prenant l'indice comme exposant des deux côtés de l'inégalité.

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{4x-4}\right)}^2\le 4^2 \\ \Rightarrow 4x-4\le 16 \\ \Rightarrow 4x\le 20 \\ \Rightarrow x\le 5\left(2\right) \end{gathered}$$

Ici, nous avons obtenu deux inégalités pour la valeur de x à partir de l'équation $\left(1\right)$ et $\left(2\right)$. Nous les combinons donc toutes les deux et les écrivons comme une inégalité composée. Notre réponse finale est donc :

$1\le x\le 5$

Note ici que 1 est la valeur inférieure de l'intervalle et que 5 est la valeur supérieure de l'intervalle.

Étape 4 : Enfin, nous allons tester certaines valeurs de x pour vérifier notre solution et la confirmer. Considérons $x=0,8$ en dehors de notre plage de x et $x=3$ à l'intérieur de notre plage de x.

On constate que la valeur de x satisfait l'inégalité du radical. La solution $\mathbf{1}\mathbf{\le }\mathit{x}\mathbf{\le }\mathbf{5}$ vérifie et satisfait l'inégalité radicale donnée.

Résoudre $\sqrt{x-5}>3$

Solution:

Étape 1 : Nous considérons $y=\sqrt{x-5}$ et $y=3$.

Étape 2 : Maintenant, nous traçons le graphique pour les deux fonctions de l'étape 1.

Graphique de l'inégalité radicale, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Ici, le graphique avec la ligne rouge est celui de la fonction $y=\sqrt{x-5}$et le graphique avec la ligne verte est celui de la fonction $y=3$. Nous avons tracé le graphique de façon à ce que nous puissions clairement identifier les valeurs de l'axe des x entre 0 et 30. De même, nous pouvons clairement prendre note des valeurs sur l'axe des y.

Étape 3 : Maintenant, nous identifions les valeurs de x pour lesquelles le premier graphique $y=\sqrt{x-5}$ se situe au-dessus du second graphique $y=3$L'équation de l'inégalité d'origine contient un signe d'inégalité plus grand que, ce qui signifie que la valeur de x est supérieure à celle du second graphique. Nous pouvons également voir que la valeur de x croise les deux graphiques à $x=14$. Cela implique que le premier graphique se trouve au-dessus du second graphique pour $x>14.$

$\therefore$La solution de cette inégalité radicale est $\mathit{x}\mathbf{>}\mathbf{14}$.

Résous $\sqrt[3]{x+2}\ge 1,$ algébriquement et graphiquement.

Solution: Nous commençons par résoudre à l'aide de la méthode algébrique.

Étape 1 : Nous vérifions d'abord l'indice de l'inégalité radicale donnée. Ici, il est de 3.

Étape 2 : Comme l'indice est impair, nous considérons : $x+2\ge 1\Rightarrow x\ge -1.$

Étape 3 : Maintenant, nous résolvons l'inégalité originale. Comme l'inégalité donnée n'a pas d'autres opérations, nous sautons l'étape de l'isolation.

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x+2}\ge 1 \\ \Rightarrow {\left(\sqrt[3]{x+2}\right)}^3\ge 1^3 \\ \Rightarrow x+2\ge 1 \\ \therefore x\ge -1 \end{gathered}$$

Les valeurs de x obtenues aux étapes 2 et 3 sont donc les suivantes $x\ge -1$.

Étape 4 : Nous vérifions maintenant notre solution pour la confirmer.

On voit donc que l'inégalité radicale donnée est satisfaite pour les valeurs$\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{1}$.

Nous allons maintenant résoudre la même inégalité radicale à l'aide de la méthode graphique.

Étape 1 : Nous considérons $y=\sqrt[3]{x+2}$ et $y=1.$

Étape 2 : nous traçons les graphiques de deux fonctions prises en compte à l'étape 1.

Forme graphique de l'inégalité radicale, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Dans le graphique ci-dessus, la ligne rouge représente la fonction $y=\sqrt[3]{x+2}$ et la ligne bleue représente la fonction$y=1$.

Étape 3 : Nous identifions les valeurs de x pour lesquelles le premier graphique $y=\sqrt[3]{x+2}$ se situe au-dessus du graphique $y=1$. Et la valeur de x croise les deux graphiques à $x=-1$. Le premier graphique se trouve donc au-dessus du second graphique pour les valeurs $x\ge -1$.

Par conséquent, la solution de l'inégalité radicale donnée est $\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{1}$.