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Dans cet article, nous allons explorer les concepts de fractions, de décimales et de pourcentages, des exemples de chacun et la façon de convertir une forme en une autre.
Que sont les fractions, les décimales et les pourcentages ? Pour commencer, rappelons les définitions de ces trois concepts - fractions, décimales et pourcentages.
Qu'est-ce qu'une fraction ?
Une fraction est comme une portion ou une partie d'un nombre entier, d'une expression ou de tout ce qui est différent de zéro.
Visuellement, une fraction est représentée par deux nombres ou expressions séparés par une barre oblique ou le signe over.
La barre oblique ou le symbole over signifie "divisé par".
Le nombre ou l'expression au-dessus de la barre oblique est appelé le numérateur, tandis que le nombre ou l'expression en dessous de la barre oblique est appelé le dénominateur:
\[\text{fraction} = \frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}.\]
Fractions correctes et incorrectes
Une fraction peut représenter plus qu'un tout (fraction impropre) ou seulement une partie du tout (fraction propre).
Une fraction propre est une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur.
Voyons quelques exemples :
\(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{8}\) sont toutes des fractions propres.
Les fractions propres sont toujours inférieures à un tout.
Unefraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur.
Voyons quelques exemples :
\(\frac{3}{2}, \frac{3}{3}, \frac{8}{3}\) sont toutes des fractions impropres.
Les fractions correctes correspondent toujours à un nombre entier ou plus.
De plus, elles sont souvent converties en nombres mixtes. Par exemple,
\[\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\]
Observe que les fractions propres sont inférieures à 1 tandis que les fractions impropres sont supérieures à 1.
Conversion des fractions impropres en fractions mixtes
Pour convertir une fraction impropre en fraction mixte, tu dois suivre les étapes suivantes.
Étape 1. Divise le numérateur par le dénominateur.
Étape 2. Place ton nombre entier issu de la division vers la gauche, puis vers ta droite, et mets le reste comme nouveau numérateur tout en conservant l'ancien dénominateur.
Étape 3. Vérifie qu'aucun facteur n'est commun entre le nouveau numérateur et le dénominateur. S'ils ont un facteur commun, simplifie en fonction de ce facteur jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteur commun entre les deux.
Tu devrais voir l'exemple ci-dessous pour t'en faire une idée plus claire.
Convertis les éléments suivants en fractions mixtes.
a. \(\frac{5}{3}\)
b. \(\frac{27}{6}\)
Solution
a. Conversion de \(\frac{5}{3}\) en fraction mixte.
Étape 1: Divise le numérateur par le dénominateur.
\N- [5\Ndiv 3=1\N, r\N, 2\N]
où \(r\) signifie "reste".
Étape 2: puisque ton nombre entier est \N(1\N) et que ton reste est \N(2\N), tu peux placer \N(1\N) sur le côté gauche. Ensuite, \(2\) devient le nouveau numérateur tandis que \(3\) est conservé comme dénominateur, de sorte que tu as
\[\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\]
Étape 3: Vérifie qu'aucun facteur n'est commun au nouveau numérateur et au dénominateur. \(2\) et \(3\) sont tous deux des nombres premiers, donc sans facteur commun.
Par conséquent, la fraction impropre, \(\frac{5}{3}\), a la fraction mixte, \(1\frac{2}{3}\).
b. Conversion de \(\frac{27}{6}\) en fraction mixte.
Étape 1: Divise le numérateur par le dénominateur.
\N- [27\Ndiv 6=4\N, r\N, 3\N]
où \(r\) signifie "reste".
Étape 2: puisque ton nombre entier est \N(4\N) et que ton reste est \N(3\N), tu peux placer \N(4\N) sur le côté gauche. Ensuite, \N(3\N) devient le nouveau numérateur tandis que \N(6\N) est conservé comme dénominateur, de sorte que tu as
\[\frac{27}{6}=4\frac{3}{6}\]
Étape 3: Vérifie qu'aucun facteur n'est commun entre le nouveau numérateur et le dénominateur. Entre le numérateur, \(3\), et le dénominateur, \(6\), il y a un facteur commun qui est \(3\). Par conséquent, simplifie \(\frac{3}{6}\) en divisant par \(3\) pour obtenir
\[4+\frac{3\div 3}{6\div 3}=4\frac{1}{2}\]
Puisque le numérateur et le dénominateur actuels ne peuvent pas être divisés davantage, la fraction impropre, \(\frac{27}{6}\), a la fraction mixte, \(4\frac{1}{2}\).
Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?
Un nombre décimal est un nombre non entier avec des chiffres après la virgule. Ces chiffres représentent une partie d'une quantité entière.
Habituellement, nous travaillons avec des nombres dans le "système numérique de base dix", dans lequel les nombres sont exprimés comme des combinaisons de chiffres entre 0 et 9.
Il existe d'autres systèmes de numération : par exemple, les ordinateurs fonctionnent avec le "système binaire", dans lequel chaque nombre est exprimé comme une combinaison de 0 et de 1.
Une décimale est marquée par un point décimal. Les nombres avant la virgule (à gauche) sont des nombres entiers tandis que ceux après la virgule (à droite) sont des parties d'un tout :
0,5, 2,46 et 0,0057 sont des nombres décimaux.
Dans la décimale 2,46, 2 est un nombre entier et est un nombre entier alors que 0,4 (4 dixièmes) et 0,06 (6 centièmes) sont des non entiers car ce ne sont que des parties d'un nombre entier.
Qu'est-ce qu'un pourcentage ?
Unpourcentage peut être défini comme le rapport ou une partie d'un nombre sur cent.
Le pourcentage répond à la quantité d'une quantité que l'on peut trouver dans 100 d'une autre quantité.
Si tu penses au mot "pourcentage" littéralement, PER-CENT. CENT en chiffres signifie 100, PER signifie "dans chaque..." Ainsi, en combinant le sens des deux, cela signifie simplement "dans chaque 100".
Par conséquent, un nombre en pourcentage signifie que le nombre est divisé par 100.
Le pourcentage est représenté par le symbole % écrit devant les nombres.
Le signe % peut être traduit par un 1 représenté par une barre oblique et deux 0 en haut à gauche et en bas à droite de la barre oblique ; 1 et deux 0 - 100 . N'oublie pas que la barre oblique est un signe de division .
\(50%), (40%), (13%) sont des exemples de pourcentages.
En fait, \N(50\%\N) signifie
\[50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\]
De même, \N(40\%\N) signifie
\[40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}\]
et \(13%\) signifie
\[13\%=\frac{13}{100}\]
Quelle est la relation entre les fractions, les décimales et les pourcentages ?
Les fractions, les décimales et les pourcentages sont tous utilisés pour représenter la quantité d'une portion par rapport à un tout. Cependant, ils sont représentés différemment. Les fractions et les décimales définissent la partie d'un tout par rapport au terme le plus bas ; en revanche, les pourcentages définissent la partie d'un tout par rapport à 100.
De plus, lorsqu'elles sont représentées, les fractions et les décimales ne sont pas mélangées avec d'autres formes (telles que fraction, décimale ou pourcentage). Cependant, les pourcentages peuvent être représentés sous la forme de fractions ou de décimales avec une partie fractionnaire comme \(53\frac{2}{3}\%\) ; ou des pourcentages peuvent avoir une partie décimale comme \(53.67\%\).
Fractions et pourcentages
Les fractions et les pourcentages sont très liés. Toutes les fractions peuvent être converties en pourcentages, de même que tous les pourcentages peuvent être convertis en fractions. Ce sont deux façons d'exprimer les parties d'un tout.
Comment convertir des fractions en pourcentages ?
Si tu souhaites convertir des fractions en pourcentages, multiplie la fraction par 100 %. Rappelle-toi que tout nombre comportant le symbole du pourcentage signifie que le nombre est divisé par 100. Ainsi, 100 % est en fait égal à 1 parce que.. :
\[100\% \frac{100}{100} = 1\].
Par conséquent, note que le fait de multiplier par 100 % ne change pas la valeur réelle de la fraction : cela change seulement la façon dont elle est exprimée.
Pour une question d'organisation, suis les étapes suivantes :
Étape 1 : Multiplier par 100 % ;
Étape 2 : simplifie le résultat obtenu à l'étape 1, jusqu'à ce que tu n'ailles pas plus loin.
Vois les exemples ci-dessous pour être bien guidé.
Convertis les fractions suivantes en pourcentages :
a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(2 \cdot \frac{1}{5}\)
Solution
a) Étape 1 : Multiplie la fraction par 100 %.
\[\frac{1}{4} \cdot 100\%\]
b) Étape 2 : simplifie le résultat précédent en le divisant par 4.
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{1}{4} \cdot 100\% = \frac{100}{4} \% = \frac{\cancel{100}}{\cancel{4}} \% = 25\%\]
b) Lorsque tu dois convertir une fraction mixte en pourcentage, tu as une étape supplémentaire à franchir. Tout d'abord, convertis la fraction mixte en fraction impropre :
\[2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{(2 \cdot 5) +1}{5} = \frac{11}{5}\]
Passons maintenant aux étapes.
Étape 1 : Multiplie la fraction impropre par 100 % ; \(\frac{11}{5} \cdot 100\%\)
Étape 2 : simplifie en divisant par 5 ;
\(\frac{11}{\cancel{5}}\cdot \cancel{100}\% = 11 \cdot 20\%= 220\%\)
Comment convertir des pourcentages en fractions ?
Lorsque tu dois convertir des pourcentages en fractions, il te suffit de faire ces deux étapes :
Étape 1 : divise le pourcentage par 100 %, et
Étape 2: simplifie.
Convertis les pourcentages suivants en fractions :
a) 40%
b) 120%
Solution
a) Étape 1 : divise le pourcentage par 100 %.
\(\frac{40\%}{100\%}\)
Étape 2 : simplifie jusqu'à ce que tu ne puisses plus diviser.
\(\frac{\cancel{40\%}}{\cancel{100\%}} = \frac{4}{10} = \frac{\cancel{4}}{\cancel{10}} = \frac{2}{5}\)
b) Étape 1 : Divise le pourcentage par 100 %.
\(\frac{120\%}{100\%}\)
Étape 2 : Simplifie jusqu'à ce que tu ne puisses plus diviser.
\(\frac{\cancel{120\%}}{\cancel{100\%}} = \frac{12}{10} = \frac{\cancel{12}}) {\cancel{10}} = \frac{6}{5} = 1 \cdot \frac{1}{5}\)
Fractions et décimales
Les fractions et les décimales sont similaires. Elles diffèrent simplement dans le mode d'expression des nombres, bien qu'elles représentent toutes deux des parties d'un tout.
Comment convertir des fractions en décimales ?
Les fractions sont facilement converties en décimales en les divisant directement en plaçant les décimales de façon appropriée ou en utilisant la méthode de la division longue. Mais nous n'appliquerons que l'approche de la division directe.
Division directe
Dans cette approche, lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur et divisé, un 0 est écrit, et un point décimal est placé après lui. Ensuite, la division se poursuit de cette manière.
Cependant, une fois que la virgule est placée, tu ne peux pas en placer une autre si jamais tu divises un autre nombre inférieur au dénominateur. Tout ce que tu dois faire, c'est ajouter un 0 devant chaque fois que cela se produit.
Convertis les éléments suivants en décimales :
a) \(\frac{1}{5}\)
b) \(\frac{1}{8}\)
Solution
a) \(\frac{1}{5}\)
Le numérateur 1 est inférieur au dénominateur 5. Tu ajoutes donc un 0 devant 1, ce qui donne 10, mais tu places un 0 et une virgule après au-dessus de la fraction, comme indiqué ci-dessous,
\[0.\frac{10}{5}\]
Maintenant, le numérateur est suffisamment grand pour être divisé par le dénominateur, tu peux donc diviser ;
\[0.\frac{10}{5} = \frac{\cancel{10}}{\cancel{5}}\]
Place ta réponse après la virgule. Continue à diviser s'il y a un reste ; mais dans ce cas, il n'y a pas de reste. Il n'y a donc pas de reste :
\N- [0,2 \Nfrac{1}{5}\N]
Notre réponse est donc 0,2.
b) \(\frac{1}{8}\)
Le numérateur 1 est inférieur au dénominateur 5. Tu ajoutes donc un 0 devant 1, ce qui donne 10, mais tu places un 0 et une virgule après au-dessus de la fraction, comme indiqué ci-dessous ;
\[0.\frac{10}{8}\]
10 divisé par 8 est 1 reste 2 ; écris le 1 après la virgule et laisse le reste au-dessus de 10.
\[0.1 \frac{\cancel{10^2}}{\cancel{8}}\]
Ensuite, tu divises le reste 2 par 8, 2 est inférieur à 8 alors tu ajoutes un autre 0 à côté pour obtenir 20 et tu divises par 8 ;
\[0.1 \frac{\cancel{20^4}}{\cancel{8}}\]
Ensuite, tu divises le reste 4 par 8, 4 est inférieur à 8, donc tu ajoutes un autre 0 à côté, ce qui donne 40 et tu divises par 8 ;
\(0.12 \frac{\cancel{40}}{\cancel{8}}\)
Il n'y a plus de reste, donc
\[\frac{1}{8} = 0,125\].
Notre réponse est donc 0,125.
Comment les décimales sont-elles converties en fractions ?
Les décimales sont converties en fractions en suivant les étapes suivantes :
Détermine le nombre de décimales (d.p.) - cela se fait en comptant les nombres après la virgule.
Le nombre de décimales détermine le nombre de 0. Une décimale correspond à 10, deux décimales à 100, trois à 1000 et ainsi de suite.
Enlève la virgule et divise le nombre par 10, 100, 1000, etc. en fonction de la virgule.
Cela deviendra très intéressant lorsque tu auras essayé les étapes correspondantes... Facile-facile .
Convertis les éléments suivants en fraction :
a) 0.2
b) 0.125
Solution
a) Étape 1 : Détermine le nombre de décimales ; la p.d. de 0,2 est 1 parce qu'il n'y a qu'un seul nombre qui vient après la virgule.
Étape 2 : Puisqu'il y a 1 d.p., cela signifie que tu divises par 10.
Étape 3 : Enlève la virgule et divise le nombre par 10, 100, 1000, etc. en fonction de la valeur de la virgule ; lorsque tu enlèves la virgule, le nombre que tu obtiens est 02, mais le 0 est en fait omis, ce qui fait que tu as 2. Divise maintenant 2 par 10 :
\(\frac{2}{10}= \frac{\cancel{2}}{\cancel{10}} = \frac{1}{5}\)
b) Étape 1 : Détermine le nombre de décimales ; la p.d. de 0,125 est de 3 parce qu'il y a trois nombres qui viennent après la virgule.
Étape 2 : Puisqu'il y a 3 d.p., cela signifie que 1000 est le diviseur.
Étape 3 : Enlève la virgule et divise le nombre par 10, 100, 1000, etc. selon le d.p. ; lorsque tu enlèves la virgule, le nombre que tu obtiens est 0125, mais le 0 est en fait omis, ce qui fait que tu as 125. Divise maintenant 125 par 1000 ;
\(\frac{125}{1000}\)
Divise par 5 :
\(\frac{\cancel{125}}{\cancel{1000}}=\frac{25}{200}\)
Continue à diviser jusqu'à ce que tu ne puisses plus le faire :
\frac{\cancel{125}}{\cancel{1000}}=\frac{25}{200} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}\)
Décimales et pourcentages
Les décimales et les pourcentages sont très liés. Toutes les décimales peuvent être converties en pourcentages, et vice-versa.
Comment convertir les décimales en pourcentages ?
Les décimales sont converties en pourcentages en multipliant la décimale par 100 %.
Convertis les éléments suivants en pourcentage :
a) 0.7
b) 1.6
Solution
a) Multiplie la décimale par 100 % :
\(0,7 \cdot 100\% = 70\%\)
b) Multiplie la décimale par 100 % :
\(1,6 \cdot 100\% = 160\c%)
Comment convertir les pourcentages en décimales ?
Les pourcentages peuvent être convertis en décimales en divisant le pourcentage par 100 %. Note que tu obtiendras d'abord une fraction ; tu devras ensuite convertir la fraction en décimales en suivant les étapes expliquées plus haut.
Convertis les données suivantes en décimales :
a) 70%
b) 160%
Solution
a) Divise par 100 % :
\(\frac{70\%}{100\%} = \frac{\cancel{70\%}}{\cancel{100\%}} = \frac{7}{10}\)
Convertis la fraction en décimale en suivant les étapes expliquées précédemment ;
\(\frac{7}{10} = 0.70.7\)
b) Divise par 100 % :
\(\frac{160\%}{100\%} = \frac{\cancel{160\%}}{\cancel{100\%}} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\)
Convertis la fraction en décimale en suivant les étapes expliquées précédemment :
\(\frac{8}{5} = 1,6\N)
Autres exemples sur les fractions, les décimales et les pourcentages.
Il y a plusieurs cas dans la vie réelle où tu pourrais être amené à présenter des données sous les 3 formes.
Un homme gagne 1000 livres sterling, et il dépense 400 livres sterling pour se loger.
a) Détermine la fraction qu'il dépense pour le logement.
b) Exprime en décimales la fraction qu'il consacre à l'épicerie s'il dépense 100 £ pour cela.
c) Détermine le pourcentage de son revenu consacré aux dons s'il fait une aumône d'une valeur de 50 £.
Solution
a) La fraction qu'il consacre à l'hébergement est calculée comme suit .
\(\frac{400}{1000} = \frac{\cancel{400}}{\cancel{1000}} = \frac{4}{10}=\frac{2}{5}\).
b) La part décimale des dépenses d'épicerie est la suivante
\(\frac{100}{1000} = \frac{\cancel{100}}{\cancel{1000}} = \frac{1}{10}\)
En suivant les étapes expliquées précédemment, la fraction est convertie en
\(\frac{1}{10} = 0.10.1\)
c) le pourcentage qu'il donne aux pauvres est de
\(\frac{50}{1000}) \cdot 100\% = \frac{50}{10\cancel{00}}\cdot \cancel{100}\% = \frac{5}{10} \N% = \Nfrac{1}{2} \N% = \Nfrac{1}{5} \%\)
ou bien on peut l'exprimer sous forme de pourcentage décimal en convertissant la partie fractionnaire en décimale
\(\frac{1}{5} \% = 0,2\%\)
Fractions, décimales et pourcentages - Points clés à retenir
- Une fraction est une portion ou une partie d'un nombre entier, d'une expression ou de tout ce qui est différent de zéro.
- Un décimal est un nombre qui exprime des nombres en fractions de 10 ou en multiples de 10.
- Unpourcentage peut être défini comme le rapport ou une partie d'un nombre sur cent.
- Toutes les fractions peuvent être converties en pourcentages, et vice-versa.
- Toutes les fractions peuvent être converties en décimales, et vice-versa.
- Toutes les décimales peuvent être converties en pourcentages, et vice-versa.
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