Règle du produit

Si \(y = 5xe^2\) trouve \(\frac{dy}{dx}\) :

Tout d'abord, tu peux commencer par regarder la formule de la règle du produit et trouver chaque aspect de la formule :

\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\].

Si \(y = 5xe^2\), \(u = 5x\) et \(v = e^2\)

Pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\), tu peux différencier u et v :

\(\frac{du}{dx} = 5\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)

\[\frac{dy}{dx} = (5x)(0) + (e^2)(5) = 5e^2\]

Si \(y = (4\sin{x})e^2\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

Comme précédemment, tu peux commencer par trouver chaque partie de la formule :

\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\].

Si \(y = (4\sin{x})e^2\), \(u = 4\sin x\) et \(v = e^2\)

Tu peux maintenant différencier u et v pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\) :

\(\frac{du}{dx} = 4\cos x\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)

Enfin, tu peux substituer chaque partie dans ta formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :

\[\frac{dy}{dx} = (4\sin x)(0) + (e^2)(4\cos x)\]

\N- [\N- \Nfrac{dy}{dx} = 4e^2\Ncos x]\N]

Si \N(f(x) = 2x^2(x^2 + 4)\Ntrouve \N(f'(x)\N)

Une fois de plus, tu peux commencer par décomposer la formule de la règle du produit en notation de fonction et trouver chaque partie.

\N(f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)\N)

Si \(f(x) = 2x^2(x^2 + 4)\), \(g(x) = 2x^2\) et \(h(x) = x^2 + 4\).

Ensuite, tu peux différencier g(x) et h(x) pour trouver les dérivées, g'(x) et h'(x) :

\N(g' = 4x\N) \N(h'(x) = 2x\N)

Maintenant que tu as chaque partie de la formule, tu peux la résoudre pour trouver f'(x) :

\(f'(x) = (2x^2)(2x) + (x^2 + 4)(4x) = 2(4x^3 + 8x)\)

Si \(y = \ln x(x^2)\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

Pour commencer, examinons la formule de la règle du produit et trouvons-en chaque aspect :

\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}].

Si \(y = \ln x(x^2)\), \(u = \ln x\) et \(v = x^2\).

Différencions les termes pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\) :

\(\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}\) \(\frac{dv}{dx} = 2x\)

Tu peux maintenant insérer chaque partie dans la formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :

\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}}\]

\frac{dy}{dx} = (\ln{x})(2x) + (x^2)(\frac{1}{x}) = 2x \ln{x} + x\]