Génération des termes d'une séquence

T'es-tu déjà demandé comment tu pourrais savoir quel sera ton salaire dans 5 ans s'il augmente d'un montant constant chaque année ? Jake gagne un salaire annuel de 27 000 £, appelons-le "x", et a une augmentation annuelle de "y". Pour connaître le salaire annuel de Jake pour les trois années à venir, tu peux utiliser l'expression x+y, x+2y, x+3y. C'est un exemple de séquence. Il peut être utile de comprendre comment générer les termes d'une séquence pour de nombreuses raisons de la vie courante.

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Table des mateères

    Définition du terme général d'une séquence

    Une séquence est un ensemble de nombres qui suivent tous un certain modèle ou une certaine règle.

    Il existe différents types de séquences, comme les séquences arithmétiques et les séquences géométriques.

    Une suite arithmétique est un type de suite qui augmente ou diminue par une addition ou une soustraction constante. C'est ce qu'on appelle une différence commune.

    Une suite géométrique est un type de suite qui augmente ou diminue par une multiplication ou une division constante. C'est ce qu'on appelle le rapport commun.

    Générer les termes d'un calcul de séquence

    Il peut être utile de pouvoir générer les termes d'une suite. Pour ce faire, on peut utiliser la règle terme à terme ou la règle position à terme.

    Règle terme à terme

    La règle terme à terme est une façon dont les termes d'une suite sont croissants ou décroissants. Pour utiliser cette règle, tu dois trouver la différence commune ou le rapport commun, selon le type de suite que tu as. Une fois que tu as compris comment trouver la différence commune/le rapport commun, tu peux utiliser la règle terme à terme pour générer les termes d'une suite.

    Séquences arithmétiques

    Pour utiliser la règle terme à terme dans une suite arithmétique, tu dois d'abord calculer la différence commune entre un terme et le suivant, ce qui se fait généralement en soustrayant un terme du terme précédent.

    Trouve la différence commune pour 3, 7, 11, 15, 19...

    Solution :

    Pour commencer, tu peux soustraire le deuxième terme du premier, puis vérifier que la différence est constante en vérifiant la différence entre chacun des termes.

    7-3=4

    11-7=4

    15-11=4

    19-15=4

    Ici, tu peux voir que chacun des termes a une différence de 4, donc la différence commune est 4.

    Suites géométriques

    Pour trouver la règle terme à terme d'une suite géométrique, tu dois diviser un terme par le terme précédent.

    Trouve le rapport commun pour 5, 10, 20, 40...

    Solution :

    Pour trouver le rapport commun, tu peux diviser un terme par le terme précédent, puis tu peux vérifier que la différence entre chaque terme est constante ;

    10÷5=2

    20÷10=2

    40÷20=2

    Ici, tu peux voir que le rapport commun est 2.

    Utiliser la règle terme à terme pour générer les termes d'une séquence

    Pour utiliser la règle du terme à terme afin de trouver les termes suivants d'une séquence, il te suffit de calculer la différence commune/le rapport, puis d'utiliser ce nombre pour trouver les termes suivants.

    Utilise la règle du terme à terme pour trouver les 3 termes suivants de la séquence suivante : 6, 11, 16, 21...

    Solution :

    Trouve la différence commune en calculant la différence entre chaque terme pour t'assurer qu'elle est constante.

    11-6=5

    16-11=5

    21-16=5

    Tu peux voir ici que la différence commune est de 5. Puisque tu le sais, tu peux maintenant utiliser cette information pour trouver les termes suivants de la séquence. Pour ce faire, ajoute 5 au dernier terme pour trouver le terme suivant.

    21+5=26

    26+5=31

    31+5=36

    Par conséquent, pour la séquence 6, 11, 16, 21... la différence commune est 5 et les trois termes suivants sont 26, 31 et 36.

    Règle de la position par rapport au terme

    La règle de la position par rapport au terme fait référence à la position de chaque terme, car chaque terme a sa propre position. Cette règle peut être utilisée pour créer une formule pour une séquence, qui te permettra de générer les termes d'une séquence. La formule peut être écrite en termes de n. Le nième terme représente un terme particulier d'une séquence.

    Calcul de la règle de la position par rapport au terme

    Comme chaque terme d'une séquence a une position, tu peux la calculer et l'utiliser pour créer une formule pour la séquence.

    Examinons la séquence : 10, 11, 12, 13, 14...

    Solution :

    Pour montrer visuellement comment identifier la position de chacun de ces termes, nous allons les mettre dans un tableau.

    PositionTerme
    110
    211
    312
    413
    514

    Pour créer la formule, tu dois tenir compte de la façon dont les termes passent de la position au terme, par exemple, pour passer de la position 1 au terme 10, tu ajoutes 9. De même, pour passer de la position 2 au terme 11, tu ajoutes 9 et ainsi de suite. Cela signifie que la formule s'écrira comme suit

    n+9

    Utilisation de la règle de la position au terme pour générer les termes d'une séquence

    Afin d'utiliser la règle de la position au terme pour générer les termes d'une séquence, tu peux substituer le nième terme à la formule donnée, ce qui te donnera le terme correspondant à cette position.

    Trouve les trois premiers termes de la séquence où 2n+6

    Solution :

    Puisque tu dois trouver les trois premiers termes de la suite, il te suffit de substituer les positions, 1, 2 et 3 dans la formule pour trouver la valeur des termes ;

    2(1)+6=8

    2(2)+6=10

    2(3)+6=12

    Par conséquent, les trois premiers termes de la suite 2n+6 sont 8, 10, 12.

    Exemples de termes généraux d'une suite

    Trouve les trois premiers termes de la suite où 4n-2 en utilisant la règle de la position au terme.

    Solution :

    Puisque tu dois trouver les trois premiers termes de la suite, il te suffit de substituer les positions dans la formule.

    4(1)-2=2

    4(2)-2=6

    4(3)-2=10

    Par conséquent, les trois premiers termes de la suite 4n-2 sont 2, 6, 10.

    Utilise la règle du terme à terme pour trouver les 3 termes suivants de la séquence suivante ; 4, 12, 36, 108...

    Solution :

    Commence par trouver la constante entre chaque terme :

    12÷4=3

    36÷12=3

    108÷36=3

    Tu peux voir ici que le rapport commun est 3. Maintenant que tu le sais, tu peux utiliser cette information pour trouver les termes suivants de la séquence. Pour ce faire, multiplie le dernier terme par 3 pour trouver le terme suivant ;

    108×3=324

    324×3=972

    972×3=2916

    Par conséquent, les trois termes suivants de la séquence sont 324, 972 et 2916.

    Générer les termes d'une séquence - Principaux enseignements

    • Une séquence est un ensemble de nombres qui suivent tous un certain modèle ou une certaine règle.
    • Pour générer les termes d'une séquence, tu peux utiliser la règle terme à terme ou la règle position à terme.
    • La règle terme à terme est une façon de décrire la manière dont les termes d'une séquence sont croissants ou décroissants. Pour générer le terme suivant d'une séquence, tu peux ajouter, soustraire, diviser ou multiplier le dernier terme par la règle terme à terme.
    • La règle de position à terme fait référence à la position de chaque terme et peut aider à générer une formule qui te permettra de générer les termes d'une suite.
    Questions fréquemment posées en Génération des termes d'une séquence
    Comment générer les termes d'une séquence arithmétique ?
    On génère les termes d'une séquence arithmétique en ajoutant une différence constante (raison) au terme précédent.
    Comment trouver la formule d'une séquence géométrique ?
    Pour une séquence géométrique, on multiplie chaque terme par un facteur constant appelé raison pour trouver le terme suivant.
    Quels sont les trois premiers termes de la suite définie par an = 2n + 3 ?
    Les trois premiers termes sont a1 = 5, a2 = 7, et a3 = 9.
    Qu'est-ce qu'une suite récurrente ?
    Une suite récurrente est définie en utilisant une relation reliant chaque terme aux précédents, comme an = an-1 + an-2.

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