Facteurs de mise à l'échelle

Dans l'image ci-dessous, il y a des formes similaires $ABCDE$ et $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$. Nous avons :

$DC=16cm$ $D\text{'}C\text{'}=64cm$, , , et . $ED=xcm$ $E\text{'}D\text{'}=32cm$ $AB=4cm$ $A\text{'}B\text{'}=ycm$

AB=4 cmTrouve lavaleur de $x$ et $y$.

Exemple de calcul des longueurs manquantes à l'aide du facteur d'échelle - StudySmarter Originals

Solution :

En regardant l'image, nous pouvons voir que $DC$ et $D\text{'}C\text{'}$ sont des côtés correspondants, ce qui signifie que leurs longueurs sont proportionnelles l'une à l'autre. Comme nous avons les longueurs des deux côtés, nous pouvons les utiliser pour calculer le facteur d'échelle.

En calculant le facteur d'échelle, nous obtenons $SF=\frac{64}{16}=4$.

Ainsi, si nous définissons $ABCDE$ comme étant la forme originale, nous pouvons dire que nous pouvons agrandir cette forme avec un facteur d'échelle de $4$ pour obtenir la forme agrandie $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$.

Maintenant, pour calculer $x$nous devons travailler à l'envers. Nous savons que $ED$ et $E\text{'}D\text{'}$ sont des côtés correspondants. Ainsi, pour passer de $E\text{'}D\text{'}$ à $ED$ il faut diviser par le facteur d'échelle. Nous pouvons dire que $x=\frac{32}{4}=8cm$.

Pour obtenir y, nous devons multiplier la longueur du côté $AB$ par le facteur d'échelle. Ainsi, nous avons $A\text{'}B\text{'}=4\times 4=16cm$.

Par conséquent, $x=8cm$ et $y=16cm$.

Tu trouveras ci-dessous les triangles similaires $ABC$ et $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, tous deux dessinés à l'échelle. Détermine le facteur d'échelle pour passer de $ABC$ à $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

Exemple de calcul du facteur d'échelle lorsque le facteur d'échelle est fractionnaire - StudySmarter Originals

Solution :

Remarque que dans cette forme, la forme transformée est plus petite que la forme originale. Cependant, pour calculer le facteur d'échelle, nous faisons exactement la même chose. Nous regardons les deux côtés correspondants, prenons $AB$ et $A\text{'}B\text{'}$ par exemple. Nous divisons ensuite la longueur du côté transformé par la longueur du côté original. Dans ce cas, $AB=4units$et $A\text{'}B\text{'}=2units$.

Par conséquent, le facteur d'échelle, $SF=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Remarque ici que nous avons un facteur d'échelle fractionnaire. C'est toujours le cas lorsque nous passons d'une forme plus grande à une forme plus petite.

Tu trouveras ci-dessous trois quadrilatères semblables. Nous avons que $DC=10cm$, $D\text{'}C\text{'}=15cm$, $D\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=20cm$et $A\text{'}D\text{'}=18cm$. Calcule l'aire des quadrilatères $ABCD$et $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$.

Exemple de calcul de l'aire à l'aide d'un facteur d'échelle - StudySmarter Originals

Solution :

Tout d'abord, calculons le facteur d'échelle pour passer de $ABCD$ à $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Puisque $D\text{'}C\text{'}=15cm$ et $DC=10cm$on peut dire que le facteur d'échelle $SF=\frac{15}{10}=1.5$. Ainsi, pour passer de $ABCD$ à $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ on agrandit d'un facteur d'échelle de $1.5$. On peut donc dire que la longueur de $AD$ est $\frac{18}{1.5}=12cm$.

Maintenant, calculons le facteur d'échelle pour passer de $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ à $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$. Puisque $D\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=20cm$ et $D\text{'}C\text{'}=15cm$on peut dire que le facteur d'échelle $SF=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$. Ainsi, pour calculer A''D'', on multiplie la longueur de A'D' par $\frac{4}{3}$ pour obtenir $A\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}=18\times \frac{4}{3}=24cm$.

Pour calculer l'aire d'un quadrilatère, rappelle-toi que nous multiplions la base par la hauteur. Ainsi, l'aire de $ABCD$ est $10cm\times 12cm=120c{m}^2$ et de la même façon, l'aire de $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}$ est $20cm\times 24cm=420c{m}^2$.

Voici deux triangles rectangles similaires $ABC$ et $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Calcule la longueur de $A\text{'}C\text{'}$.

Calculer la longueur manquante en utilisant le facteur d'échelle et Pythagore - StudySmarter Originals

Solution :

Comme d'habitude, commençons par calculer le facteur d'échelle. Note que $BC$ et $B\text{'}C\text{'}$ sont deux côtés correspondants connus, nous pouvons donc les utiliser pour calculer le facteur d'échelle.

Ainsi , $SF=\frac{4}{2}=2$. Le facteur d'échelle est donc $2$. Comme nous ne connaissons pas le côté $AC$nous ne pouvons pas utiliser le facteur d'échelle pour calculer $A\text{'}C\text{'}$. Cependant, comme nous connaissons $AB$nous pouvons l'utiliser pour calculer $A\text{'}B\text{'}$.

Ce faisant, nous obtenons $A\text{'}B\text{'}=3\times 2=6cm$. Nous avons maintenant deux côtés d'un triangle rectangle. Tu te souviens peut-être d'avoir appris le théorème de Pythagore. Si ce n'est pas le cas, tu devrais peut-être le revoir avant de continuer avec cet exemple. Cependant, si tu connais bien Pythagore, peux-tu comprendre ce que nous devons faire maintenant ?

D'après Pythagore lui-même, nous avons que $a^2+b^2=c^2$où$c$ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, et $a$ et $b$ sont les deux autres côtés. Si nous définissons $a=4cm$, $b=6cm$, et $c=A\text{'}C\text{'}$nous pouvons utiliser Pythagore pour calculer $c$!

Ce faisant, nous obtenons $c^2=4^2+6^2=16+36=52$. Donc , $c=\sqrt{52}=7.21cm$.

On a donc que $A\text{'}C\text{'}=7.21cm$.

Voici le triangle $ABC$. Agrandis ce triangle avec un facteur d'échelle de $3$ en plaçant le centre de l'agrandissement à l'origine.

Exemple d'agrandissement d'un triangle - StudySmarter Originals

Solution :

La première étape consiste à s'assurer que le centre de l'agrandissement est indiqué. Rappelle que l'origine est la coordonnée $(0,0)$. Comme nous pouvons le voir dans l'image ci-dessus, cette coordonnée a été indiquée comme étant le point O.

Choisis maintenant un point sur la forme. Ci-dessous, j'ai choisi le point B. Pour aller du centre de l'agrandissement O au point B, nous devons parcourir $1$ unité le long et $1$ unité vers le haut. Si nous voulons agrandir ce point avec un facteur d'échelle de $3$nous devrons parcourir $3$ unités le long et $3$ unités vers le haut à partir du centre d'agrandissement. Ainsi, le nouveau point $B\text{'}$ se trouve au point $(3,3)$.

Exemple d'agrandissement d'un triangle - StudySmarter Originals

Nous pouvons maintenant étiqueter le point $B\text{'}$ sur notre diagramme comme indiqué ci-dessous.

Exemple d'agrandissement d'un triangle point par point - StudySmarter Originals

Ensuite, nous faisons la même chose avec un autre point. J'ai choisi $C$. Pour aller du centre de l'agrandissement O au point C, nous devons parcourir $3$ unités le long et $1$ unité vers le haut. Si nous agrandissons ce point de $3$nous devrons parcourir $3\times 3=9$ unités le long et $1\times 3=3$ unités vers le haut. Ainsi, le nouveau point $C\text{'}$ se trouve à $(9,3)$.

Exemple d'agrandissement d'un triangle point par point - StudySmarter Originals

Nous pouvons maintenant étiqueter le point $C\text{'}$ sur notre diagramme comme indiqué ci-dessous.

Exemple d'agrandissement d'un triangle point par point - StudySmarter Originals

Enfin, nous examinons le point $A$. Pour aller du centre de l'agrandissement O au point A, nous parcourons $1$ unité le long et $4$ unités vers le haut. Ainsi, si nous agrandissons ce point avec un facteur d'échelle de $3$nous devrons parcourir $1\times 3=3$ unités le long et $4\times 3=12$ unités vers le haut. Par conséquent, le nouveau point $A\text{'}$ se trouvera au point $(3,12)$.

Exemple d'agrandissement d'un triangle point par point - StudySmarter Originals

Nous pouvons maintenant étiqueter le point $A\text{'}$ sur notre diagramme, comme indiqué ci-dessous. Si nous joignons les coordonnées des points que nous avons ajoutés, nous obtenons le triangle suivant $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Ce triangle est identique au triangle original, les côtés sont juste trois fois plus grands. Il se trouve au bon endroit car nous l'avons agrandi par rapport au centre d'agrandissement.

Exemple d'agrandissement d'un triangle - StudySmarter Originals

Nous avons donc notre triangle final représenté ci-dessous.

Exemple d'agrandissement d'un triangle - StudySmarter Originals

Voici le quadrilatère $ABCD$. Agrandis ce quadrilatère avec un facteur d'échelle de $-2$ en plaçant le centre de l'agrandissement au point $P=(1,1)$.

Exemple de facteurs d'échelle négatifs - StudySmarter Originals

Solution :

Tout d'abord, nous prenons un point sur le quadrilatère. J'ai choisi le point $D$. Maintenant, nous devons déterminer à quelle distance D se trouve du centre de l'agrandissement P. Dans ce cas, pour aller de P à D, nous devons parcourir $1$ unité le long et $1$ une unité vers le haut.

Si nous voulons l'agrandir avec un facteur d'échelle de $-2$nous devons parcourir $1\times -2=-2$ unités le long et $1\times -2=-2$ unités vers le haut. En d'autres termes, nous nous éloignons de $2$ unités vers l'extérieur et $2$ unités vers le bas de P. Le nouveau point D' est donc à $(-1,-1)$comme indiqué ci-dessous.

Exemple de facteurs d'échelle négatifs - StudySmarter Originals

Considérons maintenant le point A. Pour aller de P à A, nous parcourons $1$ unité le long de et $2$ unités vers le haut. Par conséquent, pour agrandir ce point avec un facteur d'échelle $-2$nous parcourons $1\times -2=-2$ unités le long et $2\times -2=-4$ unités vers le haut. En d'autres termes, nous nous déplaçons $2$ unités à gauche de P et $4$ vers le bas, comme le montre le point A' ci-dessous.

Exemple de facteurs d'échelle négatifs - StudySmarter Originals

Considérons maintenant le point C. Pour aller de P à C, nous parcourons $3$ unités le long de et $1$ unité vers le haut. Par conséquent, pour agrandir ce point avec un facteur d'échelle $-2$nous parcourons $3\times -2=-6$ unités le long et $1\times -2=-2$ unités vers le haut. En d'autres termes, nous nous déplaçons $6$ unités à gauche de P et $2$ vers le bas, comme le montre le point C' ci-dessous.

Exemple de facteurs d'échelle négatifs - StudySmarter Originals

Considérons maintenant le point B. Pour aller de P à B, nous parcourons $2$ unités le long de et $2$ unités vers le haut. Par conséquent, pour agrandir ce point avec un facteur d'échelle $-2$nous parcourons $2\times -2=-4$ unités le long et $2\times -2=-4$ unités vers le haut. En d'autres termes, nous nous déplaçons $4$ unités à gauche de P et $4$ vers le bas, comme le montre le point B' ci-dessous.

Exemple de facteurs d'échelle négatifs - StudySmarter Originals

Si nous joignons les points et supprimons les lignes de rayons, nous obtenons le quadrilatère ci-dessous. Il s'agit de notre forme finale agrandie. Remarque que la nouvelle image apparaît à l'envers.

Exemple de facteurs d'échelle négatifs - StudySmarter Originals