Intégration des fonctions trigonométriques

Voyons comment intégrer les fonctions trigonométriques telles que sin, cos et tan, ainsi que les fonctions trigonométriques inverses telles que arcsin, arccos et arctan.

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Table des mateères

    Comment intégrer les fonctions trigonométriques ?

    Chaque fonction trigonométrique a son intégrale définie :

    Intégrale de sin(x)

    L'intégrale de \(\sin{x}\) est \(-\cos{x} + c\). En utilisant la notation intégrale, \(\int{\sin{x}}\space dx\).

    Intégrale de cos(x)

    L'intégrale de \(\cos{x}\) est \(\sin{x} + c\) ou \(\int{\cos{x}} dx = \sin{x} + c\).

    Intégrale de tan(x)

    L'intégrale de tan(x) est \N(ln|\cos{x}| + c\N) ou \N(\Nint{\tan{x} dx} = ln|\cos{x}| + c\N).

    Voyons ce que cela donne.

    Nous savons que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{\cos{x}}\), nous pouvons donc substituer ceci dans l'intégrale \(\int{\tan{x} dx} = \int {\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx}\).

    Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la substitution u = cos(x) donc \(\frac{du}{dx} = -\sin{x}\) et \(dx = -\frac{1}{\sin{x}} du\).

    Notre intégrale se présente maintenant comme suit : \(\int{\frac{\sin{x}}{u}}{\frac{1}{-\sin{x}}} du\)

    Nous pouvons annuler \(\sin{x}\) et obtenir \(\int{-\frac{1}{u} du}\).

    Nous savons que l'intégrale de \( \frac{1}{x} = ln(x)\) , donc \(\int{-\frac{1}{u} du} = -ln(u) + c\) .

    Si nous remplaçons \(\cos{x}\), nous obtenons \(\ln \cdot \cos {x}\), ce qui est équivalent à \(ln|\cos{x}|^{-1}\).

    \(|\cos{x}|^{-1} = \frac {1}{\cos{x}} = \sec {x}\) donc \(\int{\tan{x} \space dx} = ln|\sec{x}| + c\)

    Trouve l'intégrale de \(x \sin{2x}\)

    Nous utiliserons l'intégration par parties, en laissant \N(u = x\N) puisqu'elle s'annulera en \N(\Nfrac{du}{dx} = 1\N).

    Par conséquent, \(dv = \sin {2x} \space dx\) et \(v = \frac {-\cos{2x}}{2}\), par la règle de la chaîne inversée.

    \N- (\N- début{alignement}) \int{x \sin {(2x)} \space dx} = \frac {-x}{2} \cos{(2x)} + \frac {1}{2} \int {\cos{(2x)} \space dx} \\N- \Nfrac {-x}{2} \cos{(2x)} + \frac {1}{4} \sin {(2x)} + c \end{align}\)

    Comment intégrer les fonctions trigonométriques au carré ?

    Pour intégrer des fonctions trigonométriques au carré telles que \(\sin^2{x}\), tu peux utiliser les intégrales des fonctions trigonométriques que tu viens de déterminer, et les identités des angles doubles.

    Par exemple, pour trouver \(\int{\sin^2{x} \space dx}\), tu peux utiliser l'identité \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\).

    Si nous réarrangeons cette expression pour trouver \(\sin^2{x}\), nous obtenons \(\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac {\cos{2x}}{2}\).

    Nous pouvons maintenant substituer ceci à notre intégrale :

    \(\int{\sin^2{x}) \space dx} = \int {\frac{1}{2} -\frac{\cos{2x}}{2} \space dx}\)

    Nous savons que l'intégrale de \(\cos{x}\) est \(\sin{x}\) donc l'intégrale de \(\cos{2x}\) est \( \frac{1}{2} \sin{2x}\).

    En prenant en compte le facteur de \(\frac{1}{2}\), nous obtenons :

    \(\int{\sin^2{x} \space dx} = \frac {1}{2}x - \frac {1}{4} \sin {2x} + c\).

    Trouver \(\int{\cos^2{x} \space dx}\)

    Nous utiliserons les identités \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\) et \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\).

    En les réarrangeant et en les combinant, nous obtenons \(\cos^2{x} = \frac{\cos^2x}}{2} + \frac {1}{2}\).

    Nous pouvons alors résoudre cette intégrale.

    \(\begin{align}) \int{\cos^2{x} \space dx} &= \frac {1}{2} \int {\cos{2x} + 1} \\N- &= \frac {1}{2}(\frac{\sin{2x}}{2} + x) + c, \N- {utilisant la règle de la chaîne inversée pour} \sin {2x} \N- &= \frac {\sin{2x}}{4} + \frac{x}{2} + c \end{align}\).

    Intégrer les fonctions trigonométriques inverses

    Les fonctions trigonométriques inverses telles que l'arcsin, l'arccos et l'arctan ne peuvent pas être intégrées directement. C'est pourquoi nous utilisons l'intégration par parties. Nous savons que \(\int{u \space dv} = uv - \int {v \space du}\), et comme nous ne pouvons pas intégrer la fonction trigonométrique inverse mais que nous pouvons la dériver, nous laissons u = fonction trigonométrique inverse et v = 1. La formule d'intégration par parties est alors utilisée pour résoudre l'intégrale.

    Intégrale de arcsin(x)

    L'intégrale de \(\arcsin{x}\) peut être écrite comme \(\int{\arcsin{x} \cdot 1 \space dx}\).

    Par conséquent, tu laisses \(u = \arcsin {x}, du = \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v =x\). .

    Nous utilisons la formule d'intégration par parties et trouvons le \(\int{\arcsin{x}) \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}\).

    Soit \N(w = 1 - x^2\N). Par conséquent, \N(dw = -2x \space dx\).

    \(\int{\arcsin{x}) \space dx} = x \cdot \arcsin {x} + \frac{1}{2} \int {-2x(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \space dx}\).

    Alors, \(\int{\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2}} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}\) .

    Par conséquent, \(\int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).

    Intégrale de arccos(x)

    L'intégrale de \(\arccos{x}\) peut être écrite comme \(\int{\arccos{x} \cdot 1 \cdot dx}\). En utilisant l'intégration par parties, soit \(u = \arccos{x}, du = \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v = x\) . En utilisant la formule d'intégration par parties, on trouve que \(\int{\arccos{x}) \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}\), ou \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx}\). Nous utilisons ensuite l'intégration par substitution, en laissant \(w = 1 - x^2\).

    En suivant la même méthode que pour l'intégrale de \(\arcsin{x}\), nous trouvons que \(\int{\arccos{x} \cdot dx} = x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\).

    Intégrale de arctan(x)

    L'intégrale de arctan(x) peut être écrite comme \(\int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). En utilisant l'intégration par parties, soit \(u = \arctan{x}, \space du = \frac{1}{1 + x^2}, \space dv = 1, \space v = x\). En utilisant la formule d'intégration par parties, nous trouvons que \N(\Nint\Narctan{x}) \space dx = x \cdot \arctan{x} - \int {\frac{x}{1 + x^2} dx}\). Nous reconnaissons cette intégrale comme un logarithme naturel de \((1 + x^2)\), puisque, en laissant \(w = 1 + x^2\), \(dw = 2x\). Cela signifie que le numérateur est \(x = \frac{1}{2} dw\).

    On trouve donc que \(\int{\arctan{x} \space dx} = x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\).

    Trouve \(\int{\arctan{2x} \space dx}\)

    Nous devrons utiliser l'intégration par substitution et par parties.

    Soit une nouvelle variable t = 2x.

    Par conséquent, dt = 2 dx et \(\frac{dt}{2} = dx\).

    En substituant ceci à l'intégrale, nous obtenons :

    \(\int{\arctan{t}) \cdot \frac {dt}{2}}} = \frac{1}{2} \int {\arctan{t} \cdot 1 \cdot dt}\)

    Nous allons maintenant utiliser l'intégration par parties, en laissant :

    \(u = \arctan{t}, \space du = \frac {1}{1 + t^2} dt, \space dv = 1dt, \space v = t\).

    En utilisant la formule d'intégration par parties, nous obtenons :

    \(\begin{align}\frac{1}{2} (t \cdot \arctan{t} - \int{\frac{t}{1 + t^2} dt} &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{2}). \cdot \frac{1}{2} \int {\frac{2t}{1 + t^2} dt} \\N- &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{4} ln|1 + t^2| \Nend{align}\N).

    Puisque nous avons laissé t = 2x, nous remplaçons maintenant x. D'où ,

    Intégrer\(\cos^3{x} \sin{x}\) par rapport à x.

    Nous utiliserons l'intégration par substitution.

    \(\int{\cos^3{x} \sin{x} \space dx} = \int{(\cos{x})^3 \sin{x} \space dx}\).

    Soit \(u = \cos{x}, \space \frac{du}{dx} = -\sin{x}\) . Par conséquent, en remplaçant les valeurs de u par les valeurs de x, nous obtenons \(\begin{align}) \int{u^3(\frac{-du}{dx})dx} &= - \int{u^3du} \\N &= - \frac {u^4}{4} +c \Nend{align}\)

    Nous remplaçons ensuite les valeurs u par les valeurs x.

    Ainsi, \(\int{\cos^3{x} \sin{x} \space dx} = - \frac {\cos^4{x}}{4}+ c\)

    Tableau récapitulatif de l'intégration des fonctions trigonométriques

    Fonction trigonométriqueNotation intégraleSolution intégrale
    \(\sin{x}\)\(\int{\sin{x}}\space dx\)\N- (-\Ncos{x} + c\N)
    \N- \N- \N- \N- \N- \N(\N- \Ncos{x}\N) \(\int{\cos{x} \space dx}\)\N- (\Nsin{x} + c\N)
    \N- (\Ntan{x}\N)\(\int{\tan{x} \space dx}\) \N(ln|\cos{x}| + c\N)
    \N(\Narcsin{x}\N)

    \(\int {\arcsin{x} \space dx}\)

    \(x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).
    \N(\Narccos{x}\N)\(\int{\arccos{x} \cdot dx}\)\(x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\)
    \N(\Narctan{x}\N)\(\int{\arctan{x} \space dx}\)\(x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\)

    Tableau 1. Intégration des fonctions trigonométriques.

    Intégrer les fonctions trigonométriques - Principaux enseignements

    • \(\int{\sin{x} \space dx} = - \cos{x} + c\)
    • \(\int{\cos{x} \space dx} = \sin{x} + c\)
    • \(\int{\tan{x} \space dx} = ln|\sec{x}| + c\N)
    • Nous pouvons utiliser la règle de la chaîne lorsque la variable entre parenthèses est plus complexe que x, par exemple, \(\int{\sin{2x} \space dx = \frac {-1}{2} \cos{2x} + c\), car nous avons divisé par la dérivée des parenthèses.
    • Nous pouvons utiliser et réarranger les identités à double angle, telles que \(\cos{2x} = 2 \cos^2{x} - 1\) lorsqu'on nous donne une fonction trigonométrique au carré.
    • Pour calculer les intégrales des fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons l'intégration par parties, à l'aide de la formule \(int{u \space dv} = uv - \int{v \space du}\), et en laissant u = fonction trigonométrique inverse, et dv = 1.
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    Questions fréquemment posées en Intégration des fonctions trigonométriques
    Qu'est-ce que l'intégration des fonctions trigonométriques ?
    L'intégration des fonctions trigonométriques consiste à trouver la primitive de fonctions comme sin(x), cos(x), etc.
    Comment intégrer sin(x) ?
    L'intégrale de sin(x) est -cos(x) + C, où C est la constante d'intégration.
    Comment intégrer cos(x) ?
    Pour cos(x), l'intégrale est sin(x) + C, où C est la constante d'intégration.
    Quelle est l'intégrale de tan(x) ?
    L'intégrale de tan(x) est -ln|cos(x)| + C, où C est la constante d'intégration.

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