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Sauter à un chapitre clé
Dans cet article, nous allons définir ce qu'est la croissance et pourquoi il est si important de modéliser la croissance. Nous explorerons également les principaux types de modèles que nous pouvons utiliser pour modéliser la croissance, ainsi que les formules et les calculs utilisés pour déterminer chaque type de croissance, à l'aide d'exemples pratiques.
Commençons par les bases et définissons ce que nous entendons par croissance.
Qu'est-ce que la croissance ?
Lacroissance est une valeur d'augmentation ou de diminution par rapport à une valeur précédente ou à une valeur initiale.
Modéliser la croissance et se familiariser avec les différents types de croissance peut être très utile dans la vie. Si nous y réfléchissons un instant, nous sommes entourés de croissance dans notre vie quotidienne. Nous voyons la croissance dans l'économie, la population, les finances, les connaissances, les compétences, la nature et bien d'autres domaines. Certains de ces domaines connaissent une croissance plus rapide que d'autres en fonction de nombreux aspects qui peuvent les affecter à l'intérieur et à l'extérieur.
Par exemple, la population d'un pays peut croître plus ou moins rapidement en fonction de facteurs tels que la qualité des services de santé, l'éducation, l'accès aux ressources, les niveaux de revenus, les taux de natalité, les taux de mortalité et les migrations, entre autres.
La modélisation de la croissance est importante car elle nous aide à comprendre et à analyser la croissance, à prédire les valeurs futures en fonction d'une tendance actuelle, et à déclencher la prise de décision lorsque cela est nécessaire. Par exemple, il peut être nécessaire de prendre des décisions et des mesures si la population d'un pays croît trop rapidement ou trop lentement.
Maintenant que nous avons une idée générale de ce qu'est la croissance, concentrons-nous sur la croissance des fonctions, qui est déterminée en fonction de leur facteur de croissance.
Facteur de croissance
Le facteur de croissance est un facteur par lequel une quantité augmente ou diminue par unité d'une autre quantité.
Ce facteur peut être une constante ou un taux, selon le type de croissance dont il s'agit.
Rappelle-toi la question du début de l'article, dans ce cas, les 100 $ supplémentaires ajoutés à la fin de chaque année constituent le facteur de croissance dans la première option (un montant fixe). Pour la deuxième option, tu peux utiliser le taux de croissance de \(6\%\) pour calculer le facteur de croissance. La deuxième option croît d'une manière différente, car elle représente un pourcentage ou un taux de la valeur actuelle, plutôt qu'un montant fixe.
Nous expliquerons ces cas plus en détail lorsque nous aborderons la croissance linéaire et géométrique, plus loin dans l'article.
Exemples de croissance de fonctions
Je pense que tu seras d'accord pour dire qu'une fonction quadratique augmente et diminue plus rapidement qu'une fonction linéaire.
Croissance d'une fonction linéaire par rapport à une fonction quadratique.
Fig. 1. Graphiques d'une fonction linéaire et d'une fonction quadratique.
Pourquoi exactement ? Examinons les raisons qui se cachent derrière cela dans la section ci-dessous.
Comparaison de la croissance des fonctions
Lorsque nous comparons la croissance de fonctions polynomiales comme celles de l'exemple précédent, nous devons examiner le terme d'ordre le plus élevé dans l'équation de chaque fonction et considérer un intervalle approprié de valeurs de \(x\).
Dans l'exemple ci-dessus, le terme d'ordre le plus élevé dans \(f(x)=x\) est \(x\), avec un degré de 1.
Le terme le plus élevé dans \(f(x)=x^2\) est \(x^2\), avec un degré de 2.
Nous pouvons voir que \(2>1\), par conséquent, pour \(x>0\), la fonction quadratique croît plus vite que la fonction linéaire.
Que se passe-t-il lorsque tu as desfonctions polynomiales du même ordre? Comment comparer leur croissance ?
Si tu as des fonctions polynomiales du même ordre telles que \(f(x)=x^2+3x\) et \(g(x)=x^2+1\), laquelle croît le plus vite ?
Dans ce cas, les deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) croîtront aussi vite l'une que l'autre. C'est le cas pour les grandes valeurs de \N(x\N), car les valeurs des autres termes des fonctions (\N(3x\N) et \N(1\N)) n'affecteront pas de manière significative les valeurs de \N(f(x\N) et \N(g(x\N)), autant que la valeur de \N(x^2\N).
| x | \N(f(x)=x^2+3x\N) | \N(g(x)=x^2+1\N) |
| \(10,000\) | \[\N-gin{align}f(10,000) &= 10,000^2+3 \Ncdot 10,000 \N-&= 100,030,000\N-end{align}\N] | \[\begin{align}g(10,000) &= 10,000^2+1 \\\N-&= 100,000,001\N- end{align}\N- \N] |
Formules et calculs de croissance des fonctions
Comme tu peux le comprendre maintenant, il existe plusieurs types de croissance. Il existe également différents types de modèles que tu peux utiliser pour modéliser la croissance, selon que le type de données modélisées est discret ou continu. Dans cet article, nous allons explorer deux modèles discrets (linéaire et géométrique) et deux modèles continus (exponentiel et logarithmique).
Modèles discrets
Les données discrètes font référence à des choses que tu peux compter et qui ne peuvent prendre que des valeurs spécifiques.
Un modèle de croissance est considéré comme discret lorsque les valeurs du modèle changent à des intervalles spécifiques et non de façon continue.
Les modèles de croissance discrets comprennent les modèles linéaires et géométriques. Explorons maintenant les caractéristiques de chacun d'entre eux.
Croissance linéaire
On parle de croissancelinéaire lorsqu'une valeur ou une quantité initiale augmente ou diminue d'une quantité fixe par unité de temps, c'est-à-dire qu'un nombre constant est ajouté à la valeur initiale. Par exemple, si une population augmente de 100 personnes chaque année.
Les formules de croissance linéaire sont les suivantes :
| Type de croissance | Type de formule | Formule | Description de la formule |
| Linéaire | Explicite | \[ P_n = P_0 + d \cdot n, \] | \N(P_n\NRightarrow\N) est la quantité après \N(n\N) intervalles de temps, \N(P_0\NRightarrow\N) est la quantité initiale, \N(d\Rightarrow\N) est l'augmentation de la quantité par intervalle de temps, c'est-à-dire le montant fixe par lequel la quantité augmente à chaque intervalle de temps, \(n\Rightarrow\) est le nombre d'intervalles depuis la quantité initiale. |
| Récursif | \N[ P_n = P_{n-1} + d, \N] | \N(P_{n-1}\Rightarrow\N) est la quantité après \N(n-1\N) intervalles de temps. |
Si tu utilises la formule récursive de la croissance linéaire pour prédire les valeurs futures, par exemple au bout de 7 ans, alors tu devras calculer au préalable toutes les valeurs des années précédentes. Dans ce cas, il est plus pratique d'utiliser la formule explicite.
Reprenons le scénario de l'introduction de cet article. Tu as maintenant 1000 $, auxquels s'ajoutent 100 $ à la fin de chaque année.
a ) Formule une équation pour déterminer la somme d'argent que tu auras en l'an \N(n\N).
b ) Calcule la somme d'argent que tu auras dans \(5\) ans.
c) À l'aide de ton équation, détermine le nombre d'années qu'il te faudra pour atteindre 2 500 $.
Partie a:
Nous savons que la quantité initiale d'argent \(P_0=1 000 $), et l'augmentation de la quantité par intervalle de temps \(d\) est le montant fixe \(100 $).
En utilisant la formule explicite de la croissance linéaire, nous pouvons dire que la quantité d'argent que tu auras dans \(n\) ans est donnée par :
\N[ P_n = 1 000 + 100 \cdot n, \N]
où \(n\) est le nombre d'années.
Partie b :
Pour calculer la somme d'argent que tu auras dans \(5\) ans, tu peux utiliser l'équation ci-dessus et la remplacer par \(n=5\).
\N-\N-P_n &= 1,000 + 100 \Ncdot n \N-\Nnewline P_5 &= 1,000 + 100 \Ncdot 5 \N-\Nnewline &= 1 000 + 500 \N-\N- &= 1 500\N-\N-A la fin de l'année 5, tu auras \N(1 500 $).
De la même façon, nous pouvons calculer la somme d'argent que tu auras après \N(1, 2, 3,\N) et \N(4,\N) années, et représenter les valeurs pour voir à quoi ressemblerait le graphique du modèle de croissance linéaire. Nous utiliserons la formule récursive dans ce cas, juste pour te montrer comment elle fonctionne :
\[\begin{align}P_n &= P_{n-1} + d, \\N-\Nnewline P_1 &= P_0 + 100 = 1,000 + 100 = 1,100 \N-\Nnewline P_2 &= P_1 + 100 = 1,100 + 100 = 1,200 \N-\Nnewline P_3 &= P_2 + 100 = 1 200 + 100 = 1 300 \N-\N- P_4 &= P_3 + 100 = 1 300 + 100 = 1 400\N-\N]Le graphique du modèle de croissance linéaire est le suivant :
Fig. 2. Graphique d'un exemple de modèle de croissance linéaire.
Remarque que les points du graphique croissent de la même quantité chaque année, par conséquent, si tu dessines une ligne traversant tous les points, tu obtiendras une ligne droite.
Partie c:
Pour trouver le nombre d'années qu'il te faudra pour atteindre \($2,500\), nous dirons que \(P_n=2,500\), puis nous résoudrons \(n\).
\N-\N-2,500 &= 1,000 + 100 \Ncdot n \N-\Nnewline 100 \Ncdot n &= 2,500 - 1,000 \N-\Nnewline 100 \Ncdot n &\N- = 1,500 \N- \N- \Nnewline 100 \Ncdot n &\N- = 1,500 \N- = 1 500 \N-\N- N &= \Nfrac{1 500}{100} \N-\N- N &= 15\N-\N-Il te faudra 15 ans pour atteindre \N(2 500 \N$).
Croissance géométrique
On parle decroissance géométrique lorsque la valeur ou la quantité initiale augmente ou diminue par rapport à la quantité existante. Par exemple, si une population augmente de \(10\%\) chaque année.
Les formules de croissance géométrique sont décrites dans le tableau ci-dessous :
| Type de croissance | Type de formule | Formule | Description |
| Géométrique | Explicite | \N[ P_n = P_0(1+r)^n, \N] | \N(P_n\NRightarrow\N) est la quantité après \N(n\N) intervalles de temps, \N(P_0\NRightarrow\N) est la quantité initiale, \N(r\Ndroite) est le taux auquel la quantité augmente(taux de croissance), sous forme de décimale. Par exemple, si le taux est de \(10\%\), tu dois écrire \(r\) comme \(0,1\), \N((1+r)\Rightarrow\N) est le facteur de croissance, également connu sous le nom de multiplicateur de croissance ou de rapport commun, \N(n\NFlèche droite) est le nombre d'intervalles de temps. |
| Récursif | \N[ P_n = (1+r)P_{n-1}, \N] | \N(P_{n-1}\Rightarrow\N) est la quantité après \N(n-1\N) intervalles de temps. |
Pour une croissance géométrique, le nombre d'intervalles de temps \N(n\N) est un nombre entier positif.
Remarque que la formule explicite de la croissance géométrique se présente sous la forme \(y=a \cdot b^x\). Cela signifie que l'ordonnée à l'origine de cette forme de croissance (comme pour la croissance linéaire) est la taille initiale de la population.
Les points du graphique d'un modèle de croissance géométrique ont une forme caractéristique. Ils ne sont pas alignés en ligne droite, car la croissance est basée sur un pourcentage. Par conséquent, plus la quantité est grande, plus la croissance sera importante, en commençant par une croissance lente, puis en augmentant de gauche à droite. Nous le verrons plus clairement dans les exemples ci-dessous.
La population de grenouilles d'un étang augmente chaque année. Il y a actuellement 25 grenouilles dans l'étang.
a ) Trouve une équation pour le nombre de grenouilles après \(n) ans et fais-en un graphique.
b) Détermine la taille de la population de grenouilles après 15 ans.
Partie a:
La population initiale de grenouilles est de \(25\). Par conséquent, \(P_0=25\).
Si la population augmente de 20 % chaque année, 20 % de la taille de la population précédente s'ajoutent dans un intervalle de temps. Par conséquent, \(r=0,2\).
En utilisant la formule explicite de la croissance géométrique, nous pouvons dire que le nombre de grenouilles après \(n\) années est donné par :
\[\begin{align}P_n &= 25(1+0.2)^n \\N-\Nnewline P_n &= 25(1.2)^n,\Nend{align}\N]où \N(n\N) est le nombre d'années, et le facteur de croissance est \N(1.2\N).
Partie b :
Pour calculer la taille de la population de grenouilles après \(15\) ans, tu peux utiliser l'équation ci-dessus, et la remplacer par \(n=15\).
\[\begin{align}P_{15} &= 25(1.2)^{15} \\N&= 385\Nend{align}\N]
Nous pouvons dire qu'après \(15\) ans, la population de grenouilles sera de \(385\).
Pour pouvoir représenter graphiquement le modèle de croissance géométrique de la population de grenouilles dans l'étang, nous avons besoin de quelques valeurs supplémentaires. Calculons le nombre de grenouilles de l'année 1 à l'année 5, ainsi que les années 8 et 12.
\N- \N-P_n &= 25(1.2)^n, \N-\N- P_1 &= 25(1.2)^1 = 30 \N-\N- P_2 &= 25(1.2)^2 = 36 \N-\N- P_3 &= 25(1.2)^3 = 43 \N-\N- P_4 &= 25(1.2)^4 = 52 \N-\N- P_5 &= 25(1.2)^5 = 62 \N-\N- P_8 &= 25(1.2)^8 = 107 \N-\N- P_{12} &= 25(1.2)^{12} = 223\N- [end{align}\N-]Voyons maintenant à quoi ressemble le graphique :
Fig. 3. Graphique d'un exemple de modèle de croissance linéaire.
Remarque la forme du graphique qui s'élève de gauche à droite au fur et à mesure que la population augmente.
Intérêts composés
L'intérêtcomposé est un autre type de modèle de croissance géométrique, où l'intérêt est payé sur un investissement et sur tout intérêt déjà gagné.
Cette idée d'intérêts composés te semble peut-être familière, car tu as choisi la deuxième option dans le scénario d'introduction de cet article. Cette option consistait à placer les 1 000 $ sur un compte bancaire qui rapporte 6 % d'intérêts annuels composés semestriellement. Calculons le montant que tu gagneras au bout de 5 ans pour décider quelle option est la plus rentable pour toi.
\N-\N-A &= 1,000(1+\frac{0.06}{2})^{2 \N- \N- \N- \N- \N- \N- 5} \\N-\Nnewline A &= 1,000(1.03)^{10} \N-\Nnewline A &= 1,344\Nend{align}\N]Après \N(5\Nannées), tu auras gagné \N(1,344\N), ce qui est inférieur au \N(1,500\N) que tu aurais gagné avec la première option. Cependant, nous savons que la croissance géométrique augmente rapidement à mesure que la quantité augmente. Calculons donc la somme que tu auras gagnée au bout de 15 ans et comparons-la à la première option ((2 500 $)), pour nous aider à prendre notre décision.
\N-\N-A &= 1,000(1+\frac{0.06}{2})^{2 \cdot 15} \\N-\Nnewline A &= 1,000(1.03)^{30} \N-\Nnewline A &= 2,427\Nend{align}\N]
D'après nos résultats, la première option est effectivement meilleure que la seconde, du moins pour les premières \(15\) années.
Modèles continus
Les données continues font référence à des choses que tu peux mesurer et qui peuvent prendre des valeurs infinies.
Un modèle de croissance est considéré comme continu lorsque les valeurs du modèle changent continuellement et non à des intervalles spécifiques.
Les modèles continus de croissance comprennent les fonctions exponentielles et logarithmiques. Nous allons maintenant les décrire l'un après l'autre en nous concentrant sur leur mode de croissance.
Croissance exponentielle
Les modèles de croissanceexponentielle sont fondamentalement les mêmes que les modèles de croissance géométrique, où la valeur ou la quantité initiale augmente ou diminue par rapport à la quantité existante, mais la croissance exponentielle traite de données continues, et non discrètes.
Bien que les deux types de croissance utilisent la même équation, la croissance exponentielle permet d'obtenir un graphique beaucoup plus lisse, car tous les nombres compris entre les valeurs entières de sont pris en compte.
La fonction de croissance exponentielle se présente sous la forme suivante
\[y=a \cdot b^x\]
où :
\(a\Rightarrow\) est la valeur initiale, et \(a \neq 0\),
\(b\Rightarrow\) est le facteur de croissance, et \(b > 1\),
La fonction de croissance exponentielle a pour asymptote horizontale \(y=0\). Vois le graphique ci-dessous.
Le domaine et l'étendue de la fonction exponentielle peuvent être définis comme suit :
Fonction | Domaine | Domaine |
Exponentielle | Tous les nombres réels | \(y > 0\) |
Trace le graphique de la fonction \(f(x)=2^x\).
Fig. 4. Graphique de la fonction exponentielle \(f(x)=2^x\).
Comme tu peux le voir, le graphique s'élève de gauche à droite, plus rapidement à mesure que la quantité augmente. La croissance est déterminée par la valeur de \(b\), dans ce cas, \(b=2\).
Lis la rubrique Croissance et décroissance exponentielles pour plus de détails et d'exemples.
Croissance logarithmique
La fonction logarithmique est l'inverse de la fonction exponentielle.
Autrement dit, si \(y = b^x\) alors \(\log_b y = x\).
Si \(2^3 = 8\), alors \(\log_2 8 = 3\). On peut lire cela comme la base logarithmique \(2\N) de \N(8\N) est égale à \N(3\N).
La fonction logarithmique a pour asymptote verticale\(x=0\), et son domaine et son étendue sont les suivants :
Fonction | Domaine | Domaine |
Logarithme | \(x > 0\) | Tous les nombres réels |
Examinons maintenant la forme du graphique de la fonction logarithmique dans l'exemple ci-dessous.
Trace le graphique de la fonction \(f(x)=\log_2 x\).
Fig. 5. Graphique de la fonction logarithmique \(f(x)=\log_2 x\).
Dans ce cas, la valeur de la fonction augmente rapidement au début, puis elle ralentit son taux de croissance.
Lis nos explications sur les fonctions logarithmiques et sur l'évaluation et la représentation graphique des fonctions logarithmiques pour approfondir tes connaissances sur ce sujet.
Taux de croissance des fonctions exponentielles
Dans les fonctions exponentielles, lorsqu'une quantité augmente à un taux multiplicatif à chaque intervalle de temps, la quantité après \(t\) intervalles de temps peut être obtenue avec la formule sous la forme :
\[ y = a(1+r)^t, \]
où :
\N(a\Ndroite) est la quantité initiale,
\(r\Rightarrow\) est le taux auquel la quantité augmente(taux de croissance) en décimales,
\((1+r)\Rightarrow\) est le facteur de croissance, également connu sous le nom de multiplicateur de croissance ou de rapport commun,
\N(t\Rightarrow\N) est le nombre d'intervalles de temps.
Remarque que \( y = a(1+r)^t \) est équivalent à la formule \( P_n = P_0(1+r)^n\), en utilisant simplement des variables différentes.
Voyons un exemple.
Une propriété achetée en 2000 pour 170 000 dollars a vu sa valeur augmenter à 250 000 dollars en 2010.
a ) Calcule le taux de croissance entre les années 2000 et 2010.
b) Quel est le taux de croissance résultant des questions \N(a\N) exprimé en pourcentage.
Partie a :
Nous savons que le montant initial (a = 170 000 $) et le nombre d'années entre 2000 et 2010 est de 10. Par conséquent, \(t = 10\) et le montant après \(10\) ans est \(y = 250 000\).
Nous pouvons maintenant remplacer ces valeurs par la formule \N( y = a(1+r)^t\), et résoudre \N(r\N).
\N-\N-y &= a (1 + r)^t \N-\Nnewline 250 000 &= 170 000 (1 + r)^{10} \N-\Nnewline \Nfrac{250 000}{170 000} &= (1 + r)^{10} \N-\Nnewline \Nfrac{25}{17} &= (1 + r)^{10} \N-\Nnewline (\frac{25}{17})^\frac{1}{10} &= [(1 + r)^{10}]^\frac{1}{10} \qquad \text{ augmenter les deux côtés de } \frac{1}{10} \\N-\Nnewline 1.0393 &= 1 + r \N-\Nnewline r &= 1.0393 - 1 \N-\Nnewline r &= 0.0393\N- end{align}\N]Partie b :
Pour exprimer le taux de croissance \(r = 0,0393\) en pourcentage, il suffit de le multiplier par \(100\).
\N- [r = 0,0393 \Ncdot 100 = 3,93\N%]
Croissance des fonctions - Principaux enseignements
- La croissance est une valeur d'augmentation ou de diminution par rapport à une valeur précédente ou à une valeur initiale.
- Le facteur de croissance peut être une constante ou un taux, selon le type de croissance auquel on a affaire.
- Les modèles discrets de croissance comprennent la croissance linéaire et la croissance géométrique, et les modèles continus comprennent la croissance logarithmique et la croissance exponentielle.
- La croissance linéaire augmente d'un nombre constant à chaque intervalle de temps.
- Les croissances géométrique et exponentielle augmentent à un taux constant d'une quantité précédente.
- Les croissances exponentielle et géométrique se différencient en utilisant respectivement des nombres réels ou des nombres entiers, ce qui donne des graphiques plus lisses pour la croissance exponentielle.
La fonction logarithmique est l'inverse de la fonction exponentielle.
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