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Définition d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction composée de deux polynômes, l'un divisé par l'autre. Elles ressemblent un peu à ceci :
$$f(x)=\frac{Q(x)}{P(x)}$$.
En d'autres termes, une fonction rationnelle est toute fonction qui peut être exprimée sous forme de fraction, où le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes, où le dénominateur n'est pas égal à 0.
Le dénominateur \(Q(x)\) doit être au moins de degré un. Cela signifie que \(Q(x)\) ne peut pas être simplement une constante ; il doit impliquer une variable.
\(f(x)=\dfrac{2+x^{2}}{x}\)- Est une Fraction
\(g(x)=\dfrac{2+x^{2}}{5}\)- N'est pas une Fraction
Rappelle-toi que le degré d'un polynôme à une variable est l'exposant le plus élevé des puissances qui le composent. Lorsqu'il n'y a pas d'exposant indiqué sur la variable, alors l'exposant est 1 et si un polynôme est égal à une constante, son degré est 0.
Il peut y avoir des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(Q(x) = 0\). Comme la division par zéro conduit à une expression indéfinie, la fonction rationnelle n'est pas définie à ce moment-là.
\(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-3}\)
Pour cet exemple de fonction rationnelle, le dénominateur \N(Q(x) = x-3) devient \N(0) lorsque \N(x = 3). Par conséquent, cette fonction rationnelle n'est pas définie pour \(x=3\).
Un exemple important de fonction rationnelle est \(y=1/x\) qui est la fonction rationnelle mère. Le graphique de la fonction rationnelle mère s'appelle une hyperbole et comprend deux parties symétriques appelées branches, comme le montre l'illustration ci-dessous. Les lignes droites représentent les asymptotes de la fonction.
Fig. 1 - Le graphique de la fonction rationnelle \(y=\frac{1}{x}\) - StudySmarter Originals
L'équation de la fonction rationnelle
L'équation de la fonction rationnelle est l'une des équations les plus simples à reconnaître. La forme générale des fonctions rationnelles est la suivante :
$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$.
Il est important de noter que les fonctions rationnelles ne sont que des équations rationnelles à l'intérieur d'une fonction, de sorte que nous pouvons tracer un graphique de l'équation. Chaque fois que tu vois le mot fonction rationnelle, tu dois te rendre compte qu'il s'agit d'une fraction et que le numérateur et le dénominateur sont des polynômes que tu dois simplifier.
Les équations rationnelles peuvent être résolues par des multiplications croisées. Tu trouveras plus de détails dans l'article Résoudre des équations rationnelles.
Exemples de simplification de fonctions rationnelles
Comme nous l'avons déjà mentionné, toutes les fonctions rationnelles peuvent être écrites comme une fraction de fonctions polynomiales. Et, comme pour les autres fractions, une fonction rationnelle peut être simplifiée si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs. La simplification de la fonction rationnelle la rend plus facile à gérer, c'est pourquoi il est recommandé de la simplifier chaque fois que c'est possible. Prenons un exemple précis pour illustrer la façon dont nous pouvons simplifier ces fonctions.
$$f(x)=\frac{x^{2}-5x-24}{x^{2}-8x-33}$$
Solution :
Dans ce cas, nous avons \(P(x)=x^{2}-5x-24\) et \(Q(x)=x^{2}-8x-33\).
Pour voir si nous pouvons simplifier cette fonction rationnelle, nous pouvons factoriser \(x^{2}-5x-24) en \((x+3)(x-8)\).
De même, \N(Q(x)\N) peut être réécrite comme \N((x+3)(x-11)\N).
En mettant tout cela bout à bout, on obtient ce qui suit :
$$f(x)=\frac{(x+3)(x-8)}{(x+3)(x-11)}$$
Remarque que le numérateur et le dénominateur de cette expression rationnelle ont pour facteur commun \((x+3)\). Par conséquent, ces facteurs s'annulent, ce qui nous laisse avec seulement \((x-8)\)au numérateur et \((x-11)\)au dénominateur.
$$f(x)=\left(\frac{x-8}{x-11}\right)$$
Simplifie la fonction rationnelle suivante :
$$\frac{x^{2}+10x+24}{x^{3}-x^{2}-20x}$$
Solution :
Soit les deux fonctions \(p(x)=x^{2}+10x+24\) et \(q(x)=x^{3}-x^{2}-20x\).
Nous les simplifierons tous les deux individuellement, puis nous prendrons le rapport entre les deux à la fin.
Factorisation de \(p(x)\) :
$$\begin{split} p(x) &=x^2 +10x+24 \\N &=x^2 +6x+4x+24 \N &=x(x+6)+4(x+6) \N &=(x+4)(x+6) \Nend{split}$$$.
Tout ce que nous avons fait, c'est diviser le terme du milieu et retirer le facteur commun.
Maintenant, factorise \(q(r)\) :
$$\begin{split} q(x) &=x^3 -x^2-20x \\N &=x(x^2 - x -20) \N &=x(x^2 -5x+4x-20) \N &=x(x-5)(x+4) \Nend{split}$$$.
Ici, nous avons pris \(x\) comme facteur commun et nous avons ensuite divisé le terme du milieu.
Par conséquent, nous pouvons évaluer \(\frac{x^2 +10x+24}{x^3 -x^2 -20}\) :
$$\begin{split} \frac{x^2 +10x+24}{x^3 -x^2 -20} &=\frac{(x+4)(x+6)}{x(x-5)(x+4)} \\N- &=\frac{x+6}{x(x-5)} \end{split}$$.
Comment trouver l'inverse d'une fonction rationnelle ?
Avant de passer en revue les étapes permettant de trouver l'inverse d'une fonction rationnelle, examinons ce qu'est une fonction inverse.
Une fonction inverse est essentiellement le contraire d'une fonction donnée. En d'autres termes, une fonction inverse \(f^{-1}(x)\) inverse les entrées et les sorties de la fonction originale \(f(x)\). Ceci est vrai pour toute fonction et ne s'applique pas seulement aux fonctions rationnelles.
Pour trouver l'inverse d'une fonction rationnelle \(f(x)\), il y a quatre étapes à suivre :
- Nous remplaçons \(f(x)\) par \(y\).
- Nous échangeons chaque \(x)\N et chaque \N(y)\N dans l'équation.
- Nous résolvons la nouvelle équation pour \N(y\N) en termes de \N(x\N).
- Enfin, nous remplaçons \N(y\N) par \N(f^{-1}(x)\N), ce qui indique qu'il s'agit de la fonction inverse de la fonction originale \N(f(x)\N).
1. Nous commençons par une fonction rationnelle :
$$f(x)=\frac{x-8}{x-11}$$
2. Ensuite, nous devons remplacer \(f(x)\) par \(y\) :
$$y=\frac{x-8}{x-11}$$
3. Chaque \(x\) et \(y\) doivent être échangés :
$$x=\frac{y-8}{y-11}$$
4. Nous allons maintenant résoudre cette équation pour \(y\) en fonction de \(x\). Cela va prendre quelques étapes, car ce n'est pas quelque chose que nous pouvons faire en une seule fois. La première chose à faire est de multiplier les deux côtés par \((y-11)\) :
$$y-8=x(y-11)$$$
Ensuite, nous distribuons \(x\) sur le côté droit :
$$y-8=xy-11x$$.
Ensuite, nous soustrayons \(xy-8\) des deux côtés :
$$y(1-x)=8-11x$$.
Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés par \(1-x\) :
$$y=\frac{8-11x}{1-x}$$
5. La dernière chose à faire est de remplacer \N(y\N) par \N(f^{-1}(x)\N), ce qui indique qu'il s'agit de l'inverse de la fonction rationnelle originale \N(f(x)\N).
$$f^{-1}(x)=\frac{8-11x}{1-x}$$
Pour vérifier si la réponse obtenue est correcte ou non, nous pouvons prendre une valeur de \(x\) et l'évaluer à \(f(x)\) :
$$f(0)=\frac{0-8}{0-11}=\frac{8}{11}$$
Maintenant que nous savons que \(f(0)=8/11\), nous devons vérifier si nous obtenons \(f^{-1}(8/11)=0\) à partir de notre équation inverse :
$$f^{-1}\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{8-11 \left( \frac{8}{11} \right)}{1-\frac{8}{11}}=0$$
Notre réponse est donc correcte.
Asymptotes des fonctions rationnelles
Tu trouveras des détails sur les asymptotes ici. En résumé :
Une asymptote est une ligne droite qui s'approche d'une courbe, mais la courbe ne la croise ou ne la touche jamais réellement.
Les fonctions rationnelles peuvent avoir trois types d'asymptotes : horizontales, verticales et obliques. Bien que la courbe d'une fonction rationnelle n'entre jamais en contact avec ses asymptotes, celles-ci sont utiles en ce sens qu'elles nous aident à prédire le comportement d'un graphique pour les valeurs extrêmes de \(x\).
Asymptotes verticales
Une fonction rationnelle possède une asymptote verticale en tout point où son dénominateur est égal à \(0\). Comme le dénominateur est un polynôme \(Q(x)\), une fonction rationnelle peut avoir plusieurs asymptotes verticales. C'est également la raison pour laquelle nous ne pouvons pas avoir une fonction rationnelle dont le dénominateur est toujours égal à \(0\), il n'y aurait pas de graphique !
Asymptotes horizontales
Les fonctions rationnelles ne peuvent avoir qu'une ou aucune asymptote horizontale. Il y a trois choses à vérifier pour déterminer si la fonction rationnelle a ou non une asymptote horizontale :
Si le degré du polynôme au numérateur \(P(x)\) est supérieur au degré du polynôme au dénominateur \(Q(x)\), alors la fonction n'a pas d'asymptote horizontale.
Si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, il y a une asymptote horizontale à \(y=0\). En d'autres termes, l'axe des x est l'asymptote horizontale.
Si les degrés des deux polynômes sont les mêmes, la fonction rationnelle a une asymptote horizontale et son équation est déterminée par les premiers coefficients des polynômes.
$$y=\frac{\text{cœfficient directeur de }P(x)}{\text{cœfficient directeur de } Q(x)}$$
N'oublie pas que le coefficient directeur est le nombre qui multiplie la variable x par l'exposant le plus élevé des termes qui forment le polynôme. S'il n'y a pas de coefficient indiqué, alors le coefficient est 1.
Asymptotes obliques
Une asymptote oblique se réfère à une asymptote qui est inclinée. Si le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur de un, alors il y a une asymptote oblique. Note que les conditions pour avoir une asymptote horizontale et une asymptote oblique s'excluent mutuellement . Par conséquent, une fonction rationnelle ne peut pas avoir à la fois une asymptote horizontale et une asymptote oblique, mais seulement l'une ou l'autre. Si la fonction rationnelle a une asymptote oblique, nous pouvons trouver son équation en divisant le numérateur par le dénominateur à l'aide de la division polynomiale. Comme l'asymptote est une droite, elle sera de la forme \(y=mx+b\). Il nous suffit d'identifier la partie du quotient qui a cette forme.
Comment représenter graphiquement les fonctions rationnelles ?
Les 5 étapes ci-dessous doivent être suivies pour représenter graphiquement les fonctions rationnelles.
Tout d'abord, nous devons trouver toutes les asymptotes de la fonction rationnelle qui nous a été donnée.
Ensuite, nous pouvons dessiner les asymptotes en pointillés ou en tirets. Il est préférable d'utiliser une règle, car les asymptotes sont des lignes droites !
Nous devons trouver les éventuels points d'intersection x ou y de la fonction rationnelle. En d'autres termes, nous devons déterminer si le graphique croise les axes x ou y en un point quelconque. Pour trouver une ordonnée à l'origine, nous définissons \(x=0\), et pour trouver toute ordonnée à l'origine, nous définissons \(y=0\).
Avant de pouvoir tracer le graphique, nous devons calculer les valeurs x et y pour plusieurs valeurs différentes de x, puis tracer ces points.
Enfin, nous pouvons tracer le graphique en reliant chaque point que nous avons déjà tracé.
Comme tu peux le voir, la représentation graphique des fonctions rationnelles est similaire à la représentation graphique de n'importe quelle autre fonction. La seule chose supplémentaire dont nous avons besoin est de déterminer les asymptotes, car elles contiennent des informations importantes sur la fonction rationnelle.
Dessine le graphique de la fonction suivante.
$$f(x)=\frac{2x^{2}+x+1}{x+1}$$
Solution :
1. Comme \(Q(x)=x+1\) devient \(0\) à \(x=-1\), nous pouvons dire qu'il y aura une asymptote verticale à cette valeur x. De plus, comme le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur d'exactement un. Il y a donc une asymptote oblique, et par conséquent, il n'y a pas d'asymptotes horizontales.
| Polynôme | Degré |
| \N(P(x)=2x^{2}+x+1\N) | \(2\) |
| \N(Q(x)=x^{1}+1\N) | \(1\) |
| Différence de degré | |
| \(2-1=1\) | |
Pour trouver l'équation de l'asymptote oblique, nous devons effectuer la division polynomiale :
$$\frac{2x^{2}+x+1}{x+1}=2x-1+\frac{2}{x+1}$$
Puisque l'équation de l'asymptote doit être de la forme \(y=mx+b\), nous pouvons identifier l'équation de l'asymptote comme étant \(2x-1\).
2. Nous dessinons ces asymptotes sur notre papier. Dans ce cas, la ligne verticale est notre asymptote verticale de \(x=-1\) et notre ligne oblique est notre asymptote oblique de \(2x-1\) :
Fig. 2 - Un graphique montrant les asymptotes d'une fonction rationnelle - StudySmarter Originals
3. Pour trouver les intercepts, nous devons fixer \(x\N) à \N(0\N) et ensuite \N(y\N) à \N(0\N). Tout d'abord, nous allons fixer \(x\N) à \N(0\N) :
$$\frac{2(0)^{2}+0+1}{0+1}$$
ce qui se simplifie à \(\frac{0+0+1}{0+1}\). Il y a donc une intersection avec l'axe des y à \N(y = 1\N). Maintenant, en fixant \(y=0\), nous obtenons l'équation suivante
$$0=\frac{2(x)^{2}+x+1}{x+1}$$
où nous pouvons ignorer le dénominateur, ce qui nous laisse avec \(2(x)^{2}+x+1=0\). La raison pour laquelle nous pouvons éliminer le dénominateur est que si nous multiplions les deux côtés par celui-ci, la multiplication par \(0\) le fera disparaître de toute façon. Cette équation n'a pas de solution réelle. Cela implique qu'il n'existe aucun point où la parabole de \(2(x)^{2}+x+1=0\) croise l'axe des x. Il n'y a donc pas d'ordonnée à l'origine. N'oublie pas de reporter ces points sur le graphique.
Fig. 3 - Le graphique impliquant les asymptotes et l'ordonnée à l'origine - StudySmarter Originals
4. Nous allons maintenant tracer plusieurs valeurs de \(x\) en fonction de \(y\), en substituant une valeur de \(x\) dans l'équation et en traçant le point sur le graphique :
Fig. 4 - Le graphique après avoir tracé quelques points supplémentaires - StudySmarter Originals
5. Enfin, nous pouvons relier ces points pour tracer notre graphique final :
Fig. 5 - La courbe après avoir joint tous les points et asymptotes abordés - StudySmarter Originals
Remarque que le graphique est divisé en deux morceaux différents. C'est ce qui se produit avec toutes les fonctions rationnelles.
Tu trouveras d'autres exemples de graphiques de fonctions rationnelles ici !
Fonctions rationnelles - Points clés
- Une fonction rationnelle est une fonction qui peut être représentée comme le rapport de deux fonctions polynomiales, où celle du dénominateur n'est pas constante.
- La première chose à faire face à une fonction rationnelle est de simplifier la fonction autant que possible.
- Une asymptote est une ligne droite qui est approchée par une courbe.
- Les fonctions rationnelles peuvent avoir trois types d'asymptotes : horizontales, verticales ou obliques.
- Une fonction rationnelle ne peut avoir qu'une asymptote horizontale ou une asymptote oblique, mais pas les deux.
- Une fonction rationnelle peut avoir au maximum une asymptote non verticale.
- Pour dessiner le graphique d'une fonction rationnelle, il est important de connaître d'abord les équations des asymptotes.
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