Les 5 étapes ci-dessous doivent être suivies pour représenter graphiquement les fonctions rationnelles.
Dessine le graphique de la fonction suivante.
$$f(x)=\frac{2x^{2}+x+1}{x+1}$$
Solution :
1. Comme \(Q(x)=x+1\) devient \(0\) à \(x=-1\), nous pouvons dire qu'il y aura une asymptote verticale à cette valeur x. De plus, comme le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur d'exactement un. Il y a donc une asymptote oblique, et par conséquent, il n'y a pas d'asymptotes horizontales.
| Polynôme | Degré |
| \N(P(x)=2x^{2}+x+1\N) | \(2\) |
| \N(Q(x)=x^{1}+1\N) | \(1\) |
| Différence de degré |
| \(2-1=1\) |
Pour trouver l'équation de l'asymptote oblique, nous devons effectuer la division polynomiale :
$$\frac{2x^{2}+x+1}{x+1}=2x-1+\frac{2}{x+1}$$
Puisque l'équation de l'asymptote doit être de la forme \(y=mx+b\), nous pouvons identifier l'équation de l'asymptote comme étant \(2x-1\).
2. Nous dessinons ces asymptotes sur notre papier. Dans ce cas, la ligne verticale est notre asymptote verticale de \(x=-1\) et notre ligne oblique est notre asymptote oblique de \(2x-1\) :
Fig. 2 - Un graphique montrant les asymptotes d'une fonction rationnelle - StudySmarter Originals
3. Pour trouver les intercepts, nous devons fixer \(x\N) à \N(0\N) et ensuite \N(y\N) à \N(0\N). Tout d'abord, nous allons fixer \(x\N) à \N(0\N) :
$$\frac{2(0)^{2}+0+1}{0+1}$$
ce qui se simplifie à \(\frac{0+0+1}{0+1}\). Il y a donc une intersection avec l'axe des y à \N(y = 1\N). Maintenant, en fixant \(y=0\), nous obtenons l'équation suivante
$$0=\frac{2(x)^{2}+x+1}{x+1}$$
où nous pouvons ignorer le dénominateur, ce qui nous laisse avec \(2(x)^{2}+x+1=0\). La raison pour laquelle nous pouvons éliminer le dénominateur est que si nous multiplions les deux côtés par celui-ci, la multiplication par \(0\) le fera disparaître de toute façon. Cette équation n'a pas de solution réelle. Cela implique qu'il n'existe aucun point où la parabole de \(2(x)^{2}+x+1=0\) croise l'axe des x. Il n'y a donc pas d'ordonnée à l'origine. N'oublie pas de reporter ces points sur le graphique.
Fig. 3 - Le graphique impliquant les asymptotes et l'ordonnée à l'origine - StudySmarter Originals
4. Nous allons maintenant tracer plusieurs valeurs de \(x\) en fonction de \(y\), en substituant une valeur de \(x\) dans l'équation et en traçant le point sur le graphique :
Fig. 4 - Le graphique après avoir tracé quelques points supplémentaires - StudySmarter Originals
5. Enfin, nous pouvons relier ces points pour tracer notre graphique final :
Fig. 5 - La courbe après avoir joint tous les points et asymptotes abordés - StudySmarter Originals
Remarque que le graphique est divisé en deux morceaux différents. C'est ce qui se produit avec toutes les fonctions rationnelles.
Tu trouveras d'autres exemples de graphiques de fonctions rationnelles ici !
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