Factorisation en nombres premiers

Définition de la factorisation des nombres premiers

Tout d'abord, rappelle la définition d'un nombre premier.

Rappelle maintenant la définition d'un facteur.

Ces deux définitions étant posées, nous allons commencer par nous rafraîchir la mémoire sur la recherche des facteurs d'un nombre donné. De cette façon, nous pourrons nous familiariser avec le sujet et l'utiliser pour faire le lien entre ce concept et les nombres premiers. À titre d'exemple, déduisons les facteurs de \(14\). Ce nombre peut être écrit comme le produit des paires de nombres suivantes.

\N- [1 fois 14 = 14 \N]

\N- [2 \N- fois 7 = 14 \N]

Tous les nombres figurant dans ces deux produits de \N(14\N) sont ses facteurs. Ainsi, les facteurs de \N(14\N) sont \N(1\N), \N(2\N), \N(7\N) et \N(14\N). En examinant cette liste de facteurs, tu remarqueras que les nombres \(2\) et \(7\) sont des nombres premiers. Cela nous amène à la définition d'un facteur premier.

Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons exprimer un nombre comme le produit de deux nombres. Néanmoins, nous pouvons également représenter un nombre comme un produit de ses facteurs premiers. C'est ce qu'on appelle la factorisation des nombres premiers.

Essentiellement, ce que nous faisons ici, c'est décomposer un nombre en fonction de ses facteurs premiers. N'est-ce pas génial ?

Exemples de factorisations premières d'un nombre

Le tableau ci-dessous montre quelques exemples de nombres exprimés sous leur forme de factorisation première. Il s'agit simplement de donner une idée plus claire de l'aspect de cette représentation. Ne te préoccupe pas encore du processus ! Nous y reviendrons dans la section suivante.

Facteurs premiers et facteurs

La principale différence entre les facteurs et les facteurs premiers est simplement le type de nombre dans chaque forme de factorisation. Les facteurs sont essentiellement des nombres qui divisent complètement un autre nombre sans laisser de reste. Ces facteurs comprennent à la fois les nombres composites et les nombres premiers.

Les facteurs premiers d'un nombre donné sont des facteurs qui sont à la fois diviseurs et classés comme nombres premiers. Lorsque l'on considère la factorisation première de ce nombre, cela signifie que l'on ne peut plus décomposer sa forme factorisée en d'autres nombres (puisqu'il ne s'agit plus d'un nombre composite).

Méthodes de décomposition en facteurs premiers

Il existe deux façons de déterminer la factorisation première d'un nombre donné. Ces deux techniques sont énumérées ci-dessous.

1. Méthode de division

2. Méthode de l'arbre factoriel

Dans cette section, nous allons discuter de chaque technique à tour de rôle et présenter plusieurs exemples démontrant chaque méthode.

La méthode de la division

Commençons par la méthode de la division. Cette technique comporte quatre étapes.

1. Divise le nombre donné par le plus petit nombre premier ;

   Ce plus petit nombre premier doit diviser complètement le nombre.

2. Divise à nouveau le quotient de l'étape 1 par le plus petit nombre premier ;

3. Répète l'étape 2 jusqu'à ce que le quotient soit égal à 1 ;

4. Multiplie tous les facteurs premiers obtenus.

Nous allons maintenant observer quelques exemples illustrant cette méthode.

Méthode de l'arbre pour lafactorisation des nombres premiers

Nous allons maintenant passer à la méthode de l'arbre factoriel. Les étapes de ce processus sont numérotées ci-dessous.

1. Écris le nombre au sommet de l'arbre factoriel ;

2. Exprime le nombre comme le produit de deux facteurs qui se ramifient à partir de l'arbre ;

3. Ramène chacun des facteurs trouvés à l'étape 2 à un produit de deux facteurs ;

4. Répète l'étape 3 jusqu'à ce que tu ne puisses plus ramifier chaque facteur. À ce stade, il faut l'écrire comme un facteur premier ;

5. Enfin, définis le nombre donné comme un composé de ses facteurs premiers sous forme d'exposant.

Voyons maintenant quelques exemples concrets utilisant cette méthode.

Applications de la factorisation première

La factorisation première est un outil très utile lorsqu'il s'agit de trouver des modèles et des relations entre les facteurs et les multiples d'un ensemble donné de nombres. Elle est pratique lorsqu'il s'agit de chiffres plus grands. Nous pouvons utiliser ce concept pour trouver ce qui suit :

1. Facteur commun le plus élevé (HCF)

2. Le plus petit facteur commun (LCM)

3. Identification du nombre total de facteurs

Cette rubrique aborde en détail ces trois applications principales de la factorisation des nombres premiers, ainsi que des exemples concrets pour chaque cas.

Facteur commun le plus élevé (FCH)

En identifiant la factorisation première de deux nombres donnés, nous pouvons déduire leur facteur commun le plus élevé (FCH). Étant donné une paire de nombres, disons x et y, nous devons d'abord trouver la factorisation première de chaque nombre. Le FCM de x et y est le produit de la plus petite puissance de chaque facteur premier commun. Montrons-le à l'aide d'un exemple.

Tu trouveras plus d'informations sur ce sujet dans l'article : Facteur commun le plus élevé.

Le plus petit commun multiple (LCM)

En outre, nous pouvons également déterminer le plus petit commun multiple (LCM) partagé entre deux nombres à l'aide de la factorisation des nombres premiers. Là encore, nous devons trouver la factorisation première pour une paire de nombres donnée, disons \(x\N) et \N(y\N). Le LCM de \(x\) et \(y\) est le produit de la plus grande puissance de chaque facteur premier commun. Voici un exemple pour le démontrer.

Tu trouveras plus d'informations sur ce sujet dans l'article : Le plus petit commun multiple.

Trouver le nombre de facteurs

Nous pouvons également utiliser la factorisation des nombres premiers pour déduire le nombre de facteurs d'un nombre donné. Note qu'il est possible d'utiliser à la fois la méthode de l'arbre factoriel et la méthode de la division pour effectuer cette tâche. Cependant, dans la plupart des manuels, la méthode de l'arbre factoriel est le choix le plus courant pour ce travail. Tu trouveras ci-dessous les quatre étapes de cette méthode.

1. Trouve la factorisation des nombres premiers du nombre donné en utilisant la méthode de l'arbre factoriel (ou la méthode de la division) ;

2. Exprime ce produit de nombres premiers trouvé sous la forme de l'exposant correspondant ;

3. Ajoute 1 à chaque exposant ;

4. Multiplie les nombres trouvés à l'étape 3. Le résultat donne le nombre de facteurs du nombre donné.

Pour le démontrer, examinons l'exemple suivant.

Exemples pratiques

Voici quelques autres exemples de travaux pratiques illustrant les deux techniques de factorisation des nombres premiers. Nous appliquerons les deux méthodes pour les exemples ci-dessous afin de mieux comprendre chaque approche.