Fonctions paires

Fonctions impaires

Les fonctions impaires sont des fonctions comme $f\left(x\right)$ qui ont un équivalent négatif lorsque les variables indépendantes négatives comme $f(-x)$ sont substituées. Par conséquent, elles s'expriment le mieux sous la forme suivante :

$f\left(x\right)\stackrel{}{\to }f(-x)=-f\left(x\right)$

Ni l'une ni l'autre des fonctions

Les fonctions ni l'une ni l'autre sont des fonctions comme $f\left(x\right)$ qui n'ont pas de valeurs équivalentes lorsque les variables indépendantes négatives comme $f(-x)$ sont substituées. Cela suggère que ce ne sont ni des fonctions paires ni des fonctions impaires. Par conséquent, elles s'expriment le mieux sous la forme suivante :

$f\left(x\right)\stackrel{}{\to }f(-x)\ne f\left(x\right)$

et

$f\left(x\right)\underset{}{\to }f(-x)\ne -f\left(x\right)$

Fonctions paires parmi les identités trigonométriques

Il est possible de déterminer la nature de la fonction (c'est-à-dire paire, impaire ou ni l'une ni l'autre) parmi les identités trigonométriques. Nous utiliserons les deux diagrammes ci-dessous pour l'expliquer.

Figure 1, une image utilisée pour prouver la nature des fonctions parmi les identités trigonométriques lorsque θ est positif, StudySmarter Originals.

À partir du premier diagramme, nous pouvons utiliser SOHCAHTOA pour déterminer le cosθ. Si nous faisons cela, nous découvrons que

$\cos \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Mais que se passe-t-il lorsque θ est négatif ? D'après le deuxième diagramme, nous remarquons que bien que le côté opposé (a) ait changé (à -a) parce que la rotation de l'angle se fait dans la direction opposée, le côté adjacent (b) reste constant. Dans ce cas,

$$\begin{gathered} \cos (-\theta )=\frac{b}{\sqrt{{(-a)}^2+b^2}} \\ \cos (-\theta )=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gathered}$$

D'où,

$\cos \theta =\cos (-\theta )$

Quel est le rapport avec les fonctions paires ? Maintenant, si nous exprimons le cosinus comme une fonction de x, de sorte que nous avons cos(x) au lieu de cos(θ). Alors, si

$f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$

et

$$\begin{gathered} f(-x)=\cos \left(-x\right) \\ f\left(-x\right)=\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Par conséquent ,

$f\left(x\right)=f(-x)$

Dans ce cas, cela suggère que cos(x) est une fonction paire.

Qu'en est-il des fonctions sinusoïdales ?

Si tu te réfères à la figure 1, tu en déduiras que

$\sin \left(\theta \right)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Cependant, lorsque la rotation sur le plan cartésien va dans la direction opposée pour l'angle -θ (comme affiché dans la figure 2), nous remarquons que le côté opposé 'a' dans la figure 1, se transforme en '-a' dans la figure 2 parce que a est situé sur l'axe y négatif. Cela implique que

$\sin \left(-\theta \right)=\frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Si tu factorises par -1, tu obtiendras

$\sin \left(-\theta \right)=-1\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

D'où ,

$\sin \left(-\theta \right)=-\sin \left(\theta \right)$

Mais quelle est l'utilité de ce détail ? Si nous exprimons le sinus en fonction de x plutôt que de θ, de sorte que nous sachions comment sin(x) ainsi que sin(-x), alors, lorsque

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$

et

$$\begin{gathered} f(-x)=\sin (-x) \\ f(-x)=-\sin \left(x\right) \end{gathered}$$

avec la factorisation par -1 du côté droit de l'équation, nous arriverions à

$f(-x)=-1\left(\sin \right(x\left)\right)$

Cela signifie sûrement

$f(-x)=-f\left(x\right)$

Cela amène à la soumission que pour la fonction sinus,

$f\left(x\right)\ne f(-x)$

mais,

$f(-x)=-f\left(x\right)$

et par implication, nous pouvons conclure que les fonctions sinus ne sont pas des fonctions paires mais des fonctions impaires.

Quelle est la formule des fonctions paires ?

Pour que nous puissions déterminer la formule des fonctions paires, l'exposant de la variable indépendante, x, est toujours pair avec ou sans constante. Ainsi, pour ^xn, n est un nombre pair tel que 2, 4, 6...n. Lorsque a, b et c sont des constantes telles que 1, 2, 3... et n un nombre pair, une fonction paire s'exprime alors comme suit

$f\left(x\right)=a{x}^n+b{x}^{n\pm 2}+c$

or

$f\left(x\right)=a{x}^n+b{x}^{n\pm 2}$

Graphiques des fonctions paires

Lorsqu'une fonction paire est représentée graphiquement, son graphique est symétrique par rapport à l'axe vertical (axe des y).

Par exemple la fonction paire

$f\left(x\right)=x^4-2$

est représentée graphiquement ci-dessous

Représentation graphique d'une fonction paire, f(x)^=x4-2, StudySmarter Originals

D'après le graphique ci-dessus, on voit que les deux points (-1, -1) et (1, -1) du graphique prouvent la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour la fonction paire $x^4-2.$

Quelle est la différence entre les fonctions paires et les fonctions impaires ?

Les fonctions paires et les fonctions impaires diffèrent de deux façons principales : dans leurs graphiques et dans leur expression générale.

Différence dans le graphique

Nous venons de voir que le graphique des fonctions paires est symétrique par rapport à l'axe vertical (axe des y).

Mais pour une fonction impaire, son graphique est symétrique par rapport à l'origine. Cela signifie que si l'on fait pivoter la courbe de 180° à l'origine (0, 0), le graphique reste le même.

Note que, comme nous l'avons déjà mentionné, dans les graphiques de fonctions paires, si tu choisis un point donné (p, q) sur le graphique, tu auras sûrement un autre point sur le côté horizontal opposé de la courbe, qui sera (-p, q).

Par ailleurs, dans les fonctions impaires, si tu choisis un point (p, q), tu auras un point (-p, -q) sur les axes vertical et horizontal opposés. Par exemple, le graphique de la fonction impaire de

$f\left(x\right)=x^3$

marque les points (2, 8) vers le haut à droite ainsi qu'un autre point (-2, -8) qui est vers le bas à gauche.

Expression générale

Les fonctions paires se distinguent également des fonctions impaires par leur expression générale. Les fonctions paires sont exprimées de manière à se conformer à la règle.

$f\left(x\right)=f(-x)$

Cependant, les fonctions impaires n'obéissent pas à cette car dans leur cas,

$f\left(x\right)\ne f(-x)$

Au lieu de cela, leurs fonctions sont généralement exprimées de manière à se conformer à la règle

$f(-x)=-f\left(x\right)$

Exemples de fonctions paires

Pour mieux comprendre les fonctions paires, il est conseillé de s'entraîner à résoudre quelques problèmes.

Pour la fonction

$h\left(x\right)=6x^6-4x^4+2x^2-1$

Détermine si c'est une fonction paire. Trace le graphique et choisis deux points quelconques pour prouver qu'il s'agit ou non d'une fonction paire.

Solution :

La première tâche consiste à déterminer s'il s'agit d'une fonction paire. Si tu appliques la formule de la fonction paire expliquée plus tôt, en regardant l'expression $6x^6-4x^4+2x^2-1,$ nous pouvons conclure qu'il s'agit d'une fonction paire puisque tous les exposants de x, c'est-à-dire 6, 4 et 2, sont tous des nombres pairs. Néanmoins, pour obtenir une confirmation supplémentaire, il suffit d'appliquer la règle :

$f\left(x\right)=f(-x)$

En substituant -x à l'expression, nous obtenons

$$\begin{gathered} f(-x)=6{(-x)}^6-4{(-x)}^4+2\left(x^2\right)-1 \\ f(-x)=6x^6-4x^4+2x^2-1 \end{gathered}$$

Ainsi ,

$f\left(x\right)=f(-x)$

Nous pouvons donc affirmer que l'expression ci-dessus est bien une fonction paire.

La tâche suivante consiste à tracer le graphique et, à l'aide de deux points, à prouver que cette expression est bien une fonction paire.

Utiliser des points sur un graphique pour prouver les fonctions paires, StudySmarter Originals

Sur le graphique de l'expression ci-dessus, nous avons choisi deux points, (-1, 3) et (1, 3). Cela prouve que l'expression$6x^6-4x^4+2x^2-1,$ est une fonction paire puisque la paire (-1, 3) et (1, 3) est conforme à (p, q) et (-p, q).