Un secteur de cercle -StudySmarter Originals
La longueur d'un arc est une partie de la circonférence (périmètre) du cercle. Pour le même secteur, on pourrait avoir l'arc comme indiqué en vert :
Longueur de l'arc d'un cercle - StudySmarter Originals
Théorèmes sur les secteurs de cercle où l'angle est en degrés.
Tu connais peut-être déjà ces théorèmes, mais voyons comment calculer l'aire et la longueur de l'arc d'un secteur de cercle lorsque l'angle est donné en degrés.
Calcul de l'aire d'un secteur de cercle
La formule pour calculer l'aire d'un secteur avec un angle \(\theta\) est :
\(\text{Aire d'un secteur} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\theta}{360}\)
où r est le rayon du cercle
Le cercle A a un diamètre de 10 cm. Un secteur du cercle A forme un angle de 50. Quelle est la surface de ce secteur ?
- Tout d'abord, nous devons calculer le rayon du cercle. En effet, la formule de calcul de l'aire d'un secteur utilise cette valeur plutôt que le diamètre.
\(\text{diamètre = rayon} \cdot 2\)
\(\text{radius} = \frac{\text{diamètre}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \space cm\)
- Ensuite, remplace tes valeurs par la formule de l'aire d'un secteur.
\(\text{Aire d'un secteur} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{50}{360} = 10,9 cm^2 (3 \space s.f.)\)
Calculer la longueur de l'arc d'un secteur d'un cercle
La formule pour calculer la longueur de l'arc d'un secteur avec un angle \(\theta\) est :
\(\text{Arc Longueur d'un secteur} : \pi \cdot d \cdot \frac{\theta}{360}\) où d est le diamètre du cercle :
Le cercle B a un rayon de 12 cm. Un secteur à l'intérieur du cercle B a un angle de 100. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?
- Tout d'abord, la formule pour la longueur de l'arc d'un secteur nécessite le diamètre du cercle plutôt que le rayon.
\(\text{Diamètre} = r \cdot 2 = 2 \cdot 12 = 24 cm\)
- Ensuite, tu peux remplacer les valeurs que tu as trouvées dans la question par celles que tu as trouvées dans la formule
\(\text{Longueur d'arc d'un secteur} = \pi \cdot 24 \cdot \frac{100}{360} = 20,9 cm^2 \space (3 s.f.)\)
Calculer l'aire d'un secteur de cercle
Pour calculer l'aire d'un secteur d'un cercle ayant un angle \(\theta^r\), la formule que tu utilises est la suivante :
\(\text{Aire d'un secteur} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\)
où r est le rayon du cercle.
Le cercle C a un rayon de 15 cm. À l'intérieur du cercle C, il y a un secteur avec un angle de 0,5 radians. Quelle est la surface de ce secteur ?
- Comme toutes les variables sont sous la forme requise dans la formule, tu peux substituer leurs valeurs dans la formule.
\(\text{Aire d'un secteur} = \frac{ 1}{2} \cdot 15^2 \cdot 0,5 = 56,3 cm^2 \space (3 s.f.)\)
Calculer la longueur de l'arc d'un secteur d'un cercle
Pour calculer la longueur de l'arc d'un secteur d'un cercle ayant un angle \(\theta^r\), la formule que tu utilises est la suivante :
\(\text{Arc longueur d'un secteur} = r \cdot \theta\), où r est le rayon du cercle.
Un secteur du cercle D a un angle de 1,2 radians. Le cercle D a un diamètre de 19. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?
- La formule requiert le rayon plutôt que le diamètre.
\(\text{Diamètre = Rayon}) \cdot 2\text{Rayon} = \frac{\text{Diamètre}}{2} = \frac{19}{2} = 9,5\)
- Tu peux ensuite remplacer ces valeurs par la formule suivante : \(\texte{Longueur d'arc d'un secteur} = 9,5 \cdot 1,2 = 11,4 \space cm\).
Secteur d'un cercle - Points clés
- Un secteur de cercle est la proportion d'un cercle dont deux des côtés sont des rayons. La longueur d'un arc du secteur est la proportion de la circonférence qui parcourt la longueur du secteur du cercle.
- Si l'angle au centre du cercle est en degrés, la formule pour trouver l'aire du secteur est : \(\text{Aire d'un secteur} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\theta}{360}\). Pour calculer la longueur de l'arc, la formule est la suivante :
\(\text{Longueur d'arc d'un secteur} = \pi \cdot d \cdot \frac{\theta}{360}\)
- Si l'angle du cercle est en radians, la formule pour trouver l'aire du secteur est la suivante : \(\text{Aire d'un secteur} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\). Pour calculer la longueur de l'arc du secteur, la formule est : \(\text{Arc length} = r \cdot \theta\)
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