Secteur d'un cercle

Un secteur de cercle est une zone d'un cercle dont deux des côtés sont des rayons. Un exemple de secteur (en rouge) est illustré ci-dessous :

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Comment trouver le secteur d'un cercle ?

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Il existe deux formules pour trouver l'aire d'un secteur d'un cercle. Qu'est-ce qui détermine celle que tu utiliseras ?

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Qu'est-ce qu'une longueur d'arc ?


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Le cercle A a un diamètre de 10 cm. Un secteur du cercle A a un angle de 120. Quelle est la surface de ce secteur ?


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Le cercle B a un diamètre de 4 cm. Un secteur du cercle B a un angle de 20. Quelle est la surface de ce secteur ?


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Le cercle D a un rayon de 10 cm. Un secteur du cercle D a un angle de 60. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?


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Le cercle E a un diamètre de 15 cm. Un secteur du cercle E a un angle de 90. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?


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Que sont les radians ?


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Le cercle F a un diamètre de 9 cm. Un secteur du cercle E a un angle de 115. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?


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Le cercle G a un rayon de 5 cm. À l'intérieur du cercle G, il y a un secteur avec un angle de 1,2 radians. Quelle est l'aire de ce secteur ?


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    Secteur d'un cercle diagramme de secteur StudySmarterUn secteur de cercle -StudySmarter Originals

    La longueur d'un arc est une partie de la circonférence (périmètre) du cercle. Pour le même secteur, on pourrait avoir l'arc comme indiqué en vert :

    Secteur d'un cercle diagramme de longueur d'arc StudySmarterLongueur de l'arc d'un cercle - StudySmarter Originals

    Théorèmes sur les secteurs de cercle où l'angle est en degrés.

    Tu connais peut-être déjà ces théorèmes, mais voyons comment calculer l'aire et la longueur de l'arc d'un secteur de cercle lorsque l'angle est donné en degrés.

    Calcul de l'aire d'un secteur de cercle

    La formule pour calculer l'aire d'un secteur avec un angle \(\theta\) est :

    \(\text{Aire d'un secteur} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\theta}{360}\)

    r est le rayon du cercle

    Le cercle A a un diamètre de 10 cm. Un secteur du cercle A forme un angle de 50. Quelle est la surface de ce secteur ?

    • Tout d'abord, nous devons calculer le rayon du cercle. En effet, la formule de calcul de l'aire d'un secteur utilise cette valeur plutôt que le diamètre.

    \(\text{diamètre = rayon} \cdot 2\)

    \(\text{radius} = \frac{\text{diamètre}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \space cm\)

    • Ensuite, remplace tes valeurs par la formule de l'aire d'un secteur.
    \(\text{Aire d'un secteur} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{50}{360} = 10,9 cm^2 (3 \space s.f.)\)

    Calculer la longueur de l'arc d'un secteur d'un cercle

    La formule pour calculer la longueur de l'arc d'un secteur avec un angle \(\theta\) est :

    \(\text{Arc Longueur d'un secteur} : \pi \cdot d \cdot \frac{\theta}{360}\) où d est le diamètre du cercle :

    Le cercle B a un rayon de 12 cm. Un secteur à l'intérieur du cercle B a un angle de 100. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?

    • Tout d'abord, la formule pour la longueur de l'arc d'un secteur nécessite le diamètre du cercle plutôt que le rayon.
    \(\text{Diamètre} = r \cdot 2 = 2 \cdot 12 = 24 cm\)
    • Ensuite, tu peux remplacer les valeurs que tu as trouvées dans la question par celles que tu as trouvées dans la formule
    \(\text{Longueur d'arc d'un secteur} = \pi \cdot 24 \cdot \frac{100}{360} = 20,9 cm^2 \space (3 s.f.)\)

    Théorèmes du secteur de cercle où l'angle est en radians

    • Tu dois également être capable de calculer la longueur de l'arc et l'aire d'un secteur de cercle lorsque l'angle est donné en radians.

    • Les radians sont une unité alternative aux degrés que nous pouvons utiliser pour mesurer un angle au centre du cercle.

    • Pour récapituler, voici quelques conversions courantes de degrés en radians.

    DegrésRadians
    \(\frac{\pi}{6}\)

    \(\frac{\pi}{4}\)

    \(\frac{\pi}{3}\)

    \(\frac{\pi}{2}\)

    \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- (\N- \N-)

    \N- (\Nfrac{3\pi}{2}\N)

    \N- (2 \N-)

    Calculer l'aire d'un secteur de cercle

    Pour calculer l'aire d'un secteur d'un cercle ayant un angle \(\theta^r\), la formule que tu utilises est la suivante :

    \(\text{Aire d'un secteur} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\)

    r est le rayon du cercle.

    Le cercle C a un rayon de 15 cm. À l'intérieur du cercle C, il y a un secteur avec un angle de 0,5 radians. Quelle est la surface de ce secteur ?

    • Comme toutes les variables sont sous la forme requise dans la formule, tu peux substituer leurs valeurs dans la formule.
    \(\text{Aire d'un secteur} = \frac{ 1}{2} \cdot 15^2 \cdot 0,5 = 56,3 cm^2 \space (3 s.f.)\)

    Calculer la longueur de l'arc d'un secteur d'un cercle

    Pour calculer la longueur de l'arc d'un secteur d'un cercle ayant un angle \(\theta^r\), la formule que tu utilises est la suivante :

    \(\text{Arc longueur d'un secteur} = r \cdot \theta\), où r est le rayon du cercle.

    Un secteur du cercle D a un angle de 1,2 radians. Le cercle D a un diamètre de 19. Quelle est la longueur de l'arc de ce secteur ?

    • La formule requiert le rayon plutôt que le diamètre.

    \(\text{Diamètre = Rayon}) \cdot 2\text{Rayon} = \frac{\text{Diamètre}}{2} = \frac{19}{2} = 9,5\)

    • Tu peux ensuite remplacer ces valeurs par la formule suivante : \(\texte{Longueur d'arc d'un secteur} = 9,5 \cdot 1,2 = 11,4 \space cm\).

    Secteur d'un cercle - Points clés

    • Un secteur de cercle est la proportion d'un cercle dont deux des côtés sont des rayons. La longueur d'un arc du secteur est la proportion de la circonférence qui parcourt la longueur du secteur du cercle.
    • Si l'angle au centre du cercle est en degrés, la formule pour trouver l'aire du secteur est : \(\text{Aire d'un secteur} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\theta}{360}\). Pour calculer la longueur de l'arc, la formule est la suivante :

    \(\text{Longueur d'arc d'un secteur} = \pi \cdot d \cdot \frac{\theta}{360}\)

    • Si l'angle du cercle est en radians, la formule pour trouver l'aire du secteur est la suivante : \(\text{Aire d'un secteur} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\). Pour calculer la longueur de l'arc du secteur, la formule est : \(\text{Arc length} = r \cdot \theta\)
    Questions fréquemment posées en Secteur d'un cercle
    Qu'est-ce qu'un secteur d'un cercle?
    Un secteur d'un cercle est une portion de cercle délimitée par deux rayons et un arc.
    Comment calculer l'aire d'un secteur d'un cercle?
    Pour calculer l'aire, on utilise la formule: (θ/360) * π * r², où θ est l'angle en degrés et r est le rayon.
    Comment trouver la longueur de l'arc d'un secteur?
    La longueur de l'arc est calculée par la formule: (θ/360) * 2 * π * r, où θ est l'angle en degrés.
    Quelle est la différence entre un secteur et un segment de cercle?
    Un secteur est délimité par deux rayons et un arc, tandis qu'un segment est délimité par une corde et un arc.

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