Intégrales définies

Résoudre des intégrales définies

Comment résoudre les intégrales définies ? Pour résoudre des intégrales définies, suis la procédure suivante :

1) Ecris l'intégrale définie avec ses limites sous la forme,${\int }_a^{b}f’\left(x\right)dx$

2) Intègre la fonction f '(x) de la même façon que tu le ferais pour une intégrale indéfinie afin de trouver f (x). N'inclus pas la constante d'intégration, C. Écris le résultat sous la forme,${\left[f\right(x\left)\right]}_a^b$

3) Évalue maintenant f (x) entre les limites données : f (b) - f (a) Tu obtiens ainsi la valeur finale.

Exemple 1

Évalue ${\int }_1^{7}5x^{2}dx$

Solution 1

${\int }_1^{7}5x^{2}dx$

= ${[5x^3/3]}_1^7$

= (5/3 × 7³) - (5/3 × 1³)

= 570

Trouver l'aire sous une courbe

L'intégration est un outil très utile pour trouver l'aire sous un graphique. Dans l'exemple ci-dessus, il s'agit de trouver l'aire comprise entre l'axe des x et la courbe f (x) = 5x² entre x = 1 et x = 7. Nous pouvons représenter l'exemple ci-dessus sous forme de graphique.

Figure 1. Graphique représentant f (x) = 5x², pour trouver l'aire comprise entre x = 1 et x = 7, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals

La courbe du graphique ci-dessus représente f (x) = 5x². Comme indiqué, la valeur de l'intégrale définie entre 1 et 7 donne la surface comprise entre la courbe et l'axe des x entre x = 1 et x = 7.

Exemple 2

Évalue ${\int }_{0.5}^1\cos \left(x\right)dx$Note - x est en radian

Solution 2

${\int }_{0.5}^{1}c\mathrm{os}\left(x\right)dx$

= ${[\sin (x)]}_{0.5}^1$

= sin (1) - sin (0.5)

= 0.841-0.479

= 0.362

Comme dans l'exemple précédent, la valeur ci-dessus nous donne la surface comprise entre la courbe y = cos (x) et l'axe des x entre x = 0,5 et x = 1. Regarde l'image suivante pour une démonstration claire.

Figure 2. Graphique représentant f (x) = cos (x), pour trouver l'aire comprise entre x = 0,5 et x = 1, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals.

Exemple 3

Étant donné ${\int }_1^5$ (2Px + 7) dx = 4P², montre qu'il y a deux valeurs possibles de P. Trouve ces valeurs.

Solution 3

${\int }_1^5$ (2Px + 7) dx

${[Px²+7x]}_1^5$ = (25P + 35) - (P + 7)

= 24P + 28

Maintenant ,

24P + 28 = 4P²

=> 6P + 7 = P²

=> $P^2-6P-7=0$

=> (P + 1) (P - 7) = 0

Par conséquent, la valeur de P peut être soit -1, soit 7.

Exemple 4

Trouve la surface fermée délimitée par la courbe y = x (x - 5) et l'axe des x.

Solution 4

Pour trouver l'aire délimitée par la courbe et l'axe des x, trouvons les points d'intersection de la courbe et de l'axe, c'est-à-dire là où y = f (x) = 0

f (x) = x (x - 5) = 0

=> x = 0 ou x = 5.

La courbe croise donc l'axe des x à (0, 0) et (5, 0).

0 et 5 servent de bornes inférieure et supérieure pour notre intégrale définie.

Ainsi, l'aire totale = ${\int }_0^5$ (x) (x - 5) dx

$$\begin{gathered} ={\int }_0^5(x²-5x)dx \\ ={[x^3/3-5x²/2]}_0^5=(125/3-125/2)-(0-0) \\ =-20.83 \end{gathered}$$

Une zone négative délimitée par une courbe

Dans l'exemple ci-dessus, la surface est une valeur négative. Qu'est-ce que cela signifie ?

Cela implique que la zone délimitée par la courbe et l'axe des x tombe en dessous de l'axe des x, c'est-à-dire du côté négatif de l'axe des x.

Si nous traçons la courbe y = f (x) = x (x - 5), nous obtenons la courbe suivante.

Figure 3. Graphique représentant f (x) = x (x - 5), pour trouver l'aire comprise entre la courbe et l'axe des x, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals .

Comme nous pouvons le voir ici, l'aire délimitée par la courbe tombe en dessous de l'axe des x.

La zone délimitée par la courbe et l'axe des x qui tombe au-dessus de l'axe des x donne une valeur positive à ∫f (x) dx, et la zone délimitée par la courbe et l'axe des x qui tombe en dessous de l'axe des x donne une valeur négative à ∫ f (x) dx.

Que se passe-t-il si nous voulons trouver l'ampleur totale de la surface comprise entre une courbe et l'axe des x lorsqu'une partie de cette surface se trouve au-dessus de l'axe des x, et qu'une autre partie se trouve en dessous de l'axe des x ? Dans ces cas, nous devrions trouver les deux surfaces individuellement et additionner leurs magnitudes sans tenir compte de leur signe.