Intégrales définies

Pour une fonction f (x) continue sur l'intervalle fermé [a, b], il est possible de calculer l'intégrale entre les limites a et b. Une intégrale calculée entre deux limites est appelée intégrale définie.

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    Intégrales définies - notation

    Une intégrale définie produit généralement une valeur, contrairement à une intégrale indéfiniea>, qui produit une fonction.

    Les intégrales définies sont représentées de la même manière que les intégrales indéfinies, avec en plus l'ajout des limites en indice et en exposant sur le signe d'intégration. Par exemple, si nous voulons intégrer , x2 entre les limites 5 et 8, la notation correspondante serait

    58x2dx

    Résoudre des intégrales définies

    Comment résoudre les intégrales définies ? Pour résoudre des intégrales définies, suis la procédure suivante :

    1) Ecris l'intégrale définie avec ses limites sous la forme,abf(x) dx

    2) Intègre la fonction f '(x) de la même façon que tu le ferais pour une intégrale indéfinie afin de trouver f (x). N'inclus pas la constante d'intégration, C. Écris le résultat sous la forme,[f(x)]ab

    3) Évalue maintenant f (x) entre les limites données : f (b) - f (a) Tu obtiens ainsi la valeur finale.

    Tu te demandes pourquoi nous n'incluons pas la constante d'intégration ici ? Supposons que nous incluions C dans notre évaluation de f (x). Appelons cela g (x). Dans ce cas, la valeur de g (x) = f (x) + C.

    Nous évaluerions alors g (x) entre les limites données :

    g (b) - g (a) = (f (b) + C) - (f (a) + C)

    = f (b) - f (a)

    Tu vois donc que la constante d'intégration finit par s'annuler. C'est pourquoi nous ne l'incluons pas dans les calculs.

    Exemple 1

    Évalue 175x2 dx

    Solution 1

    175x2 dx

    = [ 5x3/3]17

    = (5/3 × 7³) - (5/3 × 1³)

    = 570

    Trouver l'aire sous une courbe

    L'intégration est un outil très utile pour trouver l'aire sous un graphique. Dans l'exemple ci-dessus, il s'agit de trouver l'aire comprise entre l'axe des x et la courbe f (x) = 5x² entre x = 1 et x = 7. Nous pouvons représenter l'exemple ci-dessus sous forme de graphique.

    Intégrales définies, exemple de représentation graphique, StudySmarterFigure 1. Graphique représentant f (x) = 5x², pour trouver l'aire comprise entre x = 1 et x = 7, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals

    La courbe du graphique ci-dessus représente f (x) = 5x². Comme indiqué, la valeur de l'intégrale définie entre 1 et 7 donne la surface comprise entre la courbe et l'axe des x entre x = 1 et x = 7.

    Exemple 2

    Évalue 0.51 cos (x) dxNote - x est en radian

    Solution 2

    0.51cos (x) dx

    = [ sin (x) ]0.51

    = sin (1) - sin (0.5)

    = 0.841-0.479

    = 0.362

    Comme dans l'exemple précédent, la valeur ci-dessus nous donne la surface comprise entre la courbe y = cos (x) et l'axe des x entre x = 0,5 et x = 1. Regarde l'image suivante pour une démonstration claire.

    Exemple de cos de graphique intégral défini - StudySmarterFigure 2. Graphique représentant f (x) = cos (x), pour trouver l'aire comprise entre x = 0,5 et x = 1, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals.

    Exemple 3

    Étant donné 15 (2Px + 7) dx = 4P², montre qu'il y a deux valeurs possibles de P. Trouve ces valeurs.

    Solution 3

    15 (2Px + 7) dx

    [Px² + 7x]15 = (25P + 35) - (P + 7)

    = 24P + 28

    Maintenant ,

    24P + 28 = 4P²

    => 6P + 7 = P²

    => P2 - 6P - 7 = 0

    => (P + 1) (P - 7) = 0

    Par conséquent, la valeur de P peut être soit -1, soit 7.

    Exemple 4

    Trouve la surface fermée délimitée par la courbe y = x (x - 5) et l'axe des x.

    Solution 4

    Pour trouver l'aire délimitée par la courbe et l'axe des x, trouvons les points d'intersection de la courbe et de l'axe, c'est-à-dire là où y = f (x) = 0

    f (x) = x (x - 5) = 0

    => x = 0 ou x = 5.

    La courbe croise donc l'axe des x à (0, 0) et (5, 0).

    0 et 5 servent de bornes inférieure et supérieure pour notre intégrale définie.

    Ainsi, l'aire totale = 05 (x) (x - 5) dx

    = 05(x² - 5x) dx = [x3/3 - 5x² /2]05 = (125/3 - 125/2) - (0 - 0) = -20.83

    Une zone négative délimitée par une courbe

    Dans l'exemple ci-dessus, la surface est une valeur négative. Qu'est-ce que cela signifie ?

    Cela implique que la zone délimitée par la courbe et l'axe des x tombe en dessous de l'axe des x, c'est-à-dire du côté négatif de l'axe des x.

    Si nous traçons la courbe y = f (x) = x (x - 5), nous obtenons la courbe suivante.

    Exemple d'aire négative d'un graphique intégral défini - StudySmarterFigure 3. Graphique représentant f (x) = x (x - 5), pour trouver l'aire comprise entre la courbe et l'axe des x, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals .

    Comme nous pouvons le voir ici, l'aire délimitée par la courbe tombe en dessous de l'axe des x.

    La zone délimitée par la courbe et l'axe des x qui tombe au-dessus de l'axe des x donne une valeur positive à ∫f (x) dx, et la zone délimitée par la courbe et l'axe des x qui tombe en dessous de l'axe des x donne une valeur négative à ∫ f (x) dx.

    Que se passe-t-il si nous voulons trouver l'ampleur totale de la surface comprise entre une courbe et l'axe des x lorsqu'une partie de cette surface se trouve au-dessus de l'axe des x, et qu'une autre partie se trouve en dessous de l'axe des x ? Dans ces cas, nous devrions trouver les deux surfaces individuellement et additionner leurs magnitudes sans tenir compte de leur signe.

    Si nous prenons une seule intégrale définie sur l'ensemble de la surface, la valeur résultante sera [(surface située au-dessus de l'axe des x) - (surface située en dessous de l'axe des x)]).

    Intégrales définies - Principaux enseignements

    • Pour une fonction f (x) continue sur l'intervalle fermé [a, b], il est possible de calculer l'intégrale entre les limites a et b. Une intégrale calculée entre deux limites est appelée intégrale définie. Elle s'exprime par ab f (x) dx.
    • Une intégrale définie produit généralement une valeur, contrairement à une intégrale indéfinie, qui produit une fonction.
    • La valeur de abf (x) dx nous donne la surface comprise entre la courbe f (x) et l'axe des x dans l'intervalle x = a et x = b.
    • Si une aire comprise entre la courbe f (x) et l'axe des x tombe au-dessus de l'axe des x, elle donne une valeur positive pour ∫f (x) dx, et si l'aire tombe en dessous de l'axe des x, elle donne une valeur négative pour ∫f (x) dx.
    Questions fréquemment posées en Intégrales définies
    Qu'est-ce qu'une intégrale définie?
    Une intégrale définie calcule l'aire sous une courbe entre deux points donnés, souvent notée ∫[a, b] f(x) dx.
    Comment calculer une intégrale définie?
    Calculer une intégrale définie implique de trouver la primitive F(x) de f(x), puis d’évaluer F(b) - F(a).
    Quelle est la différence entre une intégrale définie et une intégrale indéfinie?
    Une intégrale définie a des limites de calcul (a et b), donnant un nombre précis, tandis qu'une intégrale indéfinie n'a pas de limites et donne une famille de fonctions.
    À quoi servent les intégrales définies?
    Les intégrales définies servent à calculer des aires, des volumes, des travaux et des probabilités en mathématiques appliquées.

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