Factorisation des expressions

Factorise les expressions suivantes.

a) $15x+25y$

b) $2x+4xy$

c) $7pq+2ab-21bq+4ap$

Solution :

a)

$15x+25y$

Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de réarranger l'expression pour trouver le PGCD. Quel est le plus grand nombre ou la plus grande expression qui peut diviser à la fois 15x et 25y sans qu'il y ait de reste ? Le PGCD est 5.

Ensuite, divise chacune des expressions par 5 pour obtenir le résultat (macronyme). Ainsi ,

$$\begin{gathered} \frac{(15x+25y)}{5}=\frac{15x}{5}+\frac{25y}{5} \\ \frac{(15x+25y)}{5}=3x+5y \end{gathered}$$

Maintenant, ouvre une parenthèse, place le PGCD à l'extérieur de la parenthèse et le résultat (macronyme) à l'intérieur de la parenthèse. Tu devrais arriver à ,

$\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{)}$

Cela signifie qu'une fois factorisé :

$\mathbf{15}\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{25}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{)}$

b)

$2x+4xy$

Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de réarranger l'expression pour trouver le PGCD. Quel est le plus grand nombre ou la plus grande expression qui peut diviser à la fois 2x et 4xy sans qu'il y ait de reste ? Le PGCD est 2x.

Ensuite, divise chacune des expressions par 2x pour obtenir le résultat (macronyme). Ainsi ,

$$\begin{gathered} \frac{(2x+4xy)}{2x}=\frac{2x}{2x}+\frac{4xy}{2x} \\ \frac{(2x+4xy)}{2x}=1+2y \end{gathered}$$

Maintenant, ouvre une parenthèse, place le PGCD à l'extérieur de la parenthèse et le résultat (macronyme) à l'intérieur de la parenthèse. Tu devrais arriver à ,

$\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{)}$

Ceci implique qu'une fois factorisé :

$\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathit{x}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{)}$

c)

$7pq+2ab-21bq+4ap$

La première chose à faire est de réarranger l'expression en rapprochant les termes semblables. Utilise le meilleur chemin possible pour y parvenir. Par exemple, 2ab et -21bq peuvent être regroupés mais seul b est le PGCD entre les termes de cette paire par rapport au regroupement de 2ab et 4ap qui peut se faire comme ci-dessous,

$7pq+2ab-21bq+4ap=7pq-21bq+2ab+4ap$

La prochaine chose à faire est de séparer les paires avec des parenthèses pour voir facilement quels groupes tu factorises, assure-toi d'avoir un signe plus entre les parenthèses.

$7pq-21bq+2ab+4ap=(7pq-21bq)+(2ab+4ap)$

Maintenant, factorise ce que tu as dans la parenthèse séparément en suivant les étapes expliquées précédemment. Ainsi ,

$$\begin{gathered} \frac{(7pq-21bq)}{7q}=\frac{7pq}{7q}-\frac{21bq}{7q} \\ \frac{(7pq-21bq)}{7q}=p-3b \\ 7pq-21bq=7q(p-3b) \end{gathered}$$

De même, pour l'autre paire, nous avons

$$\begin{gathered} \frac{(2ab+4ap)}{2a}=\frac{2ab}{2a}+\frac{4ap}{2a} \\ \frac{(2ab+4ap)}{2a}=b+2p \\ 2ab+4ap=2a(b+2p) \end{gathered}$$

Maintenant que tu as réussi à factoriser des paires, ramène-les ensemble, mais cette fois sous leur forme factorisée. Ainsi ,

$\mathbf{7}\mathit{q}\mathbf{(}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{a}\mathbf{(}\mathit{b}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{p}\mathbf{)}$

Cela implique que :

$\mathbf{7}\mathit{p}\mathit{q}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{2}\mathit{a}\mathit{b}\mathbf{-}\mathbf{21}\mathit{b}\mathit{q}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathit{a}\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathit{q}\mathbf{(}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{a}\mathbf{(}\mathit{b}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{p}\mathbf{)}$

Factorise les éléments suivants.

a) $4x+2y-10$

b) $3x+y-9$

Solution :

a)

$4x+2y-10$

Trouve le PGCD, le PGCD ici est 2, divise par 2 en utilisant les mêmes étapes que celles expliquées dans les exemples précédents et tu obtiendras,

$4x+2y-10=\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}$

b)

$3x+y-9$

Ici, il n'y a pas de facteur commun entre les trois termes, mais il y a un facteur commun entre deux des termes. Cela signifie que tu peux les regrouper pour obtenir ,

$3x+y-9=3x-9+y$

Maintenant, mets une parenthèse pour séparer les termes que tu dois factoriser avec un facteur commun de ceux qui ne peuvent pas être divisés par le facteur commun.

$3x-9+y=(3x-9)+y$

Tu peux maintenant factoriser ce qui se trouve dans la parenthèse par le PGCD, qui est 3. Évite de toucher aux autres termes qui se trouvent à l'extérieur de la parenthèse.

$$\begin{gathered} \frac{(3x-9)}{3}=\frac{3x}{3}-\frac{9}{3} \\ \frac{3x}{3}-\frac{9}{3}=x-3 \end{gathered}$$

Tu as donc factorisé pour obtenir ,

$3x-9=3(x-3)$

Tu peux maintenant ajouter les autres termes à l'extérieur de la parenthèse pour compléter l'expression.

$3x+y-9=\mathbf{3}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{y}$

Factorise les expressions suivantes.

a) $x^2-5x+6$

b) $2x^2+9x+4$

Solution :

a)

$x^2-5x+6$

La première chose à faire est de multiplier la constante 6 par ^x2 pour obtenir ^6x2. Rappelle-toi que la règle du produit dit ,

$\alpha \beta =ac$

ac est le coefficient de ^x2 et dans ce cas, c'est 6.

Maintenant, écris le produit factoriel de 6 en tenant compte des nombres positifs et négatifs. Cela comprend :

$2\times 3=6$,

$-2\times (-3)=6$,

$1\times 6=6$

et

$-1\times (-6)=6$

Maintenant que tu as des facteurs possibles, tu dois savoir quelle paire respecterait la règle de la somme. Rappelle-toi que :

$\alpha +\beta =b$

Nous cherchons donc la somme des facteurs qui donnerait le coefficient de x qui est -5 dans cette question. Regardons la somme des paires.

$$\begin{gathered} 2+3=5 \\ \mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5} \\ 1+6=7 \\ -1+(-6)=-7 \end{gathered}$$

Cela signifie que notre bonne paire de facteurs est -2 et -3.

La prochaine chose est de remplacer -5x par nos facteurs sachant cela,

$$\begin{gathered} -5x=-2x+(-3x) \\ -5x=-2x-3x \end{gathered}$$

Par conséquent,

$x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6$

Il suffit maintenant de suivre les étapes expliquées précédemment et de factoriser en plaçant d'abord tes parenthèses et en séparant les deux parenthèses par un signe plus.

$x^2-2x-3x+6=(x^2-2x)+(-3x+6)$

Ensuite, factorise avec le PGCD de chaque expression entre parenthèses.

$(x^2-2x)+(-3x+6)=x(x-2)-3(x-2)$

En factorisant les équations quadratiques, tu dois t'assurer que les résultats (macronymes) sont les mêmes dans les deux parenthèses. Dans ce cas, nous avons (x-2) dans les deux parenthèses.

L'étape suivante est assez intéressante, ajoute les facteurs à l'extérieur de la parenthèse et mets-les à l'intérieur d'une parenthèse, et élimine l'une des parenthèses similaires de sorte que tu aies deux parenthèses séparées sans signe entre les parenthèses. Fais cela et tu auras :

$\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$

Par conséquent,

$x^2-5x+6=\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$

b)

$2x^2+9x+4$

La première chose à faire est de multiplier la constante 4 par ^2x2 pour obtenir ^8x2. Rappelle-toi que la règle du produit dit ,

$\alpha \beta =ac$

ac est le coefficient de ^x2 et dans ce cas, c'est 8.

Maintenant, écris le produit factoriel de 8 en tenant compte des nombres positifs et négatifs. Cela comprend :

$2\times 4=8$,

$-2\times (-4)=8$,

$1\times 8=8$

et

$-1\times (-8)=8$

Maintenant que tu as des facteurs possibles, tu dois savoir quelle paire respecterait la règle de la somme. Rappelle-toi que :

$\alpha +\beta =b$

Nous cherchons donc la somme des facteurs qui donnerait le coefficient de x qui est 9 d'après cette question. Regardons la somme des paires.

$$\begin{gathered} 2+4=6 \\ -2+(-4)=-6 \\ \mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{=}\mathbf{9} \\ -1+(-8)=-9 \end{gathered}$$

Cela signifie que notre bonne paire de facteurs est 1 et 8.

La prochaine chose est de remplacer 9x par nos facteurs sachant cela,

$9x=x+8x$

Par conséquent,

$2x^2+9x+4=2x^2+x+8x+4$

Il suffit maintenant de suivre les étapes expliquées précédemment et de factoriser en plaçant d'abord tes parenthèses et en séparant les deux parenthèses par un signe plus.

$2x^2+x+8x+4=(2x^2+x)+(8x+4)$

Ensuite, factorise avec le PGCD de chaque expression entre parenthèses.

$(2x^2+x)+(8x+4)=x(2x+1)+4(2x+1)$

En factorisant les équations quadratiques, tu dois t'assurer que les résultats (macronymes) sont les mêmes dans les deux parenthèses. Dans ce cas, nous avons (2x+1) dans les deux parenthèses.

L'étape suivante est assez intéressante, ajoute les facteurs à l'extérieur de la parenthèse et mets-les à l'intérieur d'une parenthèse, et élimine l'une des parenthèses similaires de sorte que tu aies deux parenthèses séparées sans signe entre les parenthèses. Fais cela et tu obtiendras :

$\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$

Par conséquent,

$2x^2+9x+4=\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$

Résous la question suivante.

$14{(k+1)}^2+21(k+1)$

Solution :

Pour factoriser :

$14{(k+1)}^2+21(k+1)$

tu dois développer l'expression. Ainsi ,

$$\begin{gathered} 14{(k+1)}^2+21(k+1)=14(k+1)(k+1)+21k+21 \\ (k+1)(k+1)=k^2+2k+1 \\ 14(k+1)(k+1)+21k+21=14(k^2+2k+1)+21k+21 \\ 14(k^2+2k+1)+21k+21=14k^2+28k+14+21k+21 \end{gathered}$$

Rapproche les termes semblables.

$$\begin{gathered} 14k^2+28k+14+21k+21=14k^2+28k+21k+14+21 \\ 14k^2+28k+21k+14+21=14k^2+49k+35 \end{gathered}$$

En regardant l'expression$14k^2+49k+35$tu peux dire qu'un facteur est commun et qu'il s'agit de 7. Applique les étapes expliquées précédemment et tu obtiendras :

$14k^2+49k+35=7(2k^2+7k+5)$

Maintenant, l'expression$7(2k^2+7k+5)$peut être factorisée en factorisant $(2k^2+7k+5)$qui est une expression quadratique. Essaie de mettre en pratique ce que tu as appris jusqu'à présent en factorisant l'expression $2k^2+7k+5$ et tu devrais arriver à :

$2k^2+7k+5=(2k+5)(k+1)$

N'oublie pas que tu as un 7 qui multiplie l'expression, donc l'expression factorisée est,

$$\begin{gathered} 7(2k^2+7k+5)=7(2k+5)(k+1) \\ 14{(k+1)}^2+21(k+1)=7(2k+5)(k+1) \end{gathered}$$

Finicky a reçu 7 oranges et 4 poires tandis qu'Indodo a reçu 3 oranges et 11 poires. Exprime la somme de leurs fruits sous la forme d'une expression factorisée.

Solution :

Soit les oranges x et les poires y. Ainsi, les fruits reçus par Finicky peuvent être exprimés par ,

$7x+4y$

tandis que les fruits reçus par Indodo peuvent être exprimés par ,

$3x+11y$

La somme des fruits de Finicky et d'Indodo serait :

$$\begin{gathered} (7x+4y)+(3x+11y)=7x+3x+4y+11y \\ 7x+3x+4y+11y=10x+15y \end{gathered}$$

Maintenant que tu as la somme, factorise l'expression.

$10x+15y=\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{)}$