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Sauter à un chapitre clé
Par exemple, disons qu'un ingénieur aéronautique a besoin d'une équation pour démontrer l'élévation d'un avion afin de pouvoir étudier la précision de son vol. Ou bien un analyste de données veut déterminer une formule qui prédit les dépenses futures et les revenus rentables d'une entreprise. Ou encore, tu veux trouver une recette spéciale qui calcule tes économies sur l'année à partir de tout l'argent de poche que tu as gardé.
Et si je te disais que tout cela est possible ? Dans cet article, tu apprendras les différentes façons d'écrire des équations.
Définition des équations
Nous allons commencer notre discussion en définissant le sujet qui nous occupe.
Écrire des équ ations consiste à rédiger un énoncé mathématique qui contient des signes d'égalité.
Pour ce faire, nous pouvons utiliser des symboles mathématiques pour exprimer des problèmes de manière courte et concise, de sorte que les solutions puissent être trouvées à l'aide de processus mathématiques.
Considère que tu as une phrase qui dit "un nombre \(x\) multiplié par 3 est égal à 120".
Trouver ce nombre représenté par \(x\) peut être une tâche assez difficile à réaliser mentalement ou par essais et erreurs. Cependant, lorsque l'on modélise cette phrase sous forme d'équation, elle devient beaucoup plus simple à résoudre.
Cette phrase peut être représentée par
\[3x=120\]
Pour trouver une solution, nous devons isoler le x en divisant chaque côté par 3, ce qui nous donne 40. Par conséquent, le nombre x ici est 40.
Écrire des équations à l'aide de symboles
L'écriture d'équations à l'aide de symboles consiste à représenter des énoncés complexes à l'aide de symboles afin de pouvoir les aborder avec une approche plus mathématique.
Dans cette section, lorsqu'on te présente des problèmes sous forme de mots, tu dois indiquer clairement par quoi tu veux représenter chaque variable. Lorsque tu rencontres des problèmes de ce type, considère les conseils suivants pour les résoudre.
Familiarise-toi avec le problème et comprends-le.
Transforme le problème en équation en identifiant les variables et en indiquant ce qu'elles représentent.
Prenons un exemple qui illustre cette technique.
Si Kelvin a trois pommes et que son frère Mike, sur le chemin de l'école, lui en achète cinq autres, combien de pommes Kelvin a-t-il en tout ?
Solution
En examinant attentivement le problème, nous nous rendons compte que la variable ici est la quantité inconnue que nous sommes censés trouver. Nous pouvons la représenter par \(x\). Si Kelvin en a déjà 3 et que son frère en ajoute 5, cela fait donc 3 + 5. L'équation peut alors être modélisée comme suit
\[3+5=x\]
Nous pouvons résoudre cette équation pour savoir combien de pommes Kelvin doit avoir maintenant.
\[8=x\]
Cela signifie également ;
\[x=8\]
Par conséquent, d'après le problème, Kelvin devrait avoir 8 pommes maintenant.
Voici un autre exemple pour toi !
Le droit d'entrée dans un sanctuaire de singes a coûté 162 dollars pour 12 enfants et 3 adultes. Dans le même sanctuaire, 8 enfants et 3 adultes ont également dépensé 122 $ en billets. Combien chaque enfant et chaque adulte a-t-il dû payer ?
Solution
Pour comprendre le problème, nous allons devoir les décomposer suffisamment.
12 enfants et 3 adultes dépensent 162 $.
8 enfants et 3 adultes dépensent 122 $.
Identifions maintenant les variables de l'équation.
Soit \(x\) le coût des billets pour les enfants.
Soit \(y\) le coût des billets pour les adultes.
Le coût du billet pour 12 enfants + 3 adultes est de 162 $.
Le coût des billets pour 8 enfants + 3 adultes est de 122 $.
\[12x+3y=162\]
\N- [8x+3y=122\N]
Voyons maintenant si nous pouvons résoudre ces problèmes mathématiquement. C'est ce qu'on appelle des systèmes d'équations. Ils possèdent deux variables (dans ce cas, \(x) et \(y)) et nécessitent deux équations pour être résolus.
Pour trouver les valeurs des variables dans une équation comme celle-ci, il faut procéder soit par substitution, soit par élimination. Utilisons ici la méthode d'élimination.
La méthode d'élimination consiste à ajouter ou à soustraire les équations de façon à éliminer une variable de l'équation. De cette façon, la variable restante peut être trouvée algébriquement.
Soustrais maintenant la deuxième équation de la première.
\[12x+3y-(8x+3y)=162-122\]
Cela donne
\[4x=40\]
Ensuite, simplifie l'équation obtenue.
\[x=10\]
Nous pouvons maintenant substituer la valeur de \(x\) dans n'importe laquelle des équations pour trouver \(y\). Pour cet exemple, nous allons la substituer dans la deuxième équation.
\[8(10)+3y=122\implies 80+3y=122\]
Alors
\N- 3y=122-80\Nimplique 3y=42\N]
et enfin
\[y=14\]
Tu te souviens que nous avons laissé \(x\) représenter les billets pour enfants et \(y\) représenter les billets pour adultes ? Cela signifie que le prix d'entrée coûte 10 $ pour les enfants et 14 $ pour les adultes.
Écrire des équations sous forme standard
Dans ce segment, tu seras initié à l'écriture d'équations sous forme standard. Avant de commencer, définissons ce que signifie une équation sous forme standard.
La forme standard est une façon de représenter des concepts mathématiques tels que des équations selon des règles spécifiques, de sorte qu'ils apparaissent d'une manière commune.
Les différentes formes d'équations sont représentées différemment dans la forme standard et nous allons en discuter ci-dessous.
Équations linéaires sous forme standard
Les équations linéaires sont telles qu'elles apparaissent sous la forme d'une ligne droite lorsqu'elles sont représentées sur un graphique. Dans sa définition, il est mentionné que l'exposant le plus élevé de la variable n'est pas supérieur à 1.
Par conséquent, la forme standard des équations linéaires à une variable est représentée comme suit,
\[ax+b=10\]
où \(a\neq 0\) et \(x\) est une variable. Voici un exemple.
\(5x+3=0\)
Leséquations linéaires à deux variables sous forme standard se présentent comme suit ;
\N-[ax+by+c=0\N]
où \(a,b\neq 0\), avec \(x\) et \(y\) étant des variables. Voici un exemple de cette nature d'équations linéaires.
\N(2x+6y-3=0\N)
Équations quadratiques sous forme standard
Les équations quadratiques sont telles qu'elles sont des équations de degré 2. Cela signifie que l'exposant le plus élevé de leur variable est 2. Il existe un grand nombre de formes sous lesquelles les équations quadratiques sont représentées. Cependant, la forme standard des équations quadratiques est la suivante,
\[ax^2+bx+c=0\]
où \(a\neq 0\) et
\N(a\N) = coefficient de \N(x^2\N) ;
\N(b\N) = coefficient de \N(x\N) ;
\N(c\N)= constante
avec \(a\), \(b\), et \(c\) étant des nombres réels. Voici un exemple.
\N-(2x^2-7x+8=0\N)
Écrire des équations basées sur un tableau
Étant donné un tableau, nous sommes capables d'utiliser ses informations pour écrire une équation même sans tracer le graphique. En supposant que nous ayons une équation linéaire, cela signifie qu'il y a une augmentation linéaire des valeurs de \(x\N) projetées sur \N(y\N). C'est pourquoi elles sont des lignes droites lorsqu'elles sont représentées sur un graphique.
Pour trouver des équations linéaires, par exemple à partir d'un tableau, tu dois trouver la pente de la ligne avec sa formule,
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Nous pouvons alors trouver l'ordonnée à l'origine de façon algébrique. Prenons un exemple.
Étant donné le tableau ci-dessous, où les valeurs \(x\) sont mises en correspondance avec les valeurs \(y\) respectivement, écris l'équation sous la forme de l'ordonnée à l'origine associée à l'information.
| \(x\) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| \(y\) | 14 | 20 | 26 | 32 | 38 |
Solution
Identifions ce qu'est réellement la forme de l'ordonnée à la pente d'une droite avant de trouver la solution.
\N- [y=mx+b\N]
où
\N(y\N) = valeurs de \N(y\N) dans le plan de coordonnées
\N(m\N) = pente de la droite
\N(x) = \N(x) valeurs dans le plan de coordonnées
\N(b\N) = \N(y\N)-intercept
Tout d'abord, nous allons trouver la pente de la droite à partir des informations. La formule de la pente de la droite est la suivante ;
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Cela signifie que si nous prenons une valeur sur l'axe des x, nous prendrons une autre valeur correspondante sur l'axe des y.
Si \N(y_2=20\N), alors \N(x_2=200\N) ;
si \N(y_1=14\N), alors \N(x_1=100\N).
Alors ,
\[m=\frac{20-14}{200-100}=\frac{6}{100}=0.06\]
Puisque nous avons trouvé la pente de la ligne, nous pouvons maintenant substituer les valeurs correspondantes de \(x\N) et \N(y\N) dans l'équation incluant la pente afin de trouver l'ordonnée à l'origine de \N(y\N). Utilisons les premières valeurs où ;
\[x=100\]
\[y=14\]
Ensuite, par la forme de l'ordonnée à l'origine de la pente,
\[14=0.06(100)+b\implies 14=6+b\]
En résolvant pour \N(b\N), on obtient
\[b=14-6=8\]
Ce que nous pouvons faire maintenant, c'est substituer l'ordonnée à l'origine et la pente que nous avons trouvées dans l'équation sous forme d'ordonnée à l'origine. Par conséquent, l'équation de la droite ici est,
\[y=0.06x+8]
Écrire l'équation d'une ligne
L'écriture de l'équation d'une droite est généralement associée à la recherche de l'équation d'une droite tracée sur un graphique. Par cela, nous allons apprendre à écrire des équations linéaires à partir de deux points donnés.
En trouvant la pente de la ligne.
Puis en trouvant l'ordonnée à l'origine.
La forme pente-intercept
La pente d'une ligne projette explicitement le changement de la coordonnée \(y\) d'une ligne par rapport à la coordonnée \(x\). Pour écrire une équation linéaire sous forme standard, nous isolons \(y\). Le coefficient de \(x\) devient la pente, et la constante est alors l'ordonnée à l'origine. La forme étoilée de la pente d'une ligne est donnée comme suit,
\N[y=mx+b\N]
où
\N(y\N) = valeurs de \N(y\N) dans le plan de coordonnées
\N(m\N) = pente de la ligne
\N(x) = \N(x) valeurs dans le plan de coordonnées
\N(b) = \N(y) - l'ordonnée à l'origine
Tu trouveras ci-dessous un exemple d'équation sous cette forme.
\(y=3x+2)
Trouver la pente d'une ligne
La pente d'une ligne est également connue sous le nom de gradient. Elle indique à quel point la ligne est inclinée. Une ligne peut être absolument horizontale et parallèle à l'axe des x si sa pente est de 0. Cependant, si elle est parallèle à l'axe des y, elle est considérée comme indéfinie.
Si l'on nous donne deux coordonnées, \N(2, 8)\Net \N(4, 3)\N, la pente de la ligne est définie comme suit
\N- [\Nfrac{3-8}{4-2}.\N]
Cela signifie que nous ne faisons que soustraire la composante \N(y\N) du deuxième point de la composante \N(y\N) du premier point, tandis que nous soustrayons la composante \N(x\N) du deuxième point de la composante \N(x\N) du premier point. Ceci est modélisé dans une formule comme suit ;
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\]
Dans ce cas, tu auras
\[m=\frac{3-8}{4-2}.\]
Dans notre exemple, notre pente sera \N(-2,5).
Trouver l'ordonnée à l'origine
Étant donné les valeurs de \(x-\) et de \(y-\) et la détermination de la pente, nous disposons maintenant de suffisamment d'informations pour les substituer à l'équation standard afin de trouver l'ordonnée à l'origine de \(y-\). Si un point est inséré dans l'équation, il devrait pouvoir nous donner les inconnues. Ici, nous utiliserons le premier point ; \N((2, 8)\N).
\N- [y=mx+b\Nimplique que 8=-2,5(2)+b\Nimplique que 8=-5+b\N]
La résolution de \N(b\N) en faisant de \N(b\N) le sujet donne,
\[b=8+5=13\]
Cela signifie que l'équation de cette ligne est la suivante
\N- [y=3.5x+13\N]
Voici un autre exemple concret.
Étant donné que les points sont \N((4, 3)\N) et \N((6, -2)\N). Trouve l'équation de la droite.
Solution
Étape 1 : Trouve la pente de la ligne.
\[m=\frac{-2-3}{6-4}=-2.5\]
Étape 2 : Trouver l'ordonnée à l'origine.
Prends le premier point et remplace-le par la forme standard des équations linéaires
\[3=-2.5(4)+b\implies 3=-10+b\]
Comme précédemment, la résolution de \(b\) nous donne
\[b=3+10=13\]
Par conséquent, l'équation linéaire est la suivante
\N- [y=-2.5x+13\N]
Écrire l'équation d'un cercle
Dans cette dernière section, nous allons nous intéresser à l'écriture de l'équation d'un cercle. Un cercle est constitué d'une courbe continue reliée bout à bout. Il n'a pas de côtés ou d'angles droits. Un cercle fait partie de la catégorie des formes bidimensionnelles. Cela signifie que nous pouvons construire sa figure sur un plan de coordonnées cartésiennes comprenant les axes \(x\) et \(y-\). Avant de commencer, définissons ce qu'est un cercle.
Un cercle est un type de section conique hautement symétrique.
Uncercle est défini par l'ensemble de tous les points qui sont équidistants d'un point donné, appelé centre.
Deux éléments principaux composent un cercle, à savoir le centre et le rayon. Le diagramme ci-dessous illustre ces éléments.
Fig. 1. Représentation graphique d'un cercle.
Forme standard d'un cercle
La forme standard d'un cercle de rayon \(r\N) et de centre \N((h, k)\N) est définie par l'équation suivante
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Dans certains cas, nous pouvons avoir besoin de trouver le centre d'un cercle donné. Pour ce faire, nous pouvons utiliser la formule du point milieu. Cette formule est illustrée ci-dessous.
La formule du point médian
Disons que nous disposons de deux coordonnées des extrémités du diamètre d'un cercle donné. La formule du point médian pour trouver le centre \((h, k)\) d'un cercle est donnée par la formule suivante
\N[(h, k)=(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}).\N].
En revanche, si nous devons trouver le rayon d'un cercle, nous pouvons utiliser la formule de la distance. Cette formule est illustrée ci-dessous.
La formule de la distance
Disons que nous disposons de deux coordonnées des extrémités du diamètre d'un cercle donné. La formule de la distance pour trouver le rayon \(r\) d'un cercle est donnée par la formule suivante
\[r=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}\]
Voici un exemple d'équation d'un cercle.
Trouve l'équation d'un cercle si les extrémités de l'un de ses diamètres sont à \((1, -2)\) et \((3, 4)\).
Solution
Soit \N ((x_1, y_1)=(1, -2)\N) et \N((x_2, y_2)=(3, 4)\N).
Nous commençons par évaluer le centre du cercle à l'aide de la formule du point médian.
\[(h, k)=\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+4}{2}\right)=\left(\frac{4}{2}, \frac{2}{2}\right)\]
En résolvant ce problème, on obtient
\N[(h, k)=(2, 1)\N]
Nous devons maintenant trouver le rayon en utilisant la formule de la distance.
\[r=\sqrt{(4-(-2))^2+(3-1)^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\]
En simplifiant, on obtient
\[r=2\sqrt{10}\]
Donc, \ (r^2=40\). Maintenant, en introduisant ces valeurs dans la forme standard d'un cercle, nous obtenons
\[(x-2)^2+(y-1)^2=40\]
Écrire des équations - Points clés
- Écrire des équations consiste à rédiger un énoncé mathématique qui contient des signes d'égalité.
- La forme standard est une façon de représenter des concepts mathématiques tels que des équations selon des règles spécifiques, de sorte qu'ils apparaissent d'une manière commune.
- La forme standard des équations linéaires à une variable est \(ax+b=0\).
- La forme standard des équations linéaires à deux variables est \(ax+by+c=0\).
- La forme standard d'une équation quadratique est \N(ax^2+bx+c=0\N).
- La forme standard de l'ordonnée à l'origine de la pente d'une ligne est \(y=mx+b\).
- Pour trouver l'équation d'une droite à partir d'un graphique, il faut d'abord trouver la pente de la droite, puis l'ordonnée à l'origine.
- La forme standard d'un cercle est \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).
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