Somme des Nombres Naturels

Séries de termes positifs

Tu as maintenant appris que les séries sont des sommes, finies ou infinies, de termes de séquences. Les séries que tu vas apprendre ici sont des séries de termes positifs, c'est-à-dire la somme des termes de séquences formées exclusivement de termes positifs,

\[ \sum_{r}^{}a_r = a_1+a_2+a_3+..., \]

où \(a_r\) est positif pour tout \(r\).

Tout au long de cet article, nous te fournirons des outils pour trouver la valeur exacte des séries de termes positifs.

Propriétés de l'addition de nombreux nombres positifs

Une série de termes positifs est un terme mathématique élégant pour désigner la somme d'une séquence de certains ou de nombreux nombres positifs.

Essaie d'additionner ce qui suit, \[ 1+1+1+1+1+1+1+1. \]

Facile, n'est-ce pas ? Qu'en est-il de ceci ?

\[ \sum_{r=1}^{8}1 .\]

C'est la même chose ! La seule différence est qu'elle s'écrit avec la notation sigma.

\[ \sum_{r=1}^{8}1=1+1+1+1+1+1+1=8 .\]

Tu peux généraliser un peu plus cette somme en faisant ,

\[ \sum_{r=1}^{n}1=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}}=n. \]

C'est la première somme que nous voulons que tu mémorises. Elle te sera très utile pour résoudre d'autres sommes. Appliquons-la à un exemple.

La dernière méthode de résolution consiste à appliquer une règle que tu connais peut-être déjà :

La règle du multiple constant. \(\sum_{r=1}^{n}kf(r)=k\sum_{r=1}^{n}f(r) \), où \(k\) est une constante et \(f\) est une fonction de \(r\).

Dans le cas de l'exemple, après avoir transformé \N(3\N) en \N(3\Nfois 1\N), \N(k=3\N) et \N(f(r)=1\N).

Pour rappeler les autres règles de la notation sigma, retourne à notre article sur les séries.

Somme des 100 premiers nombres naturels

Abordons maintenant cette somme très classique

\N[ 1+2+3+4+5+\cdots+99+100\N,. \N]

À combien penses-tu que cette somme s'élève ? Comment vas-tu l'aborder ? Tout d'abord, tu peux écrire cette somme avec la notation sigma

\N[ \Nsum_{r=1}^{100}r\N,. \N]

Les règles de la notation sigma fonctionneront-elles ici ? Il semble qu'elles ne nous serviront pas, et elles ne le font pas.

Prochaine tentative : si tu peux trouver une expression algébrique pour la séquence

\N[ 1,2,3,4,5,\Ncdots,99,100,\N]

tu pourras peut-être la résoudre plus tard.

Examinons trois approches, toutes très intéressantes, de ce défi.

Approche historique

Cette approche ne consiste pas à trouver une expression algébrique pour la suite des 100 premiers nombres naturels, mais un modèle qui y est présent.

L'histoire raconte qu'un jour, un professeur de mathématiques demande aux élèves d'une classe de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à 100. Les élèves ont pris leurs ardoises et ont commencé à travailler sur le défi.

Peu de temps après, un élève se lève et dépose son ardoise sur le bureau de l'enseignant. Au bout d'un moment, le bureau de l'enseignant est rempli d'ardoises avec les résolutions des élèves.

C'était maintenant au tour du professeur de vérifier la solution de chaque élève. Mauvaise réponse après mauvaise réponse, il arriva à la dernière ardoise, celle du premier élève à avoir résolu le défi en un rien de temps. Elle était correcte, et c'était la réponse du jeune Carl Friedrich Gauss, qui allait devenir un grand mathématicien.

Voici ce qu'il a pensé. Gauss a observé qu'en ajoutant 1 à 100, on obtenait 101, et que 2 à 99 donnait également 101, de même que 3 à 98. Il a ensuite remarqué qu'il y avait 50 paires de nombres entre 1 et 100, inclus, qui s'additionnaient pour donner 101.

\[ \underset{1+100=101}{\underbrace{1,\overset{2+99=101}{\overbrace{2,\underset{3+98=101}{\underbrace{3,\cdots,\overset{49+52=101}{\overbrace{49,\underset{50+51=101}{\underbrace{50,51}},52}},\cdots,98}},99}},100}} \]

Enfin, il a multiplié la somme \(101\) par les paires \(50\), ce qui a donné \(5050\), qui était la réponse au défi.

Approche classique

Il s'agit de l'approche habituelle adoptée à l'école, qui consiste à remarquer que la séquence

\N[ 1,2,3,4,\Ncdots, 99,100,\N]

est une suite arithmétique de différence commune 1.

En rappelant que le terme général d'une suite arithmétique est

\N[ a_n=a_1+(n-1)d, \N]

où \N(a_n\N) est le terme \N(n^{\text{th}}) de la suite, \N(a_1\N) est le 1er terme et \N(d\N) est la différence commune, alors pour la suite précédente tu auras \N( a_1=1, \N, n=100, \N, d=1\N) et \N(a_n=1).

\N[ a_n=1+(n-1)\Nfois1=n. \N]

Maintenant, il est temps de se rappeler que la somme des premiers termes d'une suite arithmétique est la suivante

\N- S_n={n \Nsur 2}(a_1+a_n)={n \Nsur 2}(1+n). \N]

Dans la somme que tu veux calculer, \N(n=100\N) et \N(a_n=a_{100}=100\N). Ainsi, en entrant ceci dans la dernière formule, tu obtiens

\[ S_{100}={100 \Nsur 2}(1+100)=50\Nfois 101=5050. \N]

Peux-tu voir comment cette méthode entièrement algébrique coïncide avec le raisonnement du jeune Carl Gauss ? Tu as même fini par obtenir les mêmes nombres - \(50\) qui est la paire de nombres qui additionne \(101\). Intéressant, non ?

Approche originale

Représentons les nombres par des points. Ainsi, le nombre 1 sera représenté par un point -, le nombre 2 par deux points - -, et ainsi de suite. Dans cette optique, nous te présentons les nombres triangulaires, figure 1.

Fig. 1 - Les nombres triangulaires.

Les nombres triangulaires \(1, 3, 6, 10, ...\), forment une séquence que nous désignerons par \((t_n)\). Cela signifie que \N(t_1=1,t_2=3,t_3=6\N), et ainsi de suite.

Maintenant, remarque que chaque nombre triangulaire est égal à la somme des premiers \(n\N) nombres naturels. Par exemple,

\N[ \N- t_1&=1,\N- t_2&=3=1+2, \N- t_3&=6=1+2+3, \N- t_4&=10=1+2+3+4. \Nend{align} \]

Cela signifie donc que \[t_n=1+2+3+\cdots+n-1+n,\]

en particulier, pour \N(n=100\N), \N[t_{100}=1+2+3+\cdots+99+100\N, . \N].

Donc, si tu peux trouver une expression pour le terme général \(t_n\), tu obtiendras également une formule pour la somme des premiers \(n\) nombres naturels et, en particulier, la somme des premiers \(100\) nombres naturels. Et pour y parvenir, explorons quelques relations intéressantes entre deux nombres triangulaires consécutifs.

La différence entre deux nombres triangulaires consécutifs est n

Ici, tu vas explorer le modèle qui te permet d'obtenir le nombre triangulaire suivant à partir du précédent.

En expérimentant avec les nombres triangulaires ci-dessus, tu as,

• pour \N(n=2\N), \N( t_2=3\N) qui est le même que \N(t_1+2\N) ;

• pour \N( n=3\N), \N( t_3=6\N) qui est la même chose que \N(t_2+3\N) ;

• pour \( n=4\), \( t_4=10\) qui est le même que \(t_3+4\).

Cela t'amène à la conclusion que \N[t_n=t_{n-1}+n,\N] ce qui, en réarrangeant, donne \N[t_n-t_{n-1}=n,\N].

pour tout nombre naturel \(n\).

La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est ⁿ²

Transformons maintenant les triangles en carrés. Nous allons transformer les nombres triangulaires en nombres carrés.

Pour simplifier, regardons la représentation graphique du nombre triangulaire 6, \(t_3\), et ajoutons des points à cette représentation jusqu'à ce que nous obtenions un carré, figure 2.

Figure 2 - Deux nombres triangulaires consécutifs forment un nombre carré

Remarque que pour obtenir un carré, nous avons ajouté au nombre triangulaire 6, \(t_3\), le nombre triangulaire 3, \(t_2\). Si tu essaies la même chose avec le nombre triangulaire 10, tu verras que pour obtenir un carré, tu ajoutes à 10, \(t_4\) le nombre triangulaire 6, \(t_3\). Cela signifie que la somme de deux nombres triangulaires consécutifs est égale à un nombre carré, c'est-à-dire

\N[ t_n+t_{n-1}=n^2\N, . \N]

La somme de 1 à 100

Appliquons maintenant un petit calcul algébrique.

Tu sais que \(t_n-t_{n-1}=n\N), qu'en réorganisant tu as aussi

\N-[t_{n-1}=t_n-n\N, .\N]

Et tu vas appliquer cela à la formule précédente,

\N[ \N- début{align} t_n+t_{n-1}&=n^2 \N- t_n+(t_n-n)&=n^2 \N- t_n+t_n&=n^2 +n \N- 2t_n&=n(n+1) \N- t_n&={n \N-sur 2}(1+n)\N, . \Nend{align} \]

Maintenant, en remplaçant \N(n\N) par \N(100\N), tu obtiens

\N[ t_{100}={100 \Nsur 2}(1+100)=50\Nfois 101=5050\N, . \N]

Somme des n premiers nombres naturels : Formule

Tu dois maintenant avoir compris que la formule qui te permet de calculer la somme des n premiers entiers naturels est la suivante

\N[ \Nsum_{r=1}^{n}r={n \Nsur 2}(n+1)\N, . \N]

Et c'est la deuxième formule que nous voulons que tu mémorises parce qu'elle t'aidera à résoudre d'autres séries. C'est ce que nous allons voir dans les prochains exemples.

Dans le deuxième exemple, tu as vu une somme qui ne commence pas à \(1\), mais à \(15\). Lorsque tu veux connaître la somme d'une liste de nombres naturels qui commence à un nombre différent de \(1,\N), disons \N(k\N), ce que tu dois faire est de considérer cette même liste comme si elle commençait à \N(1\N) et de soustraire l'excédent, de \N(1\N) à \N(k-1\N). Nous résumons cela dans la règle suivante,

Règle. \(\sum_{r=k}^{n}f(r)=\sum_{r=1}^{n}f(r)-\sum_{r=1}^{k-1}f(r)\), où \(k\) et \(n\) sont des nombres naturels, \(f\) est une fonction de \(r).

Preuve de la somme des n premiers nombres naturels

Plus tôt, tu as vu trois approches de la somme des premiers \(100\) nombres naturels. Dans deux de ces approches, tu as vu la formule de la somme des premiers (n) entiers naturels. Ici, nous allons te présenter une démonstration formelle de cette formule.

Pour simplifier la notation, nous appellerons la somme de \N(1) à \N(n), \N(S_n\N), ce qui signifie \N(S_n= \Nsum_{r=1}^{n}r\N).

Nous commençons par écrire la somme des premiers nombres naturels de \N(1) à \N(n) de deux façons,

\[ \begin{align} S_n&=1+2+\cdots+n-1+n \\N- S_n&=n+n-1+\cdots+2+1 \Nend{align} \]

Ensuite, nous additionnons ces deux formules,

\[ \begin{align} S_n+S_n&=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n-1+2)+(n+1) \\ 2S_n&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) \end{align} \]

Maintenant, nous devons compter combien de \((n+1)\) nous avons, et il y en a \(n\),

\N- 2S_n&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1)=n(n+1) \N- S_n&={n \n sur 2}(n+1).\N-End{align} \]

Somme des n premiers nombres naturels pairs

Tu arrives maintenant à la section où tu vas apprendre la troisième formule importante que tu dois mémoriser, et elle concerne la somme des premiers \(n\N) nombres naturels pairs. Nous avons l'avantage d'avoir déjà la formule de la somme des premiers \(n\N) entiers naturels, car nous en aurons besoin ici.

La somme que tu veux déterminer est donc

\N- 2+4+6+8+10+\Ncdots\N, ,\N]

mais pour les premiers nombres pairs.

La suite des nombres pairs a pour expression \N((2n)\N), où \N(n\N) est un nombre naturel. Tu peux donc compléter la somme des premiers \(n\N) nombres pairs comme suit

\[ 2+4+6+8+10+\cdots+2n\text{ ou }sum_{r=1}^{n}2r\]

Maintenant, en appliquant la règle du multiple constant de la notation sigma, tu as

\[ \sum_{r=1}^{n}2r=2\sum_{r=1}^{n}r=2\N fois {n sur 2}(n+1)=n(n+1)\N, .\N].

Voyons quelques exemples d'application de cette formule.

Somme des n premiers nombres naturels impairs

Tu arrives maintenant à la section où tu vas apprendre la quatrième formule importante que tu dois mémoriser, et elle concerne la somme des premiers \(n\) nombres naturels impairs. Cette formule se déduit facilement de l'application de sommes connues et de quelques autres règles.

Sachant que \N((2n-1)\N) est la suite des nombres impairs, où \N(2n-1\N) est le \N(n^{\text{th}} \Nnombre impair), alors

\N[ 1+3+5+7+9+\cdots+2n-1=\sum_{r=1}^{n}(2r-1) .\N]

En appliquant la règle de la différence de la notation sigma, tu as\[ \sum_{r=1}^{n}(2r-1)=\sum_{r=1}^{n}2r-\sum_{r=1}^{n}1.\].

Maintenant, applique la formule de la somme des premiers nombres pairs et de la somme des nombres 1.

\N- [\N- Début{alignement} \sum_{r=1}^{n}2r-\sum_{r=1}^{n}1&=n(n+1)-n \\\N- &=n((n+1)-1) \N&=n(n)=n^2. \Nend{align} \]

Voyons quelques exemples d'application de cette formule.

Exemples de sommes de nombres naturels

Maintenant que tu as tous les outils que nous voulions que tu apprennes ici, passons à d'autres exemples d'application de ce sujet.

Le premier exemple sert d'échauffement.

Le deuxième exemple requiert tout ton esprit sur ce sujet.