Résolution d'équations linéaires

Supposons que nous commandions une part de pizza qui coûte 25 livres sterling, et des beignets qui coûtent également 20 livres sterling pour un. Si tout l'argent que nous avons budgétisé est de 1 000 £, quelle quantité de chaque produit pouvons-nous commander ?

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    Ce système peut être modélisé mathématiquement sous la forme d'une équation linéaire comme suit

    25x + 20y = 1000,

    où x et y peuvent être trouvés en considérantx = number of pizza slices et y = number of donuts.

    Dans cet article, nous allons apprendre à résoudre des équations linéaires, à utiliser différentes méthodes pour les résoudre et à vérifier leurs solutions.

    Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?

    Une équation linéaire, également appelée équation à un degré, est une équation dans laquelle la puissance la plus élevée de la variable est toujours 1.

    Les équations linéaires à une variable se présentent sous la forme standard suivante

    ax + b = 0,

    x est une variable, a est un coefficient et b est une constante.

    Les équations linéaires à deux variables se présentent sous la forme standard suivante

    ax + by = c,

    x et y sont des variables, c est une constante, et a et b sont des coefficients.

    Elles sont linéaires parce que leurs deux variables ont la puissance 1, et le graphique de ces équations est toujours une ligne droite.

    Résoudre des équations linéaires consiste à trouver les valeurs des variables de façon à ce que l'équation soit satisfaite lorsqu'on les remplace par d'autres. La règle fondamentale requise pour résoudre ces équations est la "règle d'or". Elle stipule que tu fais à un côté de l'équation ce que tu fais à l'autre côté de l'équation.

    Equations linéaires à une variable

    Les équations linéaires à une variable, comme nous l'avons vu plus haut dans cet article, sont de la forme

    ax + b = 0,

    x est une variable, a est un coefficient et b est une constante.

    Ces équations se résolvent facilement en regroupant d'abord les termes similaires. Cela signifie que les termes avec la variable seront envoyés d'un côté de l'équation, tandis que les constantes iront de l'autre côté. On peut ensuite les faire fonctionner pour trouver la valeur de la variable.

    Les étapes associées à la résolution d'équations linéaires à une variable sont les suivantes :

    1. Simplifie chaque côté de l'équation si nécessaire ;

    2. Isoler la variable ;

    3. Trouve algébriquement la valeur de la variable ;

    4. Vérifie ta solution en substituant la valeur dans l'équation.

    Prenons l'exemple suivant.

    Résous l'équation3x + 2 = 0.

    Solution

    3x + 2 = 0

    Chaque côté de l'équation est simplifié, l'étape 1 est atteinte.

    Étape 2: regroupe les termes semblables en soustrayant 2 de chaque côté de l'équation.

    3x + 2 - 2 = 0 -2

    3x = -2

    Étape 3: Divise chaque côté par 3

    3x3 = -23

    x = -23

    Étape 4: Nous pouvons maintenant évaluer cette équation pour voir si elle est vraie. L'équation signifie que tout ce qui se trouve du côté gauche doit être égal à ce qui se trouve du côté droit. Par conséquent, tout ce qui se trouve du côté gauche de l'équation doit être égal à 0. Nous allons maintenant substituer la solution à l'équation.

    3x+2 = 03-23 + 2 = 0

    Nous allons maintenant diviser 3 à l'extérieur de la parenthèse par 3 comme dénominateur, et nous aurons 1 chacun.

    -2+2 = 0

    0 = 0

    Nous voyons ici que la solution que nous avons est vraie.

    Résous l'équation x + 7 = 18.

    Solution

    Chaque côté de l'équation est simplifié, l'étape 1 est atteinte.

    Étape 2 et 3: regroupe les termes semblables en soustrayant 7 de chaque côté de l'équation.

    x + 7 - 7 = 18 - 7

    x = 11

    Étape 4: Nous pouvons maintenant évaluer cette équation pour voir si elle est vraie. L'équation signifie que tout ce qui se trouve du côté gauche doit être égal à ce qui se trouve du côté droit. Par conséquent, si nous ajoutons x à 7, nous devrions obtenir 18

    x + 7 = 18

    x = 11

    11 + 7 = 18

    Cela signifie que notre équation est vraie.

    Équations linéaires à deux variables

    La résolution d'équations linéaires à deux variables ne peut plus te donner de valeurs absolues à moins qu'une autre équation ne soit fournie qui possède les mêmes variables que la première équation. Par exemple, si l'on nous donne l'équation suivante

    x + y = 5,

    alors, si x = 3, y = 2, si x = 4, y = 1, et ainsi de suite.

    La seule façon d'avoir des valeurs absolues est d'avoir une autre équation avec les mêmes variables.

    L'une des façons de résoudre ce type d'équation est la méthode de substitution. Tu fais d'une variable le sujet d'une des équations et tu substitues cette valeur dans l'autre équation pour n'avoir qu'une seule variable à trouver. Nous pouvons prendre l'exemple ci-dessous.

    Résous les équations x et y à partir des équations 2x + 5y = 20 et 3x + 5y = 12.

    Solution

    2x + 5y = 20 3x + 5y = 12

    Faisons de y le sujet de la première équation en soustrayant 2x de chaque côté de l'équation.

    2x - 2x + 5y = 20 - 2x

    5y = 20 - 2x5y5= 205- 2x5y = 4 - 2x5

    Nous allons maintenant substituer cette valeur de y dans la deuxième équation

    3x + 5y = 12

    3x + 5(4-2x5) = 123x + 20 - 2x = 12x = 12 - 20x = -8

    Nous allons maintenant substituer cette valeur de x dans n'importe laquelle des équations pour trouver y. Nous allons utiliser la première.

    2x + 5y = 20

    2(-8) + 5y = 20-16 + 5y = 20

    Ajoute 16 à chaque côté de l'équation pour que 5y soit seul de ce côté de l'équation.

    16 - 16 + 5y = 20 + 16

    5y = 36

    Divise par 5 pour trouver y

    5y5 = 365

    y = 365

    Résolution d'équations linéaires à deux variables par graphique

    Les équations linéaires à deux variables sont telles que les deux équations restent vraies lorsque nous trouvons une solution pour chaque variable. Lorsque nous voulons résoudre des systèmes d'équations linéaires à l'aide d'un graphique, nous traçons les deux équations sur le même plan de coordonnées. Le point d'intersection des deux lignes est la solution du système. Examinons l'exemple ci-dessous.

    Résous l'équation

    y - 2x = 2-x = -y-1

    Solution

    Comme nous l'avons déjà mentionné, nous voulons tracer les deux équations sur le plan de coordonnées. Nous commencerons par trouver l'ordonnée à l'origine et la pente de chaque ligne. Cela signifie que pour chaque équation, nous la réécrirons sous la forme de l'ordonnée à l'origine de la pente. La forme de l'ordonnée à la pente est donnée par la formule suivante

    y = mx+b

    où m est la pente

    b est l'ordonnée à l'origine

    x est la valeur x sur le plan de coordonnées

    y est la valeur de l'ordonnée sur le plan de coordonnées

    y-2x = 2 [Équation 1]

    y = 2x+2

    Cela signifie que ;

    m=2

    y-intercept=2

    -x=-y-1 [Équation 2]

    y = x-1

    Cela signifie que ;

    m=1

    y-intercept = -1

    Les deux équations sous la forme de l'ordonnée à l'origine sont données par ;

    y = 2x+2y = x-1

    Trouvons la valeur yen supposant deux valeurs sur l'axe des x. Rappelle que deux points suffisent pour obtenir une droite. Étant donné deux valeurs sur l'axe des x, nous utiliserons 1 et 2, quelle est la valeur de y lorsque x = 1 ? Et quelle est la valeur de y lorsque x = 2 ?

    La solution à ces deux questions devrait nous donner les droites des deux équations.

    Commençons par l'équation 1,

    y = 2x+2.

    Substitue 1 dans l'équation en supposant que x = 1,

    y = 2(1) +2

    y = 4

    Quand x=1, y=4.

    Substitue 2 à l'équation en supposant que x = 2,

    y = 2(2) +2

    y = 6

    Lorsque x=2, y=6.

    Nous avons maintenant deux points pour le tracé de l'équation 1.

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarterGraphique de la droite y = 2x + 2 - StudySmarter Originals

    Nous ferons de même pour l'équation 2,

    y = x-1.

    Substitue 1 dans l'équation en supposant que x = 1,

    y = 1-1

    y = 0

    Quand x=1, y=0.

    Substitue 2 à l'équation en supposant que x = 2,

    y = 2-1

    y = 1

    Lorsque x=2, y=1.

    Traçons ces points et la droite sur le même plan de coordonnées.

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarterGraphique des équations y = 2x + 2 et y = x - 1, StudySmarter Originals

    Le point qu'ils interceptent tous les deux est la solution du problème, (-3, -4).

    Cela signifie que

    x=-3

    y=-4

    Nous pouvons maintenant évaluer cette équation pour voir si elle est vraie. Travailler avec des équations signifie que tout ce qui se trouve du côté gauche doit être égal à ce qui se trouve du côté droit. Comme nous avons deux équations ici, nous allons les vérifier toutes les deux. Commençons par la première.

    y-2x = 2

    Nous allons substituer les valeurs que nous venons de trouver dans l'équation

    -4-2(-3) = 2

    Puisque les deux valeurs négatives se multiplient l'une l'autre, le résultat devient positif.

    -4 + 6 = 2

    2 = 2.

    Nous voyons ici que la première équation est satisfaite. Nous pouvons faire la même chose avec la deuxième équation.

    -x = -y-1

    Substitue les valeurs que nous venons de trouver dans l'équation

    -(-3) = -(-4)-1

    Les valeurs négatives multipliées l'une par l'autre deviendront positives.

    3 = 4-1

    3 = 3

    Nous constatons ici que la solution satisfait aux deux équations, et qu'elle est donc correcte.

    Résolution d'équations linéaires - Principaux enseignements

    • Les équations linéaires sont des équations dont la puissance la plus élevée de la variable est toujours 1.
    • Les équations linéaires à une variable se présentent sous la forme standard ax + b = 0, où x est une variable, a est un coefficient et b est une constante.
    • Les équations linéaires à deux variables se présentent sous la forme standard ax + by = c, où x et y sont des variables, c est une constante, et a et b sont des coefficients.
    • Résoudre des équations linéaires à une variable signifie trouver pour cette variable en en faisant le sujet et en effectuant l'arithmétique nécessaire.
    • Résoudre des équations linéaires à deux variables nécessite qu'une autre équation ait une solution absolue pour les variables.
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    Questions fréquemment posées en Résolution d'équations linéaires
    Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?
    Une équation linéaire est une équation du premier degré, de la forme ax + b = 0, où a et b sont des constantes.
    Comment résoudre une équation linéaire ?
    Pour résoudre une équation linéaire, isolez la variable en déplaçant les termes constants de l'autre côté de l'équation, puis divisez par le coefficient de la variable.
    Pourquoi résout-on des équations linéaires ?
    La résolution d'équations linéaires permet de trouver les valeurs inconnues qui satisfont l'équation, utile pour modéliser et résoudre des problèmes réels.
    Quels sont les types d'équations linéaires ?
    Il y a des équations linéaires à une variable (ax + b = 0) et des équations linéaires à plusieurs variables (ax + by + c = 0).

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