Graphes réciproques

Asymptotes

Pour esquisser ce type de graphique, tu dois tenir compte de ses asymptotes. Une asymptote est une ligne dont la courbe se rapproche beaucoup, mais qu'elle ne touche jamais. Le graphique des fonctions réciproques $y=\frac{a}{x}$ et $y=\frac{a}{x^2}$ ont des asymptotes à $x=0$ et $y=0$.

En général, le domaine des fonctions réciproques sera constitué de tous les nombres réels à l'exception de l'asymptote verticale, et l'étendue sera constituée de tous les nombres réels à l'exception de l'asymptote horizontale.

Types de graphiques réciproques

L'article Graphiques traite du fait que le plan de coordonnées est divisé en quatre quadrants nommés à l'aide de nombres romains (I, II, III et IV) :

Plan de coordonnées, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Les types possibles de graphiques réciproques comprennent :

• Fonctions réciproques du type $y=\frac{a}{x}$

a) Si a> 0 :

Par exemple, si $a=1$, $y=\frac{1}{x}$, la forme du graphique est illustrée ci-dessous. Remarque que le graphique est tracé sur les quadrants I et III du plan de coordonnées.

Fonction réciproque, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Si a <0 :

Par exemple, si $a=-1$, $y=\frac{-1}{x}$, la forme de la fonction réciproque est illustrée ci-dessous. Dans ce cas, le graphique est tracé sur les quadrants II et IV. Ce graphique est le reflet du précédent car le signe négatif de la fonction signifie que toutes les valeurs positives de $x\ne 0$ auront maintenant des valeurs négatives de y, et que toutes les valeurs négatives de x auront maintenant des valeurs positives de y.

Fonction réciproque avec numérateur négatif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

• Fonctions réciproques du type $y=\frac{a}{x^2}$

a) Si a> 0 :

Par exemple, si $a=1$, $y=\frac{1}{x^2}$, la forme du graphique est illustrée ci-dessous. Remarque que le graphique est tracé sur les quadrants I et II du plan de coordonnées. La forme du graphique de $y=\frac{1}{x^2}$ change par rapport au graphique précédent de $y=\frac{1}{x}$, car le fait d'avoir $x^2$ au dénominateur signifie que toutes les valeurs de y seront positives pour toutes les valeurs de $x\ne 0$.

Fonction réciproque au carré, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Si a <0 :

Par exemple, si $a=-1$, $y=\frac{-1}{x^2}$, la forme de la fonction réciproque est illustrée ci-dessous. Dans ce cas, le graphique est tracé sur les quadrants III et IV. Ce graphique est également le reflet du précédent en raison du signe négatif au numérateur de la fonction.

Fonction réciproque au carré avec numérateur négatif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Dessiner des graphiques réciproques

Pour te montrer comment dessiner le graphique d'une fonction réciproque, nous allons utiliser l'exemple suivant $y=\frac{1}{x}$. Pour tracer le graphique de cette fonction, tu dois suivre les étapes suivantes :

Comment trouver l'équation d'un graphique réciproque ?

Si l'on te donne un graphique réciproque, tu peux trouver son équation $y=\frac{a}{x+h}+k$ en suivant les étapes suivantes :

1. Trouve l'asymptote verticale. C'est la valeur que tu dois ajouter ou soustraire à la variable du dénominateur $\left(h\right)$. Elle aura le signe opposé à celui de l'asymptote verticale.

2. Trouve l'asymptote horizontale. Il s'agit de la valeur de $k$qui est ajoutée ou soustraite à la fraction en fonction de son signe.

3. Trouve la valeur de $a$ en substituant à l'équation les x et y correspondant à un point donné de la courbe.

Trouver la réciproque d'une fonction

Nous savons, grâce à l'algèbre, que tu peux calculer la réciproque d'un nombre en échangeant le numérateur et le dénominateur. Il en va de même pour les fonctions. Pour trouver la réciproque d'une fonction $f\left(x\right)$ tu peux trouver l'expression $\frac{1}{f\left(x\right)}$.