Cercle Unité

À quoi sert le cercle unitaire ?

Pour tout point situé sur la circonférence du cercle unitaire, la coordonnée x sera sa valeur cos, et la coordonnée y sera la valeur sin. Par conséquent, le cercle unitaire peut nous aider à trouver les valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos et tan pour certains points. Nous pouvons dessiner le cercle unitaire pour les angles les plus courants afin de trouver leurs valeurs sin et cos.

Le cercle des unités Image : domaine public

Le cercle unité a quatre quadrants : les quatre régions (en haut à droite, en haut à gauche, en bas à droite, en bas à gauche) du cercle. Comme tu peux le voir, chaque quadrant a les mêmes valeurs de sin et de cos, mais avec des signes différents.

Comment dériver le sinus et le cosinus du cercle unitaire ?

Voyons comment ces valeurs sont calculées. Nous savons que lorsque 𝜃 = 0 °, sin𝜃 = 0 et cos𝜃 = 1. Dans notre cercle unitaire, un angle de 0 ressemblerait à une ligne droite horizontale :

Le cercle unitaire pour 𝜃 = 0

Par conséquent, comme sin𝜃 = 0 et cos𝜃 = 1, l'axe des abscisses doit correspondre à cos𝜃 et l'axe des ordonnées à sin𝜃. Nous pouvons vérifier cela pour une autre valeur. Considérons 𝜃 = 90 ° ou 𝜋 / 2.

Le cercle unitaire pour 𝜃 = 90

Dans ce cas, nous avons une droite verticale dans le cercle. Nous savons que pour 𝜃 = 90 °, sin 𝜃 = 1 et cos 𝜃 = 0. Cela correspond à ce que nous avons trouvé plus tôt : sin 𝜃 est sur l'axe des y, et cos 𝜃 est sur l'axe des x. Nous pouvons également trouver tan 𝜃 sur le cercle unitaire. La valeur de tan 𝜃 correspond à la longueur de la ligne qui va du point de la circonférence à l'axe des x. Rappelle-toi également que tan𝜃 = sin𝜃 / cos𝜃.

Le cercle unitaire et l'identité de Pythagore

D'après le théorème de Pythagore, nous savons que pour un triangle rectangle $a^2+b^2=c^2$. Si nous devions construire un triangle à angle droit dans un cercle unitaire, il ressemblerait à ceci :

Le cercle unitaire avec sin et cos

Donc a et b sont sin𝜃, et cos𝜃 et c vaut 1. On peut donc dire : ${\sin }^2𝜃+{\cos }^2𝜃=1$ ce qui est la première identité pythagoricienne.