Fractions dans les expressions et les équations

Simplifie $\frac{3x}{5}+\frac{x}{4}$

Solution :

Ce que nous allons faire ici, c'est trouver un dénominateur commun aux deux termes afin de pouvoir les additionner. Tout d'abord, nous devrons trouver l'ACL pour les dénominateurs des deux fractions, 5 et 4. Le plus petit diviseur commun aux deux nombres sera 20. Nous allons maintenant trouver la fraction équivalente pour les deux.

Si le dénominateur de la première fraction est maintenant 20, cela signifie que nous avons probablement multiplié le dénominateur initial, 5, par 4. Cela signifie que nous devrons également multiplier le numérateur par 4 pour obtenir une fraction équivalente.

$\frac{4}{4}\left(\frac{3x}{5}\right)=\frac{12x}{20}$

Nous ferons de même pour la deuxième fraction. 20 comme dénominateur signifie également que nous devons avoir multiplié 4 (comme dénominateur) par 5 pour avoir 20 comme nouveau dénominateur de la fraction équivalente. Cela signifie que nous devrons également multiplier le numérateur par 5.

$\frac{5}{5}\left(\frac{x}{4}\right)=\frac{5x}{20}$

Nous avons maintenant notre nouvelle expression :

$\frac{12x}{20}+\frac{5x}{20}$

Cette expression est beaucoup plus facile à résoudre puisqu'il suffit d'additionner les numérateurs et de conserver les dénominateurs.

$\frac{12x}{20}+\frac{5x}{20}=\frac{17x}{20}$

Comme il n'est pas possible de la simplifier davantage, nous en resterons là.

Simplifie $\frac{ax-b+x-ab}{a{x}^2-abx}$

Solution :

Puisque nous ne pouvons rien annuler dans cette expression actuelle, nous pourrions vouloir factoriser pour voir ce que nous pouvons faire de la situation. Nous allons d'abord regrouper les termes semblables dans le numérateur en les réarrangeant de façon à ce que les termes contenant x soient proches les uns des autres et que les termes contenant b soient également proches.

$\frac{ax-b+\hspace{0.17em}x-ab}{a{x}^2-abx}$

$\frac{ax+x-b-ab}{a{x}^2-abx}$

Nous allons maintenant factoriser. Le facteur commun aux deux premiers termes du numérateur est x. Il peut être éliminé par factorisation. Le facteur commun aux deux derniers termes du numérateur est -b, et il peut également être éliminé par factorisation.

$\frac{x(a+1)-b(1+a)}{a{x}^2-abx}$

L'idée de la factorisation ici est de construire une parenthèse commune afin de pouvoir en retirer une. Ici, nous avons $(a+1)$ et $(1+a)$. Compte tenu de la propriété commutative de l'addition, les deux parenthèses sont identiques.

Nous obtenons donc :

$\frac{(x-b)(a+1)}{a{x}^2-abx}$

Maintenant, nous allons factoriser le dénominateur immédiatement. Comme ax apparaît commun aux deux termes, c'est ce qui sera factorisé.

$\frac{(x-b)(a+1)}{ax(x-b)}$

Nous nous trouvons maintenant dans une situation où nous pouvons librement annuler. $(x-b)$ dans le dénominateur annulera $(x-b)$ dans le numérateur. Ceci est vrai si $x$ est différent de $b$.

$\frac{(a+1)}{ax}$

C'est la forme la plus simple que l'on peut obtenir à partir de cette expression.

Si l'on nous donne l'équation $5x+\frac{1}{2}=12$nous devrions d'abord multiplier l'équation (qui est techniquement aussi chaque terme de l'équation) par 2.

Solution :

$2(5x+\hspace{0.17em}\frac{1}{2}=12)$

$2\left(5x\right)+2\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(12\right)$

Après avoir multiplié par 2, la fraction s'annule.

$10x+1=24$

Nous allons maintenant réarranger l'équation pour placer les termes similaires de part et d'autre de l'équation.

$10x=24-1$

$10x=23$

Divise les deux côtés par 10

$\frac{10x}{10}=\frac{23}{10}$

$x=\hspace{0.17em}2.3$

Pour vérifier qu'il s'agit bien de la solution de l'équation, tu dois replacer la valeur de x dans l'équation originale :

$5(2.3)+\frac{1}{2}=12$

$11.5+\frac{1}{2}=12$

$12=12$

Résoudre$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}(x-4)=6$

Solution :

Une équation avec deux fractions ayant le même dénominateur verra ses termes multipliés par le dénominateur, comme nous l'avons mentionné précédemment.

$2\left(\frac{3}{2}x\right)+2\left(\frac{1}{2}\right(x-4\left)\right)=2\left(6\right)$

$3x+x-4=12$

$4x-4=12$

Les termes similaires seront maintenant regroupés à partir de ce point.

$4x=12+4$

$4x=16$

Divise les deux côtés par 4

$\frac{4x}{4}=\frac{16}{4}$

$x=4$

Pour évaluer ceci, tu dois substituer la valeur de x dans l'équation originale.

$\frac{3}{2}\left(4\right)+\frac{1}{2}(4-4)=6$

$(3\times 2)+\frac{1}{2}\left(0\right)=6$

$6+0=6$

$6=6$

Résoudre$\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}(2x-1)=2$

Solution :

Notre exemple est assez différent de ce qui se fait habituellement ici. Puisque nous avons deux fractions avec des dénominateurs différents, nous allons trouver le LCM pour les deux et le multiplier avec l'équation. Le LCM est 4, donc

$4\left(\frac{1}{4}x\right)+4\left(\frac{3}{2}\right(2x-1\left)\right)=4\left(2\right)$

$1x+2\left(3\right(2x-1\left)\right)=4\left(2\right)$

Nous allons maintenant développer ce qui se trouve entre les parenthèses :

$1x+2(6x-3)=8$

$1x+12x-6=8$

Regroupe les termes semblables :

$12x+1x=8+6$

$13x=14$

Divise les deux côtés par 13 :

$\frac{13x}{13}=\frac{14}{13}$

$x=\frac{14}{13}$

Pour évaluer ceci, tu dois substituer la valeur de x dans l'équation originale.

$\frac{1}{4}\left(\frac{14}{13}\right)+\frac{3}{2}\left(2\right(\frac{14}{13})-1)=2$

$2=2$