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\N( f(x) = 3x^2 + 2x + 5\N) c'est la même chose que \N ( f(x) = 3x^2 + 2x^1 + 5x^0\N)
D'après les règles exponentielles, rappelle-toi que \(x^1 = x\) et \(x^0 = 1\).
C'est un polynôme parce qu'il suit la forme de la fonction polynomiale.Fonction polynomiale
La fonction polynomiale suit la forme standard :
\N[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \Npoints + a_1 x + a_0 .\N].
Remarque que nous écrivons les termes d'un polynôme dans l'ordre décroissant, du plus grand exposant au plus petit.
La puissance ou l'exposant le plus élevé présent dans un polynôme est appelé le degré du polynôme.
Tous les termes ne doivent pas être présents dans un polynôme. Si un terme est manquant, tu peux supposer qu'il a un coefficient de zéro (0).
Par exemple, si tu as \N(3x^2 + 8 = 0\N), cela revient à \N(3x^2 + 0x + 8 = 0\N ).
Évaluer les polynômes
Pour évaluer un polynôme, il te suffit de remplacer \(x\) par un nombre pour trouver sa solution.
Évalue \Nf( x) = 3x^2 + 2x + 5\N quand \Nf(x=4\N).
\[ \begin{align} f(4) &= 3\cdot 4^2 + 2\cdot 4 + 5 \\ &= 3\cdot 16 + 8 + 5 \\ &= 48 + 13 \\ &= 61 \end{align} \]
Additionner ou soustraire des polynômes
Pour additionner des polynômes, tu peux utiliser la propriété distributive pour combiner des termes similaires de façon à obtenir un seul terme pour chaque exposant, comme ceci :
Additionne 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 et x^4 + x^2 + 3x + 2.
Combine les termes similaires,
\[ \N- (3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 )+ (x^4 + x^2 + 3x + 2 ) &= x^4 + 3x^3 + (2x^2 + x^2) + (6x + 3x) + (5+2) \N- x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 9x + 7.\N- (end{align} \N-)
Une autre méthode consiste à empiler les polynômes les uns sur les autres afin de voir plus facilement les termes semblables. Dans ce cas, tu dois compléter les termes manquants en supposant qu'ils ont un coefficient de zéro (0) :
\[ \begin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \& \phantom{0}x^4 + 0x^3 + \phantom{0} x^2 + 3x + 2 \hline & \phantom{0} x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 9x + 7 \end{array} \]
Tu peux voir que le résultat est le même que précédemment, mais cette méthode te donne une façon plus organisée d'identifier les termes similaires et évite toute confusion.
Pour soustraire des polynômes, tu peux suivre la même méthode, mais n'oublie pas de faire attention aux signes. Nous allons maintenant soustraire les mêmes polynômes que précédemment :
\[ \begin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \ - & (\phantom{0}x^4 + 0x^3 + \phantom{0} x^2 + 3x + 2) \end{array} \]
est la même chose que
\[ \begin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \ + & -x^4 - 0x^3 - \phantom{0} x^2 - 3x - 2 \end{array} \]
donc
\N-[ \Nbegin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \N+& -x^4 + 0x^3 - \Nphantom{0} x^2 - 3x - 2 \Nhline & -x^4 + x^3 + 3x^2 + 9x + 7 \Nend{array} \N].
Comment factoriser les polynômes ?
Factoriser les polynômes consiste à réécrire les polynômes comme le produit de deux ou plusieurs termes plus simples. Tu dois aborder ces problèmes différemment, en fonction du degré du polynôme et du coefficient du terme ayant la puissance la plus élevée :
Si le degré est 2 et que le coefficient de \(x^2\) est 1, il te suffit de trouver les facteurs qui rendent le polynôme égal à zéro.
\N(x^2+5x+6=0\N)
Trouve les facteurs de 6 qui, une fois multipliés, sont égaux à +6 et qui, une fois additionnés, sont égaux à +5. Dans ce cas, les facteurs qui correspondent aux exigences sont 2 et 3.
\N- (x+2)(x+3)=0\N]
Si le degré est 2 et que le coefficient de \(x^2\) n'est pas 1: Ici, tu as encore quelques étapes à suivre :
\(2x^2+13x+15 = 0)
1. Multiplie le coefficient de \(x^2\) et la constante.
\N(2 \Ncdot 15 = 30\N)
2. Trouve les facteurs de 30.
Si le signe de la constante est positif, tu dois ajouter les facteurs de 30 qui donnent le coefficient de x lorsqu'ils sont additionnés. Si le signe de la constante est négatif, tu dois inclure les facteurs de 30 qui donnent le coefficient de x lorsqu'ils sont soustraits.
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 5 | |
Les facteurs de 30 qui donnent 13 lorsqu'on les additionne sont 3 et 10.
3. Recopie le terme \(2x^2\) et la constante comme dans le polynôme original, et entre ces termes, ajoute les facteurs trouvés à l'étape précédente.
\N- 2x^2 + 3x+10+15=0\N]
4. Factorise en regroupant les deux premiers termes \N(2x^2+3x\N) et les deux derniers termes \N(10x+15\N).Retire le facteur commun des deux groupes :
\N[ 2x^2 + 3x + 10x + 15 = 0 \N].
Maintenant que les termes entre parenthèses correspondent, retire le facteur commun :
\[\N- x(2x+3) + 5(2x+3) &= 0 \N- (2x+3)(x+5)&=0 \N- (2x+3)(x+5)&=0 \Nend{align} \]
Les deux solutions sont \( x = -\frac{3}{2}\) et \(x=-5\).
Si le degré est supérieur à 2 : Dans ce cas, tu pourrais avoir besoin d'extraire les facteurs communs, si possible, et aussi d'utiliser le facteur par regroupement.
Dans l'équation \(6x^3 + 11x^2 + 4x=0\), \(x\) est un facteur commun, alors retire-le en premier pour obtenir
\N[ x(6x^2 + 11x + 4) = 0\N]
puis suis les étapes de l'exemple précédent pour \N(6x^2 + 11x + 4).
Maintenant, suis les étapes du cas précédent lorsque le degré est 2 et que le coefficient de \(x^2\) n'est pas 1.
\N(6 \Ncdot 4 = 24\N)
| 24 | |
Les facteurs de 24 qui donnent 11 lorsqu'ils sont additionnés sont 3 et 8. Donc
\[ \N- 6x^2 + 11x + 4 &= 3x(2x+1) + 4(2x+1) \N- (2x+1)(3x+4). \N-{align}\N-[ \N-{align} \N-{align} \N]
Cela signifie que
\[ \N- 6x^3 + 11x^2 + 4x &= x(6x^2 + 11x + 4) \N- &= x(2x+1)(3x+4) \N-end{align} .\N]
En regardant
\N-[x(2x+1)(3x+4) = 0 \N]
les solutions sont \N(x=0\N), \N(x = -\frac{1}{2}\N), et \N(x = -\frac{4}{3}\N).
Comment simplifier les polynômes ?
Pour simplifier les expressions algébriques fractionnaires contenant des polynômes, tu dois factoriser le numérateur et le dénominateur, puis annuler les facteurs communs.
Simplifie les fractions suivantes :
- Annulation du facteur commun \(3x-1\), \[ \frac{(x+4)(3x-1)}{3x-1} = \frac{(x+4) \cancel{(3x-1)}{\cancel{3x-1}} = x+4 \]
Factorisation du numérateur puis annulation dufacteur commun \(x-3\) \[ \frac{x^2 + x - 12}{x-3} = \frac{(x+4)(3x-1)}{3x-1} = \frac{(x+4) \cancel{(3x-1)}{\cancel{3x-1}} = x+4 \]
Factoriser le numérateur et le dénominateur puisannuler le facteur commun \(x+1\) \[ \begin{align} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 4} &= \frac{ (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+4)} \frac{ \cancel{(x+1)}(x+2)}{\cancel{(x+1)}(x+4)} \frac{{x+2}{x+4}. \N- [Fin{alignement}\N]
Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis annuler le facteur commun \(x+5\)\[ \i1}début{align}} \frac{2x^2+13x+15}{x^2 + 4x - 5} &= \frac{(2x+3)(x+5)}{(x-1)(x+5)} \frac{(2x+3)\cancel{(x+5)}{(x-1)\cancel{(x+5)}} \N- &= \Nfrac{2x+3}{x-1}. \N- [end{align}\N]
Diviser des polynômes
Pour diviser des polynômes, tu utilises la méthode de la division longue. Voici un exemple des étapes à suivre :
Divise \(x^3 + x^2 -36\) par \(x-3\)
Avant de commencer, nous devons identifier chaque partie de la division. \(x^3 + x^2 -36\) est le dividende, \(x-3\) est le diviseur, et le résultat est appelé le quotient. Ce qui reste à la fin est le reste.
N'oublie pas de compléter les termes manquants du dividende par le coefficient zéro afin que le polynôme soit dans l'ordre décroissant des exposants.
Tout d'abord, divise le premier terme du dividende \(x^3\) par le premier terme du diviseur \(x\), puis place le résultat \(x^2\) comme premier terme du quotient.
Multiplie le premier terme du quotient \(x^2\) par chaque terme du diviseur, et place les résultats sous le dividende, alignés avec leur exposant correspondant.
Soustrais les termes semblables, en faisant attention aux signes.
Fais descendre le terme suivant du polynôme (dividende).
Répète les étapes 1 à 4 jusqu'à ce que le degré de l'expression du reste soit inférieur à celui du diviseur.
\[ \begin{array}{rll} x^2 + 4x + 12 && \\\n- x-3 \nenclose{longdiv}{\n ; x^3 + x^2 + 0x - 36}\kern-.2ex \n- \nunderline{-\n ; (x^3 -3x^2)\n-phantom{+ 0x - 36 }} && \hbox{Soustraction des termes semblables} \\N- 4x^2 + 0x \N-phantom{-360}& \hbox{Soustraire $0x$} \\N-underline{\N-phantom{ x^3 }-(4x^2-12x)\N-phantom{+0}} && \hbox{Soustraire les termes similaires} \\ \phantom{x^3 + x^2}12x-36 \phantom{0}&& \hbox{Bring down $-36$} \\N-underline{\N-phantom{ x^3 + x^2}-(12x-36 )} && \hbox{Soustraire les termes semblables} \\ \phantom{00}0 && \hbox{The remainder is zero.} \N-END{array}\N]
Comment utiliser le théorème des facteurs avec les polynômes ?
Le théorème des facteurs peut être utilisé pour accélérer le processus de factorisation. Il stipule que si tu substitues une valeur \(p\N) dans une fonction polynomiale \N(f(x\N) et que le résultat est zéro \N(f(p)=0\N), alors tu peux dire que \N(x - p\N) est un facteur de \N(f(x)\N).
Elle est particulièrement utile dans le cas des polynômes cubiques, et tu peux procéder comme suit :
Tu peux substituer des valeurs à \ (f(x)\Njusqu 'à ce que tu trouves une valeur qui fait\N(f(p)=0\N).
Divise \(f(x)\) par \(x - p\) car le reste sera zéro.
Ecris \ (f(x)\) comme \ ((x - p)g(x)\) où \(g(x)\) est un polynôme de plus petit degré.
Factorise le facteur quadratique restant pour écrire \ (f(x)\) comme le produit de 3 facteurs linéaires.
- Montrer que \N(x-1\N) est un facteur de \N(4x^3 - 3x^2 - 1\N)\N[ \Nbegin{align} f(1) &= 4(1)^3 - 3(1)^2 - 1 \N &= 4-3-1 \N &= 0 ,\Nend{align}\N]
donc \N(x-1\N) est bien un facteur de \N (4x^3 - 3x^2 - 1\N)
- Montrer que \N(x-1\N) est un facteur de \N(x^3 + 6x^2 + 5x - 12\N) \N[ \Nbegin{align} f(1) &= (1)^3 +6(1)^2 +5(1) - 12 \N].= 1+6+5-12 \N- &= 0 ,\Nend{align}\N] donc \N(x-1\N) est bien un facteur de \N(x^3 + 6x^2 + 5x - 12\N)
Divise \N(f (x)\Npar \N(x-p\N)
\[ \begin{array}{rll} x^2 + 7x + 12 && \\ x-1 \enclose{longdiv}{\; x^3 + 6x^2 + 5x - 12}\kern-.2ex \\ \underline{-\; (x^3 -x^2)\phantom{+ 0x - 36 }} && \hbox{Subtract like terms} \\N- 7x^2 + 5x \Nphantom{-360}& \Nhbox{Soustraire $5x$} \\N-underline{\N-phantom{ x^3 }-(7x^2-7x)\N-phantom{+0}} && \hbox{Soustraire les termes similaires} \\ \phantom{x^3 + x^2}12x-12 \phantom{0}&& \hbox{Bring down $-12$} \\N-underline{\N-phantom{ x^3 + x^2}-(12x-12 )} && \hbox{Soustraire les termes semblables} \\ \phantom{00}0 && \hbox{The remainder is zero.} \Nend{array}\N]
Ecris \(f (x)\N comme \N((x-p)g(x)\N) puis factorise \N(g(x)\N)\N[ \Nbegin{align} x^3 + 6x^2 + 5x - 12 &= (x-1)(x^2 + 7x + 12) \N &= (x-1)(x+3)(x+4). \Nend{align} \]
Polynômes - Points clés
Les polynômes sont des expressions à termes multiples qui contiennent une variable élevée à une série d'exposants positifs de nombres entiers, et chaque terme peut être multiplié par des coefficients.
Tu écris les termes d'un polynôme dans l'ordre décroissant des exposants.
Pour évaluer un polynôme, remplace x par un nombre pour trouver sa solution.
Pour additionner, soustraire et diviser des expressions polynomiales, complète les termes manquants en supposant qu'ils ont un coefficient zéro.
Factoriser les polynômes consiste à les réécrire comme le produit de deux ou plusieurs termes plus simples.
Pour simplifier des expressions algébriques fractionnaires contenant des polynômes, factorise le numérateur et le dénominateur, puis annule les facteurs communs.
Pour diviser des polynômes, utilise la méthode de la division longue.
Le théorème des facteurs peut être utilisé pour accélérer le processus de factorisation, en particulier dans le cas des polynômes cubiques.
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