Plus grand commun diviseur

Maintenant que nous connaissons bien le concept des facteurs, il est temps de passer à autre chose. Si tu n'as pas lu cette explication, jette-y un coup d'œil ! Précédemment, nous avons appris à trouver les facteurs communs entre deux (ou plusieurs) nombres. À la fin du sujet, nous avons indiqué que la reconnaissance de ces facteurs communs peut nous aider à déterminer le facteur commun le plus élevé partagé entre ces nombres donnés.

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    Le plus grand facteur commun est un outil utile qui peut être utilisé pour réduire les fractions et les rapports. Il est également utilisé pour simplifier les expressions et les équations afin qu'elles soient plus faciles à résoudre. Tout au long de cette rubrique, nous abrégerons le plus grand facteur commun par HCF.

    Signification du plus grand facteur commun

    Nous pouvons considérer le plus grand facteur commun comme le plus grand nombre divisible par un ensemble de nombres donnés. En d'autres termes, supposons que \(x\) et \(y\) soient deux nombres entiers. Le HCF de \(x\N ) et \N(y\N) est le plus grand nombre possible qui divise complètement \N(x\N) et \N(y\N) sans laisser de reste. En gardant cela à l'esprit, nous pouvons décrire le HCF à l'aide de la définition suivante.

    Rappelle-toi qu'un facteur commun est un nombre qui divise une paire de nombres entiers de façon précise, avec un reste égal à zéro.

    Le facteur commun le plus élevé (HCF) est le plus grand facteur commun de deux (ou plus) nombres entiers.

    Désignons le FCM par la lettre \(a\). Nous pouvons écrire le HCF de \ (x\) et \(y\) avec la notation suivante,

    \[ \mbox{HCF}(x,y) = a.\]

    Dans certains manuels, le HCF peut également être appelé le plus grand facteur commun (GCF) ou le plus grand diviseur commun (GCD). Démontrons-le à l'aide d'un exemple.

    Quel est le FCM de 14 et de 21 ?

    Solution

    Dressons d'abord la liste des facteurs de 14. Le nombre 14 peut être écrit comme le produit des paires de nombres suivantes.

    \[ \N- 1 \N- 14 &= 14 \N- 2 \N- 7 &= 14. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

    Les facteurs de 14 sont donc 1, 2, 7 et 14. Dressons ensuite la liste des facteurs de 21. En appliquant la même méthode que précédemment, nous obtenons

    \[ \N- 1 \N- 21 &= 21 \N- 3 \N- 7 &= 21. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]

    Les facteurs de 21 sont donc 1, 3, 7 et 21. En listant ces deux listes de facteurs et en les comparant, nous constatons que les facteurs communs de 14 et 21 sont 1 et 7. Entre ces deux facteurs communs, observe que 1 est inférieur à 7.

    Par conséquent, 7 est le facteur commun le plus élevé entre 14 et 21. En effet, 7 divise à la fois 14 et 21.

    Facteur commun le plus élevé des nombres premiers

    Les nombres premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Cela signifie qu'un nombre premier n'a que deux facteurs, à savoir 1 et lui-même. Et si nous devions trouver le plus grand facteur commun de deux nombres premiers ? Voici un exemple.

    Trouve la HCF de 23 et 31.

    Solution

    Les nombres 23 et 31 sont effectivement premiers car ils ne sont divisibles par aucun autre nombre à part 1 et lui-même. Par conséquent, leurs facteurs sont simplement énumérés ci-dessous.

    Facteurs de 23 : 1 et 23

    Facteurs de 31 : 1 et 31

    Observe que le seul facteur commun entre ces deux nombres est 1. Comme il n'y a pas d'autres facteurs communs auxquels comparer ce chiffre, nous concluons que le FCM de 23 et 31 est 1.

    Cet exemple nous amène au résultat suivant : le FCM de deux (ou plus) nombres premiers est toujours égal à 1. Cette affirmation est vraie pour tous les ensembles donnés de nombres premiers.

    Pourquoi ne pas essayer ? Essaie de trouver l'indice de masse corporelle entre les nombres premiers 3, 17 et 29. Tu verras que le résultat est également égal à 1 !

    Caractéristiques du plus grand facteur commun

    Le plus grand facteur commun de deux nombres (ou plus) a plusieurs propriétés notables avec lesquelles nous devons nous familiariser. Celles-ci sont énumérées ci-dessous.

    • Le plus grand facteur commun de deux (ou plus) nombres divise chaque nombre donné sans laisser de reste.

    • La valeur HCF de deux (ou plus) nombres est un facteur de chaque nombre donné.

    • L'indice de masse corporelle de deux (ou plus) nombres est toujours inférieur ou égal à chacun des nombres donnés.

    • L'indice de masse corporelle de deux (ou plus) nombres premiers est toujours égal à 1.

    Dans la prochaine section, nous passerons aux différentes techniques pour trouver le FCM de deux nombres (ou plus).

    Méthodes pour trouver le plus grand facteur commun

    Il existe trois méthodes pour trouver le plus grand facteur commun de deux nombres (ou plus).

    1. Méthode de la liste des facteurs.
    2. La factorisation des nombres premiers.
    3. La méthode de la division.

    Ici, nous espérons apprendre à appliquer chaque méthode et présenter plusieurs exemples travaillés montrant chaque approche.

    Facteur commun le plus élevé : Méthode de l'énumération des facteurs

    La méthode de l'énumération des facteurs est la technique la plus simple pour trouver le facteur commun le plus élevé. L'exemple vu dans la section précédente utilise cette méthode. Cette méthode se déroule en trois étapes.

    1. Fais la liste des facteurs de chaque nombre donné.

    2. Trouve les facteurs communs entre ces nombres.

    3. Détermine le facteur commun le plus élevé parmi cette liste de facteurs communs. Ce nombre est le facteur commun le plus élevé.

    Voyons quelques exemples pratiques.

    Facteur commun le plus élevé de deux nombres avec la méthode de la liste des facteurs

    Trouve le facteur commun le plus élevé de 27 et 36.

    Solution

    Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 27 et 36.

    Facteurs de 27 : 1, 3, 9, 27

    Facteurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

    Étape 2 : À partir de ces deux listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 27 et 36.

    Facteurs communs à 27 et 36 : 1, 3, 9.

    Étape 3: Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

    Ici, 9 est le plus grand facteur commun. Ainsi, \( \mbox{HCF}(27,36) = 9\).

    Le plus grand facteur commun de trois nombres avec la méthode de la liste des facteurs

    Trouve le facteur commun le plus élevé de 7, 35 et 42.

    Solution

    Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 7, 35 et 42.

    Facteurs de 7 : 1, 7

    Facteurs de 35 : 1, 5, 7, 35

    Facteurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

    Étape 2 : À partir de ces trois listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 7, 35 et 42.

    Facteurs communs à 7, 35 et 42 : 1 et 7.

    Étape 3 : Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

    Ici, 7 est le plus grand facteur commun. Ainsi, \(\mbox{HCF}(7, 35, 42) = 7.\)

    Le plus grand facteur commun de quatre nombres avec la méthode des facteurs de la liste

    Trouve les HCF de 12, 15, 21 et 24.

    Solution

    Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 12, 15, 21 et 24.

    Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

    Facteurs de 15 : 1, 3, 5, 15

    Facteurs de 21 : 1, 3, 7, 21

    Facteurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

    Étape 2 : À partir de ces trois listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 12, 15, 21 et 24.

    Facteurs communs de 12, 15, 21 et 24: 1 et 3.

    Étape 3 : Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

    Ici, 3 est le plus grand facteur commun. Ainsi, \(\mbox{HCF}(12, 15, 21, 24) = 3.\)

    Bien que cette méthode soit très simple et puisse être utilisée pour trouver le HCF de deux ou plusieurs nombres, elle peut s'avérer assez délicate, surtout lorsqu'il s'agit de nombres plus grands. C'est là que les deux autres façons de trouver le FCM entrent en jeu !

    Facteur commun le plus élevé : Méthode de la factorisation première

    La factorisation première est un processus utilisé pour représenter un nombre comme un produit de ses facteurs premiers. Tu trouveras une discussion plus détaillée sur ce sujet dans l'article : Factorisation première. La recherche du FCM de deux nombres (ou plus) à l'aide de cette méthode se fait en trois étapes.

    1. Exprime les nombres donnés sous leur forme de facteurs premiers.

    2. Trouve les facteurs premiers communs des nombres donnés.

    3. Multiplie les facteurs premiers communs. Ce produit est le HCF des nombres donnés.

    Pour bien comprendre, démontrons-le à l'aide des exemples suivants.

    Facteur commun le plus élevé de deux nombres avec la méthode de factorisation des nombres premiers

    Trouve le FCM de 24 et de 32.

    Solution

    Étape 1 : Nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

    Factorisation première de 24 :

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 24 \\ \hline 2 & 12 \\ \hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^3 \cdot 3\N]

    Factorisation première de 32 :

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 32 \\ \hline 2 & 16 \\ \hline 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2& 2 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- [32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 = 2^5\N]

    Étape 2 : dresse la liste des nombres premiers communs à 24 et 32.

    \N- [\N- 24 &= 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 3 \N- 32 &= 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- end{align} \]

    Ici, les nombres premiers communs de 24 et 32 sont les trois instances du nombre 2.

    Étape 3 : Multiplie les facteurs communs.

    \N- 2\cdot 2\cdot 2=8.\N]

    Ainsi, \(\mbox{HCF}(24, 32) = 8.\N)

    Facteur commun le plus élevé de trois nombres avec la méthode de factorisation des nombres premiers.

    Trouve le plus grand facteur commun de 8, 12 et 20.

    Solution

    Étape 1 : nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

    Factorisation première de 8 :

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot = 2^3 \N- 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot = 2^3 \N]

    Factorisation première de 12 :

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 12 \\ \hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- [12 = 2\cdot 2\cdot 3 = 2^2 \cdot 3\N]

    Factorisation première de 20 :

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 20 \\ \hline 2 & 10 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- 20 = 2\cdot 2\cdot 5 = 2^2 \cdot 5\N]

    Étape 2 : Énumère les nombres premiers communs à 8, 12 et 20.

    \[\begin{align} 8 &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot \\ 12 &= 2\cdot 2\cdot 3 \\ 20 &= 2\cdot 2\cdot 5 .\end{align} \]

    Ici, les nombres premiers communs de 8, 12 et 20 sont les deux instances du nombre 2.

    Étape 3 : Multiplie les facteurs communs.

    \N- 2 \Ncdot 2 = 4.\N]

    Ainsi, \N( \Nmbox{HCF}(8, 12, 20) = 4.\N)

    Facteur commun le plus élevé de quatre nombres avec la méthode de factorisation des nombres premiers

    Trouve les HCF de 9, 27, 36 et 45.

    Solution

    Étape 1 : nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

    Factorisation première de 9 :

    \[ \begin{array}{c|c} 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- [9 = 3\Ncdot 3 = 3^2\N]

    Factorisation première de 27 :

    \[ \begin{array}{c|c} 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- [27 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^3\N]

    Factorisation première de 36 :

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- [36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2\N]

    Factorisation première de 45

    \[ \begin{array}{c|c} 3 & 45 \\ \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- 45 = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2 \cdot 5\N]

    Étape 2 : liste des nombres premiers communs de 9, 27, 36 et 45.

    \[\N- 9 &= 3\Ncdot 3 \N- 27 &= 3\Ncdot 3\Ncdot 3 \N- 36 &= 2\Ncdot 2\Ncdot 3\Ncdot 3 \N- 45 &= 3\Ncdot 3\Ncdot 5 .\N- end{align} \]

    Ici, les nombres premiers communs de 9, 27, 36 et 45 sont les deux instances du nombre 3.

    Étape 3 : Multiplie les facteurs communs.

    \N- 3 \Ncdot 3 = 9\N]

    Ainsi, \( \mbox{HCF}( 9, 27, 36, 45) = 9.\)

    Facteur commun le plus élevé : Méthode de division

    Pour cette approche, nous utiliserons la division longue. Voici les étapes de cette méthode.

    1. En utilisant la division longue, divise le plus grand nombre par le plus petit.

    2. Si le reste est égal à 0, alors le diviseur est le FCM.

    3. Si le reste n'est pas égal à 0, alors nous ferons du reste de l'étape 1 le diviseur et du diviseur de l'étape 1 le dividende. Pour ce faire, effectue à nouveau une division longue.

    4. Si le reste est égal à 0, alors le diviseur de la dernière division est le HCF.

    5. Si le reste n'est pas égal à 0, répète l'étape 3 jusqu'à ce que le reste soit égal à 0.

    Méthode de division pour les nombres multiples

    Nous devons modifier la méthode de division lorsqu'il s'agit de trouver l'HCF de plus de deux nombres. Ici, nous devons regrouper les nombres en groupes égaux (de deux) et effectuer la division longue comme auparavant. Ce faisant, nous décomposons essentiellement la division en une série d'étapes moins compliquées.

    1. Détermine la FCM des deux premiers nombres donnés à l'aide de la méthode de division ci-dessus.

    2. Trouve la FCM du troisième nombre et la FCM obtenue à partir des deux premiers nombres à l'étape 1.

    3. Tu obtiendras ainsi la FCM des trois nombres.

    4. Répète l'étape 2 pour trouver la FCM du quatrième nombre et la FCM trouvée à partir des trois premiers nombres à l'étape 3.

    5. Tu obtiendras ainsi l'indice de masse corporelle des quatre nombres.

    Voyons maintenant quelques exemples pratiques.

    Facteur commun le plus élevé de deux nombres avec la méthode de la division

    Trouve le FCM de 40 et de 50.

    Solution

    Étape 1 : Divise 50 par 40.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\\N40\N ; \Nenclose{longdiv}{\N;50} \N-.2ex\N \Nunderline{40} \N- & \N- 10 \N- & \Nend{array}\N]

    Étape 2 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 10) le diviseur et du diviseur (= 40) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 4 & \\10\; \enclose{longdiv}{\;40} \N-.2ex\N \Nunderline{40} \N- & \N- 0 \N- & \N- [end{array}\N]

    Étape 3 : Comme le reste de l'étape 2 est égal à 0, le diviseur = 10 est le HCF .

    Ainsi, \( \mbox{HCF}(40, 50) = 10.\)

    Facteur commun le plus élevé de trois nombres avec la méthode de division

    Trouve les HCF de 33, 121 et 154.

    Solution

    Étape 1(a) : Trouve la HCF de 33 et 121 en utilisant la division longue.

    \[ \begin{array}{rl} 3 & \\33\; \enclose{longdiv}{\;121} \N-.2ex\N \Nunderline{99} \N- & \N- 22 \N- & \Nend{array}\N]

    Étape 1(b) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 22) le diviseur et du diviseur (= 33) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\22\; \enclose{longdiv}{\;33} \N-.2ex\N \Nunderline{22} \N- & \N- 11 \N- & \N- [end{array}\N]

    Étape 1(c) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 11) le diviseur et du diviseur (= 22) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\11\; \enclose{longdiv}{\;22} \N-.2ex\N \Nunderline{22} \N- & \N- 0\N- & \Nend{array}\N]

    Lereste est finalement égal à 0. Ainsi, le diviseur = 11 est le HCF de 33 et 121.

    Étape 2 : Maintenant que nous avons la HCF de 33 et 121, trouvons maintenant la HCF de 33, 121 et 154. Pour ce faire, le HCF (de 33 et 121) trouvé à l'étape 1(c) devient le diviseur et 154 le divisé. Applique la division longue comme d'habitude.

    \[ \begin{array}{rl} 14 & \\\11\ ; \enclose{longdiv}{\;154} \N-.2ex\N \Nunderline{154} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

    Comme le reste de l'étape 2 est égal à 0, le diviseur = 11 est le HCF des trois nombres donnés .

    Ainsi, \( \mbox{HCF}(33, 121, 154) = 11.\)

    Facteur commun le plus élevé de quatre nombres avec la méthode de division

    Trouve les HCF de 24, 48, 63 et 75.

    Solution

    Étape 1 : Trouve la HCF de 24 et 48 en utilisant la division longue.

    \[ \N-{array}{rl} 2 & \N-{24\N ; \N-{longdiv}{\N;48} \N-.2ex\N \Nunderline{48} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

    Comme le reste est égal à 0, le diviseur = 24 est le HCF de 24 et 48 .

    Étape 2(a) : Maintenant que nous avons la HCF de 24 et 48, trouvons maintenant la HCF de 24, 48 et 63. Pour ce faire, le HCF (de 24 et 48) trouvé à l'étape 1 est le diviseur et 63 est le divisé. Effectue la division longue comme précédemment.

    \[ \begin{array}{rl} 2 & \\24\; \enclose{longdiv}{\;63} \N-.2ex\N \Nunderline{48} \N- & \N- 15 \N- & \N- [end{array}\N]

    Étape 2(b) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 15) le diviseur et du diviseur (= 24) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\15\; \enclose{longdiv}{\;24} \N-.2ex\N \Nunderline{15} \N- & \N- 9 \N- & \N- [end{array}\N]

    Étape 2(c) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 9) le diviseur et du diviseur (= 15) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\9\; \enclose{longdiv}{\;15} \N-.2ex\N \Nunderline{9} \N- & \N- 6 \N- & \N- [end{array}\N]

    Étape 2(d) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 6) le diviseur et du diviseur (= 9) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\6\; \enclose{longdiv}{\;9} \N-.2ex\N \Nunderline{6} \N- & \N- 3 \N- & \N- [end{array}\N]

    Étape 2(e) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 3) le diviseur et du diviseur (= 6) le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 2 & \\3\; \enclose{longdiv}{\;6} \N-.2ex\N \Nunderline{6} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

    Lereste est finalement égal à 0. Ainsi, le diviseur = 3 est le HCF de 24, 48 et 63 .

    Étape 3 : Comme nous avons maintenant la HCF de 24, 48 et 63, nous devons enfin trouver la HCF de 24, 48, 63 et 75. Pour ce faire, la CCF (de 24, 48 et 63) trouvée à l'étape 2(e) devient le diviseur et 75 le divisé. Applique la division longue comme d'habitude .

    \[ \begin{array}{rl} 25 & \\3\; \enclose{longdiv}{\;75} \N-.2ex\N \Nunderline{75} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

    Ici, le reste est égal à 0. Le diviseur = 3 est donc le HCF des quatre nombres donnés .

    Ainsi, \( \mbox{HCF}(24, 48, 63, 75) = 3.\)

    Facteur commun le plus élevé vs multiple commun le plus bas

    Le plus petit commun multiple (LCM) est le plus petit commun multiple pour un ensemble donné de nombres. Tu trouveras plus d'informations à ce sujet dans l'article : Plus petitcommun multiple. Dans cette section, nous allons faire des comparaisons entre le HCF et le LCM. Ce contraste est illustré dans le tableau ci-dessous.

    Le tableau ci-dessous compare l'HCF et le LCM de deux nombres entiers, x et y.

    Facteur commun le plus élevé (FCH)Le plus petit commun multiple (LCM)
    Le FCM de deux nombres entiers \(x\N) et \N(y\N) est le plus grand nombre qui divise complètement \N(x\N) et \N(y\N).Le LCM de deux nombres entiers \(x\N) et \N(y\N) est le plus petit nombre qui est un multiple de \N(x\N) et \N(y\N).
    L'intersection entre l'ensemble des facteurs communs de \(x\N) et \N(y\N) est la plus grande valeur.L'intersection entre l'ensemble des multiples communs de \(x\) et \(y\) est la valeur minimale.
    Dénoté par \(\mbox{GCF}(x, y) = a\), où \(a\) est le GCF de \(x\) et \(y\). Dénoté par \(\mbox{LCM}(x, y) = b\), où \(b\) est le LCM de \(x\) et \(y\)

    Relation entre le facteur commun le plus élevé et le multiple commun le plus bas

    Malgré leurs différences, le plus grand facteur commun et le plus petit commun multiple de deux nombres ont un lien astucieux l'un avec l'autre. Disons que nous avons deux nombres entiers, \(x\) et \(y\). Le HCF et le LCM de ces deux nombres sont désignés par \( \mbox{HCF}(x, y) \) et \( \mbox{LCM}(x, y)\). Ces deux concepts sont liés par la notion suivante : le produit du HCF et du LCM de \ (x\) et \(y\) est égal au produit de \ (x\) et \(y\). Nous pouvons l'écrire selon la notation ci-dessous,

    \[ \mbox{HCF}(x,y) \cdot \mbox{LCM}(x,y) = xy.\N- \cdot \cdot \mbox{LCM}(x,y) = xy.\N]

    Voici un exemple qui démontre cela.

    Vérifie que la formule ci-dessus est satisfaite pour les nombres 9 et 12.

    Solution

    Trouvons d'abord le FCM de 9 et de 12. En utilisant la méthode de l'énumération, nous obtenons :

    Facteurs de 9 : 1, 3, 9

    Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

    Facteurs communs de 9 et 12 : 1 et 3

    Ainsi, HCF(9, 12) = 3

    Trouvons maintenant le LCM de 9 et 12. Pour trouver le LCM, reporte-toi à la rubrique : Le plus petit commun multiple.

    \[ \begin{array}{c|c} 3 &9 \; 12 \\ \hline 2 & 3, \; 4 \\ \hline 2 & 3,\; 2 \\ \hline 3 & 3,\; 1 \\ \hline & 1,\;1 \end{array} \]

    \N- [36 = 3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\N]

    Donc \( \mbox{LCM}(9, 12) = 36.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N)

    En se référant à la formule donnée, on constate d'abord que le produit de 9 et 12 est égal à 108. Déduisons maintenant le produit de leur HCF et de leur LCM.

    \[ \mbox{HCF}(9,12) \cdot \mbox{LCM}(9,12) = 3\cdot 36 = 108.\]

    Comme tu peux le voir, le produit du HCF et du LCM de 9 et 12 est également égal au produit de 9 et 12. La formule est donc valable pour cette paire de nombres.

    Cette formule est vraie pour tous les ensembles de nombres donnés. Essaie-la avec les exemples donnés tout au long de cette discussion.

    Nous terminerons notre discussion par un dernier exemple de recherche de la FCM d'une paire de nombres à l'aide des trois méthodes étudiées ci-dessus.

    Détermine la HCF de 45 et 72 en utilisant la méthode de l'énumération, la méthode de factorisation des nombres premiers et la méthode de division pour trouver la HCF.

    Méthode de l'énumération

    Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 45 et 72.

    Facteurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45

    Facteurs de 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

    Étape 2 : À partir de ces deux listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 45 et 72.

    Facteurs communs à 45 et 72: 1, 3, 9

    Étape 3 : Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

    Ici, 9 est le plus grand facteur commun. Ainsi, \( \mbox{HCF}(45, 72) = 9.\)

    Méthode de factorisation des nombres premiers

    Étape 1 : Nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

    Factorisation première de 45

    \[ \begin{array}{c|c} 3 & 45 \\ \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \N- [45 = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2 \cdot 5\N]

    Factorisation première de 72

    \[ \begin{array}{c|c} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \]

    \[72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2\]

    Étape 2 : dresse la liste des nombres premiers communs à 45 et 72.

    \N- [\N- Début{align} 45 &= 3\cdot 3\cdot 5 \c 72 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 .\cend{align} \]

    Ici, les nombres premiers communs de 45 et 72 sont les deux instances du nombre 3.

    Étape 3 : Multiplier les facteurs communs

    \N- 3\cdot 3 = 9 \N]

    Ainsi, \ ( \mbox{HCF}(45, 72) = 9.\N)

    Méthode de division

    Étape 1 : Diviser 72 par 45

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\\N45\N ; \enclose{longdiv}{\N;72} \N-.2ex\N \Nunderline{45} \N- & \N- 27 \N- & \Nend{array}\N]

    Étape 2 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste = 27 le diviseur = 45 le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\27\; \enclose{longdiv}{\;45} \N-.2ex\N \Nunderline{27} \N- & \N- 18 \N- & \Nend{array}\N]

    Étape 3 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste = 18 le diviseur = 27 le dividende .

    \[ \begin{array}{rl} 1 & \\18\; \enclose{longdiv}{\;27} \N-.2ex\N \Nunderline{18} \N- & \N- 9 \N- & \Nend{array}\N]

    Étape 4 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste = 9 le diviseur = 18 le dividende.

    \[ \begin{array}{rl} 2 & \\9\; \enclose{longdiv}{\;18} \N-.2ex\N \Nunderline{18} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

    Étape 5 : Comme le reste de l'étape 4 est égal à 0, le diviseur = 9 est le HCF .

    Ainsi, \ ( \mbox{HCF}(45, 72) = 9.\)

    Facteur commun le plus élevé - Principaux enseignements

    • Le FCM est le plus grand facteur commun de deux nombres entiers et est désigné par FCM(x, y) = a.
    • Le FCM de deux nombres divise chaque nombre donné sans laisser de reste.
    • L'HCF de deux nombres est un facteur de chaque nombre donné.
    • L'HCF de deux nombres est toujours inférieur ou égal à chacun des nombres donnés.
    • La FCM de deux nombres premiers (ou plus) est toujours égale à 1.
    • Enumère la méthode permettant de trouver l'HCF.
      1. Fais la liste des facteurs de chaque nombre.

      2. Trouve les facteurs communs entre ces nombres.

      3. Détermine le facteur commun le plus élevé parmi cette liste de facteurs communs.

    • Méthode de factorisation des nombres premiers pour trouver HCF.

      1. Exprime les nombres sous leur forme factorisée première.

      2. Trouve les facteurs premiers communs de ces nombres.

      3. Multiplie les facteurs premiers communs.

    • Méthode de division pour trouver le HCF.

      1. Divise le plus grand nombre par le plus petit par division longue.

      2. Si le reste est égal à 0, le diviseur est le HCF.

      3. Si le reste n'est pas 0, alors, à partir de l'étape 1, fais du reste le diviseur et du diviseur le dividende. Effectue une nouvelle fois la division longue.

      4. Si le reste est 0, le diviseur de la dernière division est le HCF.

      5. Si le reste n'est pas 0, répète l'étape 3 jusqu'à ce que le reste soit égal à 0.

    • Relation entre l'HCF et le LCM :

      \[ \mbox{HCF}(x,y) \cdot \mbox{LCM}(x,y) = xy.\]

    Questions fréquemment posées en Plus grand commun diviseur
    Qu'est-ce que le plus grand commun diviseur (PGCD) ?
    Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre entier qui divise deux ou plusieurs nombres sans laisser de reste.
    Comment calculer le PGCD de deux nombres ?
    Pour calculer le PGCD de deux nombres, on utilise l'algorithme d'Euclide, qui consiste à diviser les nombres et à prendre les restes successifs jusqu'à obtenir zéro.
    À quoi sert le PGCD en mathématiques ?
    Le PGCD est utile pour simplifier des fractions, résoudre des équations diophantiennes et déterminer des propriétés communes entre nombres.
    Le PGCD de deux nombres peut-il être plus grand que l'un des deux nombres ?
    Non, le PGCD de deux nombres est toujours inférieur ou égal au plus petit des deux nombres.

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