Résolution des relations de récurrence du second ordre

La technique caractéristique de résolution des relations de récurrence du second ordre est similaire à celle de la résolution des relations de récurrence du premier ordre. Elle consiste à dériver la fonction complémentaire puis à trouver une solution particulière appropriée pour résoudre la forme fermée d'une relation de récurrence de second ordre donnée. La suite de Fibonacci est une relation de récurrence du second ordre qui peut être résolue à l'aide de la technique des caractéristiques pour trouver son équation de forme fermée.

C'est parti Inscris-toi gratuitement
Résolution des relations de récurrence du second ordre Résolution des relations de récurrence du second ordre

Crée des supports d'apprentissage sur Résolution des relations de récurrence du second ordre avec notre appli gratuite!

  • Accès instantané à des millions de pièces de contenu
  • Fiches de révision, notes, examens blancs et plus encore
  • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens
Inscris-toi gratuitement

Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement

Inscris-toi gratuitement
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle serait la forme de la solution particulière de la relation de récurrence \(u_{n+2}=u_{n+1}+5u_n+n^2+2n+1\) ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle est la forme correcte de la solution particulière de la relation de récurrence suivante ? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle est la méthode utilisée pour résoudre les relations de récurrence du deuxième ordre ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

De combien de valeurs initiales/conditions limites as-tu besoin pour résoudre une relation de récurrence du deuxième ordre ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Comment trouver l'équation réduite d'une relation de récurrence de la forme \(u_{n+2} =a_1u_{n+1}+a_2u_n+f(n)\) ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle forme prendrait la solution particulière de la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n+1\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+n^2\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Laquelle des formes suivantes est la forme correcte de la solution particulière de la relation de récurrence \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\) ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle serait la forme de la solution particulière de la relation de récurrence \(u_{n+2}=u_{n+1}+5u_n+n^2+2n+1\) ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle est la forme correcte de la solution particulière de la relation de récurrence suivante ? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle est la méthode utilisée pour résoudre les relations de récurrence du deuxième ordre ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

De combien de valeurs initiales/conditions limites as-tu besoin pour résoudre une relation de récurrence du deuxième ordre ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Comment trouver l'équation réduite d'une relation de récurrence de la forme \(u_{n+2} =a_1u_{n+1}+a_2u_n+f(n)\) ?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quelle forme prendrait la solution particulière de la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n+1\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+n^2\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Laquelle des formes suivantes est la forme correcte de la solution particulière de la relation de récurrence \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\) ?

Show Answer

Convertis des documents en flashcards gratuitement avec l'IA

Tables des matières
Table des mateères

    Signification des relations de récurrence de second ordre

    Chaque fois que tu décris une relation d'événements nécessitant des informations provenant de différentes positions temporelles, tu parles de relations de récurrence. Or, les relations de récurrence de second ordre sont des relations qui nécessitent des informations deux pas en arrière pour obtenir l'information que tu veux.

    Les relations de récurrence de deuxième ordre sont des relations de récurrence de la forme \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un entier fixe, \(A\) et \(B\) sont des constantes et \(f(n)\) est un polynôme.

    Voici des exemples de relations de récurrence du deuxième ordre,

    • \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
    • \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
    • \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}+n^2\).

    Les relations de récurrence du second ordre sont classées en relations de récurrence homogènes et non homogènes.

    Relations de récurrence homogènes du second ordre

    Les relationshomogènes du second ordre sont des relations qui montrent uniquement une relation entre les termes de la séquence à différentes itérations.

    Les relations de récurrence homogènes du second ordre sont de la forme suivante : [u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un certain entier fixe, \(A\) et \(B\) étant des constantes.

    Voici des exemples de relations de récurrence homogènes du second ordre,

    • \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}\),
    • \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
    • \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}\).

    Relations de récurrence du second ordre non homogènes

    Les relations d'ordre 2 non homogènes sont des relations qui montrent une relation entre les termes de la séquence à différentes itérations ayant un peu d'information supplémentaire, généralement un polynôme en termes de \(n\N). En fait, il s'agit de la définition générale introduite dans le tout premier paragraphe de cet article.

    Les relations de récurrence non homogènes du second ordre sont des relations de récurrence de la forme \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un certain entier fixe, \(A\) et \(B\) sont des constantes et \(f(n)\) est un polynôme.

    Voici des exemples de relations de récurrence non homogènes du second ordre,

    • \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
    • \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}+n+1\),
    • \(u_{n+1}=9u_{n}+3u_{n-1}-7n^2\)

    Résolution des relations de récurrence du second ordre

    Lors de la résolution d'une relation de récurrence du second ordre de la forme

    \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\]

    nous recherchons une expression du terme \(n^{\text{th}}\), qui prend la forme de

    \N-[u_{n}=c(n)+p(n),\N]

    où \N(c(n)\Nest la fonction complémentaire et \N(p(n)\Nest la fonction particulière.

    La toute première étape de la résolution des relations de récurrence du second ordre consiste à résoudre sa partie homogène, également appelée équation réduite. En cachant \(f(n)\), tu obtiendras la partie homogène d'une relation de récurrence,

    \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}, \]

    et pour résoudre cette partie, tu dois trouver ce que nous appelons la fonction complémentaire \(c(n).\N).

    Maintenant, pour trouver la fonction complémentaire, nous procédons comme suit. Nous cherchons une expression de la forme \N(u_{n}=r^n\N) où \N(u_{n}\N) satisfait à

    \N- u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \N- [u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \N]

    En substituant, on obtient

    \[\begin{align} u_{n+2}&=Au_{n+1}+Bu_{n} \N- r^{n+2}&=Ar^{n+1}+Br^{n}\N- r^2-Ar-B&=0\Nend{align}\N]

    \(r^2-Ar-B=0\) est appelée l'équation caractéristique et le nombre de solutions qu'elle possède déterminera la forme générale de la fonction complémentaire \(c(n).\).

    Nous distinguons trois cas pour l'équation caractéristique \(r^2-Ar-B=0.\N-)

    • Si \(r^2-Ar-B=0\) a deux solutions réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\), alors \[u_n=Cr_{1}^n+Dr_{2}^n,\] pour certaines constantes \(C\) et \(D\).
    • Si \(r^2-Ar-B=0\) a une racine double \(r\), alors \[u_n=Cr^n+Dnr^n.\]
    • Si \(r^2-Ar-B=0\) a deux racines complexes \(z_1\) et \(z_2\), alors \[u_n=C z_1^n+Dz_2^n,\] pour certaines constantes \(C\) et \(D\).

    Quant à la solution particulière \N(p(n)\N), elle prend la forme du polynôme \N(f(n).\N).

    Maintenant, passons à l'action et récapitulons les étapes du calcul !

    Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\).

    Pour les relations de récurrence homogènes, l'équation réduite est la même que l'équation de la relation de récurrence. Cela te donne une équation de la forme \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}\).

    Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous-la pour \(r\).

    Étape 3. Trouve la fonction complémentaire en utilisant les valeurs de \(r\).

    Racines réelles et distinctes \ (r_{1}\) et \ (r_{2}\) \(c(n)=Cr_{1}^{n}+D r_{2}^{n}\)
    Racines réelles répétées \N (r_{1}=r_{2}=r\N)\(c(n)=Cr^{n}+Dnr^{n}\)
    Racines complexes \ (r_1=z_1\) et \(r_{2}=z_2\)\N(c(n)=C z_1^n+D z_2^n \N)

    Étape 4. Trouve la forme générale de la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résous les inconnues.

    Étape 5. En utilisant la valeur initiale donnée dans la question, trouve la valeur de \(C\) et \(D\).

    Les exemples sont toujours une bonne idée pour comprendre le sujet, alors c'est parti !

    Exemple de résolution d'une relation de récurrence non homogène du second ordre avec des racines réelles distinctes

    Résous la relation de récurrence \ (u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_{n}+4n+12\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=-1\) et \(u_{2}=16\).

    Solution

    Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\), pour obtenir

    $$u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n.$$

    Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).

    L'équation caractéristique est donnée par \N(r^2-2r-3=0,\N). En la résolvant, on obtient \N(r_1=-1) et \N(r_2=3.\N).

    Étape 3. Trouve la fonction complémentaire \(c(n).\N-)

    \[c(n)=Cr_1^{n}+Dr_2^{n}=C(-1)^n+D 3^n\]

    Étape 4. Trouve la forme de la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résous les inconnues.

    Puisque \(f(n)=4n+12\), la solution particulière prend la forme \(p(n)=an+b\).

    Avec \(p(n)=u_n=an+b\), \(p(n+1)=u_{n+1}=a(n+1)+b\) et \(p(n+2)=u_{n+2}=a(n+2)+b\).

    En les substituant à l'équation originale, on obtient

    \N- [\N- u_{n+2}&=2u_{n+1}+3u_n+4n+12 \N- a(n+2)+b&=2(a(n+1)+b)+3(an+b)+4n+12 \N- an+2a+b&=2an+2a+2b+3an+3b+4n+12 \N- end{align}\N].

    Pour résoudre \(a\) et \(b\), tu dois comparer les coefficients.

    En comparant les coefficients de \(n\), on obtient ,

    \N- [\N- a&=2a+3a+4 \N- a&=-1 \Nend{align}\N]

    La comparaison des termes constants donne,

    \[\N- 2a+b&=2a+2b+3b+12 \N- b&=-3 \Nend{align}\N].

    Par conséquent, la solution particulière est \N(p(n)=-n-3.\N)

    La solution générale est donc \(u_n=C(-1)^n+D3^{n}-n-3.\N-)

    Étape 5. En utilisant les valeurs initiales données dans la question, trouve les valeurs de \(C\N) et \N(D\N).

    Puisque les valeurs initiales sont \(u_{1}=-1\) et \(u_{2}=16\), nous avons

    \[\N- Début{align} u_1=-1&=C(-1)+D(3)-1-3 \N -C+3D&=3\NFin{align}\N]

    \N- [\N- u_2=16&=C(-1)^2+3^2D-2-3 \N- C+9D&=21 \Nend{align}\N]

    En résolvant simultanément les équations ci-dessus, nous obtenons \(C=3\) et \(D=2\).

    Par conséquent, la solution est l'équation en forme fermée,

    $$u_n=3\Nfois (-1)^n+2\Nfois 3^n -n-3.$$

    Exemple de résolution d'une relation de récurrence homogène du second ordre avec des racines répétées

    Résous la relation de récurrence \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=1\) et \(u_{2}=4\).

    Solution

    Étape 1. Trouve l'équation réduite.

    Comme il s'agit d'une équation homogène, nous avons $$u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}.$$

    Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).

    L'équation caractéristique est donnée par,

    \N-[r^2-6r-9=0\N]

    Par conséquent, \N(r_1=r_2=r=3.\N)

    Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.

    Puisque nous avons des racines répétées, la fonction complémentaire est donnée par ,

    \[\N- Début{align} c(n)&= Cr^n+Dnr^n=C\Nfois 3^n+D n\Nfois 3^n \NFin{align}\N].

    Étape 4. Puisque \(f(n)=0\) il n'y a pas de solution particulière.

    Par conséquent, la solution générale est \N(u_{n}=(C+Dn)\Nfois3^{n}\N).

    Étape 5. En utilisant les valeurs initiales données, nous trouvons les valeurs de \(C\N) et \N(D\N).

    Puisque \(u_{1}=1\N) et \N (u_{2}=4\N), nous avons

    \[\begin{align} u_1&=1=3(C+D)=3C+3D\\ u_{2}&=4=9(C+2D)=9C+18D\end{align}\]

    La résolution simultanée donne,

    $$C=\frac{2}{9}, D=\frac{1}{9}.$$ Par conséquent,

    $$ u_{n}=\left(\frac{2}{9}+\frac{n}{9}\right)\times3^{n}.$$

    Exemple de résolution d'une relation de récurrence homogène du second ordre avec des racines complexes

    Résous la relation de récurrence \(u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_{n}\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=24\) et \(u_{2}=-54\).

    Solution

    Etape 1. Trouve l'équation réduite.

    Comme il s'agit d'une équation homogène, nous avons $$u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_n.$$

    Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).

    L'équation caractéristique est donnée par \N[r^2-8r-41=0,\N] donc \N(r_1=z_1=4+5i\N) et \N(r_2=z_2=4-5i\N).

    Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.

    \[\begin{align} c(n)&=Cz_{1}^{n}+Dz_{2}^{n} \N- &=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n. \N- [end{align}\N]

    Étape 4. Trouve la solution particulière.

    Puisque \(f(n)=0\), il n'y a pas de solution particulière.

    Nous avons maintenant une solution générale, \(u_n=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n\).

    Étape 5. En utilisantles valeurs initiales données dans la question, trouve les valeurs de \(C\N) et \N(D.\N).

    Puisque les valeurs initiales sont \(u_{1}=24\) et \(u_{2}=-54\), nous avons

    \[\begin{align}u_1&=24=C(4+5i)+D(4-5i)\\ u_2&=-54=C(4+5i)^2+D(4-5i)^2 \end{align}\]

    En résolvant simultanément, on obtient \(C=3\) et \(D=3\).

    Par conséquent, la solution est l'équation en forme fermée,

    $$u_n=3(4+5i)^n+3(4-5i)^n.$$

    Relation de récurrence du second ordre - Principaux enseignements

    • Les relations de récurrence du deuxième ordre sont celles dans lesquelles chaque terme de la séquence est une fonction des deux termes précédents et sont de la forme \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}+f(n)\) où \(f(n)\) est un polynôme et \(A\) et \(B\) sont des constantes.
    • Les relations de récurrence du second ordre sont dites homogènes si \(f(n)=0\) et non homogènes dans le cas contraire.
    • La résolution des relations de récurrence du deuxième ordre consiste à trouver la solution sous forme fermée.
    • La méthode que nous utilisons pour résoudre ces relations de récurrence s'appelle la technique des caractéristiques et se résume aux étapes suivantes,
      • Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\).
      • Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résout \(r\).
      • Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.
      • Étape 4. Trouve la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résout l'inconnue.
      • Étape 5. Maintenant que tu as une forme générale pour la solution, utilise les valeurs initiales données dans la question pour trouver les inconnues restantes.
    Questions fréquemment posées en Résolution des relations de récurrence du second ordre
    Qu'est-ce qu'une relation de récurrence du second ordre ?
    Une relation de récurrence du second ordre est une équation qui relie un terme d'une suite à deux de ses termes précédents.
    Comment résoudre une relation de récurrence du second ordre ?
    Pour résoudre une relation de récurrence du second ordre, on résout généralement une équation caractéristique associée pour trouver les racines.
    Qu'est-ce qu'une équation caractéristique ?
    Une équation caractéristique est une équation auxiliaire utilisée pour trouver les racines qui déterminent la solution d'une relation de récurrence linéaire.
    Quelle est la forme générale d'une relation de récurrence du second ordre ?
    La forme générale est : a_n = c1*a_{n-1} + c2*a_{n-2} où c1 et c2 sont des constantes.

    Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

    Quelle est la forme correcte de la solution particulière de la relation de récurrence suivante ? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).

    Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).

    Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).

    Suivant

    Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

    Lance-toi dans tes études
    1
    À propos de StudySmarter

    StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

    En savoir plus
    Équipe éditoriale StudySmarter

    Équipe enseignants Mathématiques

    • Temps de lecture: 12 minutes
    • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
    Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

    Sauvegarder l'explication

    Inscris-toi gratuitement

    Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

    • Fiches & Quiz
    • Assistant virtuel basé sur l’IA
    • Planificateur d'étude
    • Examens blancs
    • Prise de notes intelligente
    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    Obtiens un accès illimité avec un compte StudySmarter gratuit.

    • Accès instantané à des millions de pièces de contenu.
    • Fiches de révision, notes, examens blancs, IA et plus encore.
    • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.
    Second Popup Banner