Intérêts composés

Lorsque tu déposes de l'argent sur un compte d'épargne, tu t'attends à ce qu'il produise des intérêts au fil du temps. L'argent continuera à produire des intérêts jusqu'à ce que tu décides d'effectuer un retrait. C'est comme une accumulation d'intérêts.

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    Dans cet article, nous en apprendrons davantage sur la définition mathématique de cette accumulation, nommée intérêts composés .

    Signification de l'intérêt composé

    L'intérêt composé est l'accumulation ou l'ajout d'intérêts à un montant principal.

    L'idée est que les intérêts gagnés sur le montant principal sont réinvestis et que les intérêts futurs sont ajoutés au montant principal plus les intérêts antérieurs, le montant principal étant la somme d'argent initiale qui a été investie. Cela se poursuit jusqu'à ce que la période soit écoulée. Jette un coup d'œil au graphique des intérêts composés ci-dessous.

    Graphique des intérêts composés

    Intérêts composés Graphique des intérêts composés StudySmarterGraphique des intérêts composés

    Le graphique des intérêts composés montre qu'à mesure que le temps passe, l'argent augmente aussi. C'est l'idée même de l'intérêt composé.

    Lorsque l'on résout des questions relatives aux intérêts composés, on nous demande en fait de trouver la somme d'argent obtenue ou gagnée au cours d'une période donnée grâce au taux d'intérêt composé ajouté.

    Pour calculer les intérêts composés, nous devons connaître :

    • le principal ou le montant initial.
    • le taux de pourcentage de l'intérêt composé sur le montant principal.
    • le temps, c'est-à-dire la période pendant laquelle l'argent sera retiré ou cessera de produire des intérêts.

    Calcul des intérêts composés : Formule

    Il y a deux façons de calculer les intérêts composés. Tu peux les calculer à l'aide d'un tableau et tu peux les calculer à l'aide de la formule des intérêts composés.

    Utilisation de la formule des intérêts composés

    La formule des intérêts composés est donnée par :

    Final Amount = Principal × (multiplier)n

    où,

    Multiplier =1 + raten=time period

    Par conséquent ,

    Final Amount = Principal × 1 + ratetime period

    Le résultat obtenu par la formule des intérêts composés est la somme d'argent gagnée ou acquise après que les intérêts ont été ajoutés au fil du temps.

    Le multiplicateur est la somme de un et du pourcentage du taux d'intérêt.

    Utilisation du tableau des intérêts composés

    Pour chaque année, nous calculons l'argent à détenir jusqu'à l'écoulement du temps. Pour ce faire, nous suivons les étapes suivantes.

    1. Dessine un tableau avec deux colonnes, l'une pour le "montant" et l'autre pour le "taux en pourcentage".
    2. Écris le montant du principal sur la première ligne sous le montant et multiplie-le par le taux en pourcentage sous l'intérêt.
    3. Ajoute le montant du principal aux intérêts sur la deuxième ligne sous le montant et multiplie-le par le taux en pourcentage sur cette ligne sous les intérêts.
    4. Répète l'étape 3 jusqu'à ce que le temps soit écoulé.

    Le calcul des intérêts composés à l'aide du tableau prendra plus de temps que si tu utilisais la formule des intérêts composés.

    Dans la prochaine section, nous apprendrons à calculer les intérêts composés en utilisant les deux méthodes.

    Exemples d'intérêts composés

    Prenons quelques exemples en utilisant la formule des intérêts composés et le tableau.

    Si tu déposes 4000 livres sterling dans une banque pendant trois ans et que l'on te verse 4 % d'intérêts par an, combien te restera-t-il à la fin des trois ans ? Combien auras-tu à la fin des 3 ans ?

    Solution

    Essayons d'abord de résoudre ce problème à l'aide du tableau, puis nous essaierons la formule. D'après les étapes ci-dessus, nous savons que nous devons dessiner un tableau à deux colonnes.

    MontantPourcentage Taux 4
    1er année - £4000 Il s'agit du capital ou du montant initial que tu as déposé à la banque.

    4100×4000=£160

    Cela signifie que tu recevras £160supplémentaire la première année.
    2e année - 4000+160=£4160 Tu commences la deuxième année avec le montant du capital et les intérêts gagnés. 4100×4160=£166.4 Cela signifie que tu obtiendras £166.4 de plus à la fin de la deuxième année.
    3ème année - 4160+166.4=£4326.4Tu commences la troisième année avec le montant gagné la deuxième année plus les intérêts acquis ; c'est lasomme d'argent que tu auras au bout de 3 ans .4100×4326.4=£173.056 Cela signifie que tu obtiendras £173.056 de plus à la fin de la troisième année ; c'est l'intérêt gagné à la fin des 3 ans .
    4326.4+173.056=£4499.456C'est la somme d'argent que tu auras au bout de 3 ans. 160+166.4+173.056=£499.455 C'est l'intérêt gagné à la fin des 3 ans.

    Ainsi, à la fin des 3 ans, tu auras £4499.456.

    C'était un processus assez long, mais nous pouvons obtenir notre réponse plus rapidement en utilisant la formule des intérêts composés. La formule est présentée ci-dessous.

    Final Amount = Principal ×1 + raten

    D'après les données, nous savons que

    Principal = £4000 Rate = 4% n = 3

    Nous allons maintenant substituer les valeurs dans la formule.

    Final Amount = 4000 × 1 + 41003 = 4000 × 1 + 0.043 = 4000 × (1.04)3 = 4000 × 1.124864 = £4499.456

    Tu peux voir que nous avons obtenu la même réponse en utilisant le tableau et la formule.

    Prenons un autre exemple.

    Jane dépose 800 livres sterling dans une banque qui paie 1 % d'intérêts composés par an. Qu'est-ce qu'elle aura au bout de deux ans ? Utilise le tableau et la formule de calcul des intérêts composés pour la question suivante.

    Solution

    Tout d'abord, énonce les informations données :

    Principal = £800Rate= 1%n = 2 yearsFinal amount = ?

    Commençons par le tableau avant d'utiliser la formule.

    MontantPourcentage Taux - 1
    1ère année - £800 Il s'agit de l'argent initial qu'elle a déposé à la banque.1100×800=£8Cela signifie qu'à la fin de la première année, Jane aura de l'argent supplémentaire.
    2ème année - 800+8=£808 La deuxième année commencera avec le montant initial plus les intérêts gagnés au cours de la première année.1100×808=£8.08Cela signifie qu'à la fin de la deuxième année, Jeanne aura £8.08 d'argent supplémentaire.
    Au bout de 2 ans, Jeanne aura 808+8.08=£816.08Le total des intérêts gagnés après 2 ans est de 8+8.08=£16.08

    D'après le tableau, au bout de 2 ans, Jeanne aura £816.08.

    Utilisons maintenant la formule. La formule des intérêts composés est donnée par :

    Final Amount = Principal ×1 + raten

    Nous allons maintenant substituer nos valeurs dans la formule pour obtenir :

    Final Amount = 800 × 1 + 11002 = 800 × 1 + 0.012 = 800 × 1.012 = 800 × 1.0201 = £816.08

    Tu peux voir que la même réponse a été obtenue en utilisant le tableau et la formule.

    Prenons un autre exemple.

    Ben contracte un prêt de 15 000 £, et la banque lui facture 10 % d'intérêts composés par an. Si Ben ne rembourse pas le prêt dans quatre ans, combien doit-il à la banque ?

    Solution

    Énonçons les informations données.

    Principal = £15000Rate = 10%Number of years (n) = 4 yearsAmount owed after 4 years = ?

    Le montant dû après quatre ans est le montant final et nous l'obtiendrons en utilisant la formule des intérêts composés. La formule des intérêts composés est donnée par :

    Final Amount = Principal ×1 + raten

    Nous allons substituer nos valeurs dans la formule :

    Final amount = 15000 × 1 + 101004 = 15000 × 1 + 0.14 = 15000 ×1.14 = 15000× 1.4641 = £21 961.5

    Ben devra à la banque £21 961.5 à la fin des 4 ans.

    Différence entre les intérêts simples et les intérêts composés

    Outre les intérêts composés, il existe également ce que l'on appelle les intérêts simples.

    La différence importante entre l'intérêt simple et l'intérêt composé est que l'intérêt simple concerne un intérêt unique sur le montant principal, tandis que l'intérêt composé concerne une accumulation d'intérêts sur le montant principal au cours d'une période de temps. Pour en savoir plus sur les intérêts simples, consulte notre article sur les intérêts simples.

    Intérêts composés - Points clés

    • Les intérêts composés sont l'accumulation ou l'ajout d'intérêts à un montant principal.
    • Il y a deux façons de calculer les intérêts composés. Tu peux les calculer à l'aide d'un tableau ou en utilisant la formule des intérêts composés.
    • La formule des intérêts composés est la suivante : Final Amount = Principal ×1 + raten.
    • Outre les intérêts composés, il existe aussi ce que l'on appelle les intérêts simples. La différence significative entre l'intérêt simple et l'intérêt composé est que l'intérêt simple concerne un intérêt unique sur le montant principal alors que l'intérêt composé concerne une accumulation d'intérêts sur le montant principal au cours d'une période donnée.
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    Questions fréquemment posées en Intérêts composés
    Qu'est-ce que les intérêts composés?
    Les intérêts composés sont les intérêts calculés sur le principal initial et sur les intérêts accumulés des périodes précédentes.
    Comment calculer les intérêts composés?
    Pour calculer les intérêts composés, utilisez la formule A = P(1 + r/n)^(nt), où P est le principal, r le taux d'intérêt, n le nombre de périodes et t le temps.
    Quelle est la différence entre intérêts simples et composés?
    La différence est que les intérêts simples sont calculés uniquement sur le principal, tandis que les intérêts composés sont calculés sur le principal et les intérêts accumulés.
    Quels sont les avantages des intérêts composés?
    Les avantages des intérêts composés incluent une croissance plus rapide de l'investissement grâce à la capitalisation des intérêts sur des périodes multiples.

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