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Les théorèmes sont basés sur des axiomes. Les axiomes sont définis comme une déclaration ou une proposition sur laquelle une structure est basée. Essentiellement, ce sont des choses que nous supposons être vraies et que nous n'avons pas besoin de prouver. Voici quelques exemples d'axiomes :
Tous les multiples de 2 sont pairs.
L'addition est commutative : \(a + b = b + a)
La multiplication est commutative : \(a \cdot b = b \cdot a\c)
Que dois-tu faire dans une preuve ?
Les éléments clés pour rédiger une preuve complète sont les suivants :
Indique toutes les informations que tu utilises.
Assure-toi que chaque étape découle logiquement de l'étape précédente.
Assure-toi que tous les cas possibles sont couverts, par exemple si l'on te demande de prouver pour tous les nombres et que tu n'as prouvé que pour les nombres impairs, alors tu dois aussi prouver pour les nombres pairs.
Termine la preuve par une déclaration.
Quels sont les différents types de preuves ?
Les différents types de preuves sont définis en fonction de la méthode utilisée pour faire la preuve. Les principales méthodes que tu peux trouver sont :
Preuve par contre-exemple
Preuve par déduction
La preuvepar déduction est la méthode de preuve la plus couramment utilisée, et elle consiste à partir de faits ou de théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes montrant le raisonnement qui te permet d'arriver à une conclusion qui prouve la conjecture d'origine.
L'équation id="5335321" role="math" \( kx^2 - 2kx + 4 = 0 \) n'a pas de racines réelles. Prouve que \(k\) satisfait l'inégalitéid="5335322" role="math" \(0 \leq k < 4\).
Pour cela, il va falloir utiliser le discriminant.
Lorsque quelque chose n'a pas de racines réelles, la valeur de \N(b^{2} - 4 \cdot a \cdot c < 0\N)Remplaçons donc les valeurs de \N(a\N), \N(b\N) et \N( c\N)par des valeurs de \N(a\N), \N(b\N) et \N(c\N).
\N(a = k, \N ; b = -2k\N) autre \N(c = 4\N)\N((-2k)^2 - 4(k)(4) = 4k^2 - 16k\N)Donc \N(4k^2 - 16k < 0\N), comme il n'y a pas de racines réelles, la valeur du discriminant doit être inférieure à 0.
\N(k(4k-16)<0\N)
Si nous faisons un croquis, nous obtenons donc :
Exemple de preuve par déduction, Marilu García De Taylor - StudySmarter Originals
Tu peux voir sur le graphique que \(k(4k-16)<0\)lorsque la courbe est en dessous de l'axe des x. C'est le cas lorsque \(0 < k < 4\).
Cependant, lorsque \(k = 0\) la formule du discriminant n'est plus valide.
Si nous remplaçons \(k = 0\) dans l'équation originale \(kx^2-2kx+4=0\)\((0)x^2 - 2(0)x + 4 = 0\)) \N(4 = 0\N)Ce n'estpas possible, il n'y a donc pas de racines réelles.
Par conséquent, \N(0 \leq k < 4\) comme demandé.
Consulte l'article Preuve par déduction pour plus d'exemples.
Qu'en est-il des identités ?
Une identité est une expression mathématique qui est toujours vraie. Il s'agit d'une déclaration montrant que les deux côtés de l'expression sont identiques. Pour prouver une identité, il suffit de manipuler algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté. Un symbole que tu trouveras dans les identités est ≡, qui signifie "est toujours égal à". Voici quelques exemples :
1. Prouve que \((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
Développe les parenthèses du côté gauche de l'identité et combine les termes similaires
\N-(2x + 3)(x + 4)(x - 1) = (2x + 3)(x^{2} - x + 4x - 4)\N- \N- \N(= (2x + 3)(x^2 + 3x - 4)\N- \N- \N(= 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3x^2 + 9x - 12\N- \N- \N(= 2x^3 + 9x^2 + x - 12\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-)
Par conséquent, nous pouvons dire que \((2x + 3)(x + 4)(x - 1) \equiv 2x^3 + 9x^2 + x - 12\).
2. On peut aussi te demander de prouver des identités trigonométriques:
Prouve que \(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1\)
Preuve d'une identité trigonométrique, Study Smarter Originals
Si nous écrivons des expressions trigonométriques pour \N( a \N) et \N( b \N) :
\(a = c \cdot \sin \theta\) \(b = c \cdot \cos \theta\)
Par Pythagore \N(a^2 + b^2 = c^2\N)
En substituant les expressions de \(a\N) et \N(b\N):\N((c\Ndot \Nsin{\Ntheta})^2 + (c\Ndot \Ncos{\Ntheta})^2 = c^2 \Ndot \Nsin^2{\Ntheta} + c^2 \Ndot cos^2{\Ntheta}\N) \N-(c^2 \sin^2{\theta} + c^2 \cdot \cos^2{\theta} = c^2\N)
Factorisation de \(c^2\) :
\(c^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = c^2\)Diviser les deux côtés par \(c^2\) (Nous pouvons le faire parce que \(c \neq 0\)).
Par conséquent, \N(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1\N)
Reporte-toi à l'article Prouver une identité pour approfondir tes connaissances sur ce sujet.
Preuve par contre-exemple
Un énoncé mathématique peut être réfuté en trouvant un contre-exemple. Un contre-exemple est un exemple pour lequel une affirmation n'est pas vraie. Examinons l'exemple ci-dessous :
Prouve que l'énoncé ci-dessous n'est pas vrai.
La somme de deux nombres carrés est toujours un nombre carré.
Nous pouvons le prouver par contre-exemple, en trouvant un seul exemple qui prouve que l'affirmation est fausse. Nous devons donc trouver deux nombres carrés qui, une fois additionnés, ne sont pas des nombres carrés. Essayons 4 et 9.
4 est un nombre carré ( \(2^{2}\))
9 est un nombre carré ( \N(3^{2}\N))
9 + 4 = 13
13 n'est pas un nombre carré.
L'affirmation est donc fausse.
Pour plus de détails et d'exemples sur ce type de preuve, consulte l'article Démonstration par contre-exemple.
Preuve par épuisement
Lapreuve par épuisement se fait en considérant tous les exemples possibles et en vérifiant chaque cas séparément.
Prouve que la somme de deux nombres carrés consécutifs compris entre 1 et 81 est un nombre impair.
- Les nombres carrés compris entre 1 et 81 sont :
4, 9, 16, 25, 36, 49 et 64.
- Utilisons maintenant la preuve par épuisement et trouvons ces sommes.
4 + 9 = 13 (impair)
9 + 16 = 25 (impair)
16 + 25 = 41 (impair)
25 + 36 = 61 (impair)
36 + 49 = 85 (impair)
49 + 64 = 113 (impair)
Tous ces nombres sont impairs, l'affirmation est donc prouvée.
Pour plus d'exemples, jette un coup d'œil à l'article Preuve par épuisement.
Preuve par contradiction
Lapreuve par contradiction fonctionne de manière légèrement différente. Dans ce cas, pour prouver qu'une affirmation mathématique est vraie, tu supposeras que le contraire de l'affirmation doit être faux, et tu prouveras qu'il est effectivement faux.
Prouve qu'il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels \(5a + 10b = 1\).
- Suppose le contraire : Suppose que nous pouvons trouver deux entiers a et b pour lesquels l'équation \(5a + 10b = 1\)est vraie.
- Si c'est le cas, nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par 5 :
\(\frac{5}{5} \cdot a + \frac{10}{5} \cdot b = \frac{1}{5}\) \( a + 2 \cdot b = \frac{1}{5} \)Si a et b sont des nombres entiers, alors le résultat de \(a + 2b\) doit aussi être un entier, donc \(a + 2b\)ne peut pas donner la fraction \(\frac{1}{5}\), ce qui est ce que dit l'équation. Nous avons ici une contradiction, ce qui rend notre hypothèse fausse.
- Comme nous avons prouvé que l'affirmation opposée est fausse, l'affirmation initiale est prouvée vraie. Par conséquent, nous pouvons dire que l'affirmation "Il n'y a pas d'entiers a et b pour lesquels \(5a + 10b = 1\)" est vraie.
Pour en savoir plus sur ce type de preuve, suis le lien vers l'article Preuve par contradiction.
Preuve - Points clés à retenir
Une preuve est une séquence d'étapes logiques utilisées pour prouver un énoncé mathématique ou une conjecture.
La preuve par déduction est la méthode de preuve la plus couramment utilisée ; elle consiste à partir de faits ou de théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes pour arriver à une conclusion qui prouve la conjecture d'origine.
La preuve des identités se fait en manipulant algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté.
La preuve par contre-exemple consiste à utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une affirmation n'est pas vraie.
La preuve par épuisement se fait en considérant tous les cas possibles et en prouvant chaque cas séparément.
La preuve par contradiction prouve qu'un énoncé mathématique est vrai, en supposant que le contraire de l'énoncé doit être faux, et en prouvant qu'il est en fait faux.
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