Cet article explore les équations différentielles. Nous verrons d'abord la définition d'une équation différentielle et comment vérifier une solution. Nous verrons ensuite comment résoudre une équation différentielle ordinaire séparable du premier ordre, esquisser des familles de solutions et modéliser avec une équation différentielle.
Lorsquenousavonsuneéquationquiimpliqueunesériededérivées, nousl'appelonsuneéquationdifférentielle. Lorsquelesdérivéessontunefonctiond'uneseulevariable, onparled'équationdifférentielleordinaire (EDO). Lorsqu'onparled'uneéquationdifférentielle, onparlesouventdesonordre. L'ordre désigne la dérivée la plus élevée présente dans l'équation. Par exemple, l'équation est d'ordre deux, car la dérivée la plus élevée de l'équation est de second ordre.
Lorsque l'on résout une équation différentielle, l'objectif est de trouver une fonction qui satisfait l'équation. Cette solution ne sera pas unique, car avec une dérivée, une constante peut être ajoutée pour modifier la fonction tout en satisfaisant l'équation. La seule façon de trouver la valeur de cette constante est d'ajouter une condition limite.
Dans une équation différentielle ordinaire du premier ordre, nous n'avons besoin que d'une seule condition aux limites pour satisfaire l'inconnue. En général, pour une équation différentielle ordinaire du premier ordre, nous avons besoin de n conditions aux limites pour satisfaire l'inconnue. équation différentielle ordinaire d'ordre 1, nous avons besoin de n conditions aux limites. Une condition aux limites spécifie la valeur de la fonction en un certain point. Cela te permet de calculer la valeur des coefficients inconnus.
Vérifier les solutions des équations différentielles
Lorsqu'on nous donne une équation différentielle, si on nous donne une solution potentielle, nous pouvons vérifier si elle est valide ou non. Pour cela, il faut calculer toutes les dérivées utilisées et les compléter pour voir si la solution potentielle est apte à satisfaire l'équation.
Vérifie que est une solution de . (Note ici que nous utilisons pour représenter , et pour représenter ).
À l'aide de la règle du produit, trouvons la première et la deuxième dérivée de y par rapport à x.
Alors
Nous pouvons maintenant compléter les valeurs pour obtenir
La solution est donc vérifiée.
Résoudre des équations différentielles
Au niveau A, nous devons seulement savoir comment résoudre des équations différentielles ordinaires séparables du premier ordre. Séparable fait référence au fait que les deux variables (normalement x et y) peuvent être séparées et ensuite divisées pour être résolues.
La forme d'une équation différentielle séparable (pour les variables y et x, où y est une fonction de x) est . Nous pouvons ensuite réarranger cette équation pour obtenir, puis l'intégrer pour obtenir. Une fois intégrée, cette solution est notre solution générale pour l'équation différentielle. Nous pouvons ensuite appliquer des conditions limites pour trouver une solution spécifique si nécessaire.
Il convient de noter qu'à proprement parler, nous ne pouvons pas manipuler de cette façon, car il ne s'agit pas d'une fraction mais plutôt d'une Notation pour la dérivée. Cependant, nous pouvons la traiter comme une fraction dans ce cas.
Trouve la solution générale de.
Cette solution est de la forme , ce qui signifie que la solution est de la forme . Cela signifie que nous pouvons remplir les deux fonctions pour obtenir . En intégrant le côté droit, nous obtenons . Du côté gauche, il s'agit d'une intégrale standard, donnée sous la forme .
Ceci peut également être obtenu en utilisant la substitution
Cela signifie que notre solution est donnée par . Remarque que nous avons combiné les deux constantes en une seule ici. Nous pouvons simplifier davantage pour obtenir.
Trouve la solution de , avec.
Tout d'abord, séparons cette équation pour obtenir .
Le côté gauche s'intègre à, et le côté droit s'intègre à.
Ils se combinent pour donner. On peut encore simplifier cette équation pour obtenir.
Nous savons que, nous pouvons donc le compléter pour obtenir.
Cela donne C = 1, et notre solution est.
Esquisse d'une famille de courbes solutions pour les équations différentielles.
Lorsque nous trouvons une solution générale pour une équation différentielle, il nous reste des constantes dans l'équation générale. Ces constantes peuvent avoir n'importe quelle valeur et elles satisferont toujours l'équation différentielle. La famille des courbes de solution est la collection des fonctions avec différentes valeurs pour les constantes.
Trouve la solution générale de , et dessine un graphique illustrant cette solution avec quatre solutions particulières différentes.
Tu trouveras ci-dessous un graphique montrant que C = -1, 0, 1, 2
Une famille de solutions, avec C = 2 en vert, C = 1 en bleu, C = 0 en rouge et C = -1 en violet, Tom Maloy - StudySmarter Originals.
Modélisation avec des équations différentielles
La raison pour laquelle nous étudions les équations différentielles est la possibilité de les utiliser dans des scénarios de la vie réelle. Pour illustrer cela, prenons un exemple.
Supposons qu'il y ait un réservoir d'eau cylindrique de 5m de rayon. La hauteur de l'eau dans le réservoir en tout point est notée. L'eau s'écoule du réservoir à un rythme proportionnel à la racine carrée du volume du réservoir. Trouve .
Le volume du réservoir d'eau en un point donné est noté, ce qui signifie.
L'eau s'écoule à un taux proportionnel à la racine carrée du volume, c'est-à-dire, où a est une constante de proportionnalité.
Nous pouvons utiliser l'expression précédente pour le volume pour obtenir.
Une équation différentielle est une équation composée de diverses dérivées.
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre le plus élevé de toute dérivée dans l'équation.
Une équation différentielle ordinaire séparable du premier ordre a la forme , avec la solution.
Les conditions limites nous permettent de donner une valeur à une constante.
Une solution générale est une solution qui contient une constante inconnue, et une solution spécifique existe pour une condition limite spécifique.
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Questions fréquemment posées en Équations Différentielles
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation impliquant une fonction inconnue et ses dérivées.
À quoi servent les équations différentielles ?
Les équations différentielles modélisent des phénomènes tels que la croissance démographique, les mouvements physiques, et bien d'autres processus dynamiques.
Quelle est la différence entre une équation différentielle ordinaire et une équation aux dérivées partielles ?
Une équation différentielle ordinaire implique des dérivées d'une fonction d'une seule variable, tandis qu'une équation aux dérivées partielles implique des dérivées d'une fonction de plusieurs variables.
Comment résoudre une équation différentielle ?
La résolution d'une équation différentielle peut nécessiter diverses méthodes, telles que la séparation des variables, la méthode d'Euler, ou l'utilisation de logiciels spécialisés.
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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est d'ordre deux, car la dérivée la plus élevée de l'équation est de second ordre. 
est une solution de 
. (Note ici que nous utilisons pour représenter 
, et pour représenter 
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. Nous pouvons ensuite réarranger cette équation pour obtenir
, puis l'intégrer pour obtenir
. Une fois intégrée, cette solution est notre solution générale pour l'équation différentielle. Nous pouvons ensuite appliquer des conditions limites pour trouver une solution spécifique si nécessaire.
de cette façon, car il ne s'agit pas d'une fraction mais plutôt d'une 
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, ce qui signifie que la solution est de la forme 
. Cela signifie que nous pouvons remplir les deux 
. En intégrant le côté droit, nous obtenons 
. Du côté gauche, il s'agit d'une intégrale standard, donnée sous la forme 
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. Remarque que nous avons combiné les deux constantes en une seule ici. Nous pouvons simplifier davantage pour obtenir
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, avec
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, et le côté droit s'intègre à
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. On peut encore simplifier cette équation pour obtenir
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, nous pouvons donc le compléter pour obtenir
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, et dessine un graphique illustrant cette solution avec quatre solutions particulières différentes.
. L'eau s'écoule du réservoir à un rythme proportionnel à la racine carrée du volume du réservoir. Trouve 
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, ce qui signifie
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, où a est une constante de proportionnalité.
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