Taux de variation instantané

Taux de variation instantané en un point

Dans l'article sur le taux de variation moyen, nous avons expliqué comment calculer le taux de variation d'une quantité sur une période considérable d'une autre quantité, mais qu'en est-il du taux de variation à un moment donné ? Au sens large, nous voulons savoir comment une quantité change à un moment donné et non pas sur une grande partie de cette quantité.

Le taux de variation instantané en un point est le gradient de la courbe en ce point. Rappelle la définition du gradient : le gradient en un point nous indique le taux de changement en ce point.

La tangente en un point signifiant sa pente, StudySmarter Originals

Dans le diagramme ci-dessus, supposons que nous voulions connaître le taux de changement instantané au point A, alors nous devons trouver le gradient de la courbe au point A. Et le gradient à ce point est la pente à ce point.

Pour toute courbe, elle varie d'un point à l'autre et la pente à ce point doit être calculée individuellement.

Un cas particulier et intriguant est celui d'une ligne droite, où la pente en chaque point serait la même et donc le taux instantané de changement serait égal au taux moyen sur n'importe quel intervalle.

Taux de variation instantané à l'aide du calcul

Un outil important du calcul est vraiment pratique ici, celui de la différenciation . Rappelle que différencier une fonction revient à trouver la pente de la courbe en ce point. Mais la pente en ce point, comme nous l'avons vu, est letaux de changement instantané en ce point. Nous pouvons donc utiliser le calcul pour trouver le taux de changement.

Soit $y=f\left(x\right)$ soit une fonction qui décrit une courbe et supposons que la fonction est continue et différentiable sur l'intervalle approprié. Alors la pente du graphique en un point $\left(x_1,y_1\right)$ est donnée par :

$Slope=\frac{dy}{dx}$ $evaluatedat\left(x_1,y_1\right)$

Et voici la formule du taux instantané de changement de y par rapport à x à ce point.

Le taux instantané de changement en un point, StudySmarter Originals

Nous pouvons également calculer le taux de changement instantané de x par rapport à y en calculant $\frac{dx}{dy}$ à ce point. Puisque la majorité des fonctions sont données explicitement en termes de x, nous pouvons utiliser l'identité suivante pour trouver le taux de variation instantané de x par rapport à y;

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

Cela implique une propriété très importante : le taux instantané de changement de y par rapport à x est la réciproque du taux instantané de changement de x par rapport à y .

Taux de variation instantané en tant que limites

Nous avons déjà vu comment nous pouvons calculer le taux de variation instantané à l'aide des dérivées, mais d'où cela vient-il ? Comment pouvons-nous le déduire ? Nous allons voir ici comment les limites nous aident à relier le taux de variation instantané aux dérivées.

Rappelle que le taux de variation moyen est pris sur un grand intervalle et est donné par $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ pour une fonction$y=f\left(x\right)$.

Le taux moyen de changement sur deux points, StudySmarter Originals

Si nous rapprochons de plus en plus les points A et B, ils finiront par devenir un seul et même point. C'est la raison pour laquelle nous utilisons la condition limite $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }$ et $\underset{\Delta y\to 0}{\lim }$ pour éviter que les deux points ne se confondent.

Remarque maintenant qu'au fur et à mesure que A et B se rapprochent, la distance qui les sépare est infiniment petite et la ligne que nous traçons à travers eux devient une ligne tangente :

Deux points infiniment proches l'un de l'autre, StudySmarter Originals

Comme on peut le voir, lorsque la distance entre les points se rapproche de 0, la ligne sécante devient une ligne tangente et le taux de variation moyen devient un taux de variation instantané à ce point. Si nous zoomons sur les deux points, nous voyons que la courbe devient une droite et que notre proposition de tangente est géométriquement justifiée :

Deux points infiniment proches résultant en une tangente, StudySmarter Originals.

Nous pouvons nommer les coordonnées du point A comme $\left(x,f\left(x\right)\right)$ et laisser les coordonnées du point B comme $(x+a,f\left(x+a\right))$ puisque les valeurs varieront très légèrement, étant donné qu'elles sont extrêmement proches l'une de l'autre. Nous avons donc $x_1=x$, $x_2=x+a$ et $y_1=f\left(x\right)$, $y_2=f\left(x+a\right)$.

Utilise maintenant la formule de la pente :

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{x+a-x}$$=\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{a}$

Maintenant, puisque les points sont très proches, nous pouvons utiliser la condition limitative :

$\underset{a\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{a}$

Rappelle-toi maintenant la définition d'une dérivée :

$\frac{dy}{dx}=\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{a}$

Cela nous donne finalement la formule du taux de variation instantané en un point, puisque A et B finissent par fusionner en un seul point dans la condition limite.

Exemples de taux de variation instantané