Quadrilatères

Ici, nous avons un panneau "passage piéton" et un ensemble de papiers de couleur.

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Tables des matières
Table des mateères

    Exemple de panneau routier et de papier de couleur, StudySmarter Originals

    Exemple de panneau routier et de papier de couleur, StudySmarter Originals

    Vois-tu des ressemblances entre ce panneau routier et chaque feuille de papier ? En fait, il y a deux similitudes que nous pouvons repérer ici ! Tout d'abord, les deux objets ont exactement quatre côtés. Deuxièmement, ils ont précisément quatre coins de chaque côté. Tu te demandes peut-être maintenant quel type de forme pourrait avoir de telles propriétés et, si c'est le cas, comment on les appelle ? Pour répondre à ta question, ces formes s'appellent des quadrilatères !

    Dans cette discussion, nous allons nous familiariser avec un type particulier de polygone connu sous le nom de quadrilatère. Nous examinerons les différents types de quadrilatères tout en étudiant leurs propriétés et les formules de calcul du périmètre et de l'aire.

    Qu'est-ce qu'un quadrilatère ?

    L'abréviation "quad" décrit quelque chose qui est en termes de quatre. Par exemple, une mère qui porte quatre bébés au cours d'une grossesse s'attendra à la naissance de quadruplés. En géométrie, cette contraction se retrouve dans le terme quadrilatère, qui adopte la même idée. Définissons-le ci-dessous.

    Un quadrilatère est un polygone ayant quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.

    Rappelle qu'un polygone est une figure géométrique à deux dimensions ayant un nombre fini de côtés.

    Les côtés (ou arêtes) d'un polygone sont constitués de segments de droite reliés bout à bout. Le point de rencontre d'une paire de segments de droite est appelé sommet (ou angle).

    Le terme quadrilatère provient de deux mots latins : quadri (variante de quatre) et latus (côté). Il existe deux autres noms pour décrire un quadrilatère, à savoir

    1. Un tétragone qui est dérivé des mots grecs tetra et gon qui signifient respectivement quatre et angle (ou coin) ;
    2. Un quadrilatère puisqu'il a quatre angles.

    Nommer un quadrilatère

    Il est important de noter que l'ordre des sommets d'un quadrilatère donné doit être pris en compte pour nommer un quadrilatère. Voici un exemple.

    Nommer un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Nommer un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Le quadrilatère ci-dessus a pour côtés \N(PQ\N), \N(QR\N), \N(RS\N) et \N(SP\N) et pour sommets \N(P\N), \N(Q\N), \N(R\N) et \N(S\N). Les diagonales sont décrites par \N(PR) et \N(QS).

    Ce quadrilatère peut être désigné par \N(PQRS\N), \N(QRSP\N), \N(RSPQ\N) ou \N(SPQR\N). Cependant, nous ne pouvons pas l'appeler \(SQPR\) ou \(RPQS\), par exemple, car l'ordre des sommets est ici incorrect.

    Types de quadrilatères

    Il existe six types de quadrilatères avec lesquels nous devons nous familiariser tout au long de ce sujet. Ils sont décrits dans le tableau ci-dessous.

    Quadrilatère

    Représentation visuelle

    Carré

    Square, StudySmarter Originals

    Carré, StudySmarter Originals

    Rectangle

    Rectangle, StudySmarter Originals

    Rectangle, StudySmarter Originals

    Parallélogramme

    Parallélogramme, StudySmarter Originals

    Parallélogramme, StudySmarter Originals

    Trapèze

    Trapezium, StudySmarter Originals

    Trapèze, StudySmarter Originals

    Losange

    Losange, StudySmarter Originals

    Losange, StudySmarter Originals

    Cerf-volant

    Cerf-volant, StudySmarter Originals

    Cerf-volant, StudySmarter Originals

    Propriétés des quadrilatères

    En regardant notre tableau précédent, il y a quatre caractéristiques que tous les quadrilatères ont en commun. En les énumérant ci-dessous, nous pouvons dire que chaque quadrilatère a

    1. Quatre côtés ;

    2. Quatre sommets ;

    3. deux diagonales ;

    4. La somme de tous leurs angles intérieurs est de 360o.

    Bien que tous les quadrilatères aient les mêmes qualités de base, les mesures de leurs côtés et de leurs angles diffèrent les unes des autres. Dans le tableau ci-dessous, nous allons décrire les caractéristiques distinctes des six quadrilatères présentés précédemment.

    Quadrilatère

    Côtés

    Côtés parallèles

    Angles

    Angles droits

    Diagonales

    Carré

    Square, StudySmarter Originals

    Carré, StudySmarter Originals

    A 4 côtés égaux

    A 2 paires de côtés parallèles

    A 4 angles égaux

    A 4 angles droits

    A 2 diagonales égales qui sont perpendiculaires et se coupent en deux

    Rectangle

    Rectangle, StudySmarter Originals

    Rectangle, StudySmarter Originals

    A des côtés opposés de même longueur

    A 2 paires de côtés parallèles

    A 4 angles égaux

    A 4 angles droits

    A 2 diagonales égales qui se coupent en deux

    Parallélogramme

    Parallélogramme, StudySmarter Originals

    Parallélogramme, StudySmarter Originals

    A des côtés opposés de même longueur

    A 2 paires de côtés parallèles

    A des angles opposés de même mesure

    Aucun

    Possède 2 diagonales non égales qui se coupent en deux

    Trapèze

    Trapezium, StudySmarter Originals

    Trapèze, StudySmarter Originals

    • Pattes: Les côtés qui ne sont pas parallèles entre eux

    • S'il y a deux jambes égales, on parle de trapèze isocèle.

    • Bases: Les côtés qui sont parallèles entre eux

    • Possède une paire de côtés parallèles (généralement les bases).

    • S'il n'y a pas d'angles (ou de côtés) de même mesure, on parle de trapèze scalène.

    • S'il y a deux angles obtus opposés, on parle de trapèze obtus.

    • S'il y a deux angles aigus adjacents, on l'appelle un trapèze aigu.

    S'il y a deux angles droits adjacents, on parle de trapèze droit.

    Trapèze droit, StudySmarter Originals

    Trapèze droit, StudySmarter Originals

    Si les diagonales sont de même longueur, il s'agit d'un trapèze isocèle.

    Trapèze isocèle, StudySmarter Originals

    Trapèze isocèle, StudySmarter Originals

    Losange

    Losange, StudySmarter Originals

    Losange, StudySmarter Originals

    A 4 côtés égaux

    A 2 paires de côtés parallèles

    A des angles opposés de mesures égales

    Aucun

    Possède 2 diagonales non égales qui sont perpendiculaires et se coupent en deux.

    Cerf-volant

    Cerf-volant, StudySmarter Originals

    Cerf-volant, StudySmarter Originals

    Possède deux paires de côtés adjacents égaux

    Aucun

    Possède une paire d'angles opposés égaux qui sont obtus

    Aucun

    Possède 2 diagonales non égales qui sont perpendiculaires et se coupent en deux

    Angles des quadrilatères

    Dans cette séquence, nous aborderons les caractéristiques des angles intérieurs et extérieurs d'un quadrilatère. Nous observerons également quelques relations notables entre leurs angles opposés et adjacents.

    Angles intérieurs d'un quadrilatère

    Nous avons déjà mentionné que la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est égale à 360°. Comme un quadrilatère est un type de polygone, nous pouvons prouver cette affirmation en utilisant la formule suivante.

    Formule de la somme des angles intérieurs

    Pour un polygone ayant n nombre de côtés, la somme de ses angles intérieurs, S est égale à

    \N-[S=(n-2)\Nfois 180º]

    Puisqu'un quadrilatère a quatre côtés, alors \N(n = 4\N) et donc

    \N- [S=(4-2)\Nfois 180º\N]

    \N- [\Nimplique que S=2 fois 180 \N]

    \N- [S=360º]

    Ainsi, nous avons montré que la somme de tous les angles intérieurs d'un quadrilatère est égale à \(360º\).

    Nommer un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Angles intérieurs d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Dans le rectangle ci-dessus, \N(\Nangle SPQ + \Nangle PQR + \Nangle QRS + \Nangle RSP = 360º\N).

    Angles adjacents des quadrilatères

    Deux angles situés côte à côte sont appelés angles adjacents. Les angles adjacents font souvent appel à deux concepts importants, à savoir

    1. Angles supplémentaires : Deux angles adjacents sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à \(180º\).

    2. Angles complémentaires :Deux angles adjacents sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à \(90º\).

    Ces deux idées peuvent également s'appliquer aux quadrilatères. Observons le losange ci-dessous.

    Angles supplémentaires d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Angles complémentaires d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Le segment de droite \(CBX\) est composé de \(\angle ABC\) (angle intérieur du losange) et \(\angle ABX\) (angle extérieur du losange). L'angle d'une ligne droite est toujours \N(180º). Comme \N(\Nangle ABC\N) et \N(\Nangle ABX\N) se trouvent sur cette droite et sont adjacents l'un à l'autre, ce sont des angles supplémentaires. Disons qu'on nous donne \N(\Nangle CBA = 114º). Pour trouver \N(\Nangle ABX\N), nous pouvons effectuer le calcul suivant.

    \N- [\Nangle ABC + \Nangle ABX=\Noverline{CBX}\N]

    \N- [\Nimplique que \Nl'angle ABC+114º=180º\N]

    \[\implies \angle ABC=180º-114º\]

    \N- [\N- \N- \Nimplique l'angle ABC=66º]

    Donc, \N(\Nangle ABX=66º\N). Jetons maintenant un coup d'œil au rectangle ci-dessous.

    Nommer un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Angles complémentaires d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Étant donné les propriétés d'un rectangle, nous savons que chaque angle intérieur est égal à 90°. Disons \(\angle RSQ = 22º). On nous demande maintenant de trouver \N(\Nangle PSQ\N). Pour cela, il suffit de noter que la somme de \N(\Nangle RSQ\N) et de \N(\Nangle PSQ\N) est égale à \N(90º\N) puisqu'ils sont adjacents et forment un angle droit. Ainsi, \N(\Nangle PSQ\N) est égal à \N(68º) puisque

    \N- [\Nangle PSQ + \Nangle RSQ=\Nangle PSR\N]

    \N- [\N- Implique \N-angle PSQ+22º=180º\N]

    \[\implies \angle PSQ=180º-22º\]

    \[\implies \angle PSQ=68º\]

    Angles extérieurs d'un quadrilatère

    La somme des angles extérieurs d'un polygone est égale à \(360º). Cela signifie que la somme des angles extérieurs d'un quadrilatère est également égale à 360°. Pour le démontrer, revenons à notre rectangle précédent et traçons une ligne droite prolongée à chaque sommet.

    Angles extérieurs d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Angles extérieurs d'un quadrilatère, StudySmarter Originals


    Les angles intérieurs de ce rectangle sont \N(\N-angle SPQ\N), \N(angle PQR\N), \N(angle QRS\N) et \N(angle RSP\N), tandis que les angles extérieurs sont \N(\N-angle W\N), \N(\N-angle X\N), \N(\N-angle Y\N) et \N(\N-angle Z\N). Remarque que chaque angle intérieur correspond à un angle extérieur qui leur est adjacent et qui se trouve sur une ligne droite. Rappelle-toi que l'angle d'une ligne droite est \N(180º). Nous avons donc quatre ensembles d'angles supplémentaires. Dans ce cas, les angles extérieurs sont également égaux puisque les angles intérieurs sont tous égaux. Résolvons l'un de ces angles extérieurs pour prouver ce que nous avançons.

    \[\N-angle PQR=\Nangle X=\Noverline{RQA}\N]

    \N- [\N-implique que l'angle PQR+90º=180º]

    \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

    \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

    Puisque \N(\Nangle X = \Nangle Y = \Nangle Z = \Nangle W= 90º\N), alors \N(\Nangle X + \Nangle Y + \Nangle Z + \Nangle W = 9(90º)= 360º\N), comme demandé.

    Angles verticalement opposés des quadrilatères

    Les anglesverticalement opposés sont deux angles (opposés) construits par deux lignes droites qui se croisent et qui partent d'une paire de sommets distincts. Les angles opposés verticalement sont toujours égaux entre eux. Reporte-toi à notre rectangle ci-dessus, O étant le point d'intersection entre les deux diagonales.

    Angles verticalement opposés d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Angles verticalement opposés d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Ici, \(\angle POQ\) et \(\angle SOR\) sont des angles verticalement opposés. Ainsi, \N(\angle POQ = \Nangle SOR). De même, \N(\Nangle POS\N) et \N(\Nangle QOR\N) sont des angles verticalement opposés et donc \N(\Nangle POS = \Nangle QOR\N). Le même concept s'applique aux carrés, aux rectangles, aux parallélogrammes, aux losanges et aux cerfs-volants (essaie toi-même !).

    Angles correspondants des quadrilatères

    Lesangles correspondants sont formés lorsque deux lignes parallèles sont coupées par la ligne transversale. Une ligne transversale est une ligne qui traverse une paire de lignes sur le même plan en deux points spécifiques . Les angles correspondants sont toujours égaux entre eux. Démontrons-le avec le parallélogramme ci-dessous.

    Angles correspondants d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Angles correspondants d'un quadrilatère, StudySmarter Originals

    Ici, \(\angle ADC\) (angle intérieur du parallélogramme) et \(\angle XAB\) (angle extérieur du parallélogramme) sont des angles correspondants puisque la ligne \(DAX\) passe par les côtés parallèles \(AB\) et \(DC\). Ainsi, \N(\Nangle ADC = \Nangle XAB\N).

    De même, \N(\Nangle BCD\N) et \N(\Nangle YBA\N) sont des angles correspondants puisque la ligne \N(CBY\N) traverse les côtés parallèles \N(AD\N) et \N(BC\N). Par conséquent, \N(\Nangle BCD = \Nangle YBA\N). Ce concept s'applique également aux carrés, aux rectangles et aux losanges (essaie !).

    Périmètre des quadrilatères

    Le périmètre d'un quadrilatère est défini comme la longueur totale de ses limites. En d'autres termes, c'est la somme de tous ses côtés. Par conséquent, pour un quadrilatère \(ABCD\)

    Le périmètre des quadrilatères, StudySmarter Originals

    Le périmètre des quadrilatères, StudySmarter Originals

    dont les côtés sont \N(AB\N), \N(BC\N), \N(CD\N) et \N(DA\N), le périmètre, \N(P\N) est le suivant

    \[P=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\]

    ou

    \N- [P=a+b+c+d\N]

    Voici deux exemples.

    Trouve le périmètre du parallélogramme ci-dessous.

    Exemple 1, StudySmarter Originals

    Exemple 1, StudySmarter Originals

    Solution

    Pour résoudre ce problème, il suffit d'additionner les dimensions des quatre côtés de ce parallélogramme.

    \[P=17+17+11+11\]

    \N- [\Nimplique que P=2(17)+2(11)\N]

    \N- [\N- P=34+22\N]

    \N- [\N-implique P=56\N,\Nmathrm{cm}\N]

    Ainsi, son périmètre est de \(56 \N,\Nmathrm{cm}\N).

    Calcule la longueur du côté manquant, \(x\) du trapèze ci-dessous étant donné que le périmètre est \(51\,\mathrm{cm}\).

    Exemple 2, StudySmarter Originals

    Exemple 2, StudySmarter Originals

    Solution

    En utilisant la formule du périmètre d'un quadrilatère, nous trouvons que

    \N- [P=8+12+13+x\N]

    \N- [\N-implique 51=8+12+13+x\N]

    \[\implies 8+12+13+x=51\]

    En faisant passer \N(8\N), \N(12\N) et \N(13\N) dans le côté droit de cette équation, faisant ainsi de \N(x\N) le sujet, nous obtenons

    \[x=51-8-12-13\]

    \N- [\Nimplique que x=18\N,\Nmathrm{cm}\N]

    Par conséquent, la longueur du côté manquant, \(x\) est \(18\, \mathrm{cm}\).

    Aire des quadrilatères

    La surface d'un quadrilatère est décrite par l'espace compris dans ses limites. Chacun des six types de quadrilatères que nous avons vus ci-dessus a sa propre formule d'aire. Le tableau ci-dessous présente leurs formules respectives.

    Quadrilatère

    Surface

    Carré

    Surface d'un carré, StudySmarter Originals

    Surface d'un carré, StudySmarter Originals

    \N- [A=a\Nfois a=a^2\N]

    où \(a\) est la longueur de chaque côté.

    Rectangle

    Surface d'un rectangle, StudySmarter Originals

    Surface d'un rectangle, StudySmarter Originals

    \N- [A=a\Nfois b\N]

    où \(a\) et \(b\) sont les longueurs de la largeur et de la hauteur, respectivement.

    Parallélogramme

    Aire d'un parallélogramme, StudySmarter Originals

    Surface d'un parallélogramme, StudySmarter Originals

    \N- [A=a\Nfois h\N]

    où \(a\) et \(h\) sont respectivement les longueurs de la largeur et de la hauteur.

    Trapèze

    Surface d'un trapèze, StudySmarter Originals

    Surface d'un trapèze, StudySmarter Originals

    \[A=\dfrac{1}{2}\times (a+b)\times h\]

    où \(a\) et \(b\) sont les longueurs des bases (côtés parallèles supérieur et inférieur) et h est la hauteur.

    Losange

    Surface d'un losange, StudySmarter Originals

    Surface d'un losange, StudySmarter Originals

    \[A=\dfrac{1}{2}\times d_1\times d_2\]

    où \(d_1\) et \(d_2\) sont les longueurs de la diagonale verticale et de la diagonale horizontale, respectivement.

    Cerf-volant

    Surface d'un cerf-volant, StudySmarter Originals

    Surface d'un cerf-volant, StudySmarter Originals

    \[A=\dfrac{1}{2}\times d_1\times d_2\]

    d1 et d2 sont respectivement les longueurs de la diagonale verticale et de la diagonale horizontale.

    Voyons deux exemples concrets.

    Trouve l'aire du trapèze ci-dessous.

    Exemple 3, StudySmarter Originals

    Exemple 3, StudySmarter Originals

    Solution

    À partir du diagramme ci-dessus, nous pouvons déduire que

    \N- [a = 21\N, \Nmathrm{cm}\N]

    \N- [b = 15\N, \Nmathrm{cm}\N]

    \N- [h = 13\N, \Nmathrm{cm}\N]

    En utilisant la formule de l'aire d'un trapèze, nous obtenons maintenant

    \[A=\dfrac{1}{2}\times (21+15)\times 13\]

    \[\N-implique que A=\Ndfrac{1}{2}\Nfois (36)13\N]

    \[\implies A=\dfrac{1}{2}\times 468\]

    \[\implies A=234\,\mathrm{cm}^2\]

    Remarque importante: ne te laisse pas tromper par la longueur des bases et des pattes ! Les côtés parallèles sont les bases que nous utiliserons dans notre formule.

    La surface est donc \(234\, \mathrm{cm}^2\).

    Trouve la longueur de la diagonale horizontale d du losange ci-dessous, sachant que sa surface est de (123,5).

    Exemple 4, StudySmarter Originals

    Exemple 4, StudySmarter Originals

    Solution

    Ici, la diagonale verticale est \N(13\N,\Nmathrm{cm}\N). En utilisant la formule de l'aire d'un losange, nous trouvons que

    \[A=\dfrac{1}{2}\times 13\times d\]

    \[\N-implique 123,5=\Ndfrac{1}{2}\N-times 13\N-times d\N]

    \[\implies \dfrac{13\times d}{2}=123.5\]

    En multipliant les deux côtés par \(2\), nous obtenons

    \[\cancel{2}\left(\dfrac{13\times d}{\cancel{2}}\right)=2(123.5)\]

    \N- [\N-implique 13d=247\N]

    En divisant les deux côtés par \(13\), nous obtenons

    \[\dfrac{\cancel{13}d}{\cancel{13}}=\dfrac{247}{13}\]

    \N-[\N-implique d=19\N,\Nmathrm{cm}\N].

    Ainsi, la longueur de la diagonale horizontale, \(d\) est \(19\, \mathrm{cm}\).

    Exemples impliquant des quadrilatères

    Nous terminerons ce sujet avec plusieurs exemples de quadrilatères qui utilisent les concepts que nous avons établis tout au long de cette discussion.

    Étant donné le cerf-volant ABCD ci-dessous, réponds aux questions suivantes :

    1. Trouve les côtés manquants \N(AD\N) et \N(AB\N), étant donné que le périmètre est \N(88\N,\Nmathrm{cm}\N).

    2. Calcule les angles manquants \N(M) et \N(N).

    3. L'un de ces côtés est-il parallèle à l'autre ?

    Exemple 5, StudySmarter Originals

    Exemple 5, StudySmarter Originals

    Question 1

    Tout d'abord, note que \(AD = AB\) puisqu'un cerf-volant a deux paires de côtés adjacents égaux (l'autre étant \(CB = CD\)).

    \N- [AD=AB\N]

    \N- [\N-implique x-2=y-4\N]

    \N- [\N-implique que y=x-2+4\N]

    \[\implies y=x+2\]

    Maintenant, étant donné le périmètre et la somme de tous ses côtés, nous obtenons

    \N- [P=AB+AD+CD+CD\N]

    \[\implies 88=(y-4)+(x-2)+32+32\]

    \N- [\N-implique 88=y+x-6+64\N]

    En substituant maintenant pour \N(y\N) et en résolvant cette équation pour \N(x\N), nous obtenons

    \N- 88=(x+2)+x-6+64\N]

    \N- [\Nimplique que (x+2)+x-6+64=88\N]

    \[\N-implique 2x+60=88\N]

    \N- [\N-implique 2x=88-60\N]

    \[\implies 2x=28\]

    Maintenant, en divisant les deux côtés par \(2\), nous avons

    \[x=\dfrac{28}{2}\]

    \N-[\N-implique x=14\N]

    Ainsi, les longueurs de \(AB\) et \(AD\) sont les suivantes

    \N- AB=y-4\N

    \N- AB=(x+2)-4\N]

    \[\implies AB=(14+2)-4\]

    \[\implies AB=12\,\mathrm{cm}\]

    Puisque \(AB = AD\), alors \(AD\) est aussi \(12\, \mathrm{cm}\).

    Question 2

    Rappelle-toi qu'un cerf-volant a une paire d'angles opposés égaux qui sont obtus. Cela signifie que \N(M = N\N). De plus, les mesures des deux autres angles sont données et la somme de tous les angles intérieurs d'un quadrilatère est \N(360º). À partir de là, nous trouvons que

    \N- [\Nangle DAB+\Nangle BCD+\Nangle M+\Nangle N=360 \N]

    \N- [\Nimplique 102º+51+\Nangle M+\Nangle N=360º\N]

    \Nimplique 153º+2\Nangle M=360º\N]

    En résolvant maintenant pour \N(M\N), nous obtenons

    \N- [2\Nangle M=360º-153º]

    \N- [\Nimplique 2\Nangle M=207º]

    \[\implies \angle M=\dfrac{207º}{2}\]

    \[\implies \angle M=103,5º\]

    Ainsi, \N(M\N) et \N(N\N) sont tous deux égaux à \N(103,5º\N) (puisque \N(M = N\N)).

    Question 3

    D'après les propriétés d'un cerf-volant, aucun de ses côtés n'est parallèle à un autre.

    Étant donné le parallélogramme \(ABCD\) ci-dessous, réponds aux questions suivantes :

    1. Trouve la longueur de \(AB\) étant donné que le périmètre est \(40\, \mathrm{cm}\).

    2. Calcule la surface de \N(ABCD).

    3. Déduis l'angle \N(Y\N).

    Exemple 6, StudySmarter Originals

    Exemple 6, StudySmarter Originals

    Question 1

    Tout d'abord, note que \(AB = DC\) et \(AD = BC\) puisqu'un parallélogramme a deux paires de côtés opposés égaux. Étant donné le périmètre et la somme de tous ses côtés, on obtient

    \N- [P=AB+AD+CD+CD\N]

    \N- [\N-implique 40=x+9+x+9\N]

    \N- [\N-implique 40=2x+18\N]

    En résolvant cette équation pour \(x\), nous obtenons

    \[2x=40-18\]

    \N- [\N-implique 2x=22\N]

    \[\implies x=\dfrac{22}{2}\]

    \N- [\Nimplique x=11\N,\Nmathrm{cm}\N]

    Ainsi, la longueur de \N(AB\N) est \N(11\N, \Nmathrm{cm}\N).

    Question 2

    Ici, la hauteur est \N(7\N, \Nmathrm{cm}\N) et la largeur est la longueur du côté \N(AB\N). Nous savons que \N(AB\N) est égal à \N(11\N, \Nmathrm{cm}\N). Ainsi, d'après la formule de l'aire d'un parallélogramme, nous avons

    \N- [A=11\Nfois 7\N]

    \N-[\N-implique 77\N,\Nmathrm{cm}^2\N].

    Ainsi, l'aire de \(ABCD\) est \(77\N,\Nmathrm{cm}^2\N).

    Question 3

    Dans ce cas, \N(angle BCD\N) et \N(angle Y\N) sont complémentaires puisque ces deux angles sont sur une ligne droite. Rappelle-toi que deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à \(180º\N). En utilisant cette idée, nous trouvons que

    \N- [\Nangle BCD+\Nangle Y=180º\N]

    \N- [\Nimplique 114º+\Nangle Y=180º\N]

    Maintenant, en réarrangeant cette équation et en la résolvant pour l'angle manquant, nous obtenons

    \N- [\N-angle Y=180º-114º]

    \N- [\Nimplique \Nl'angle Y=66º]

    Ainsi, \N(Y\N) est égal à \N(66º\N).

    Étant donné le rectangle \(PQRS\) ci-dessous, réponds aux questions suivantes :

    1. Trouve le périmètre et l'aire de \(PQRS\).

    2. Calcule la longueur de la diagonale \(QS\).

    3. Quelle est la taille de \(\angle QSR\) ?

    Exemple 7, StudySmarter Originals

    Exemple 7, StudySmarter Originals

    Question 1

    Tout d'abord, note que \(PQ = SR\) et \(PS = QR\) puisqu'un rectangle a deux paires de côtés opposés égaux. Maintenant, en additionnant les longueurs de tous ses côtés, on obtient

    \N- [P=PQ+QR+SR+PS\N]

    \[\N-implique P=15+8+15+8\N-implique P=15+8+8\N-implique P=15+8+15+8\N]

    \N- [\Nimplique que P=46\N,\Nmathrm{cm}\N]

    Ici, la longueur est de \(15\N,\Nmathrm{cm}\N) et la hauteur de \N(8\N,\Nmathrm{cm}\N). Donc, en utilisant la formule de la surface d'un rectangle, nous trouvons que

    \N- [A=15\Nfois 8\N]

    \[\implies A=120\,\mathrm{cm}^2\]

    Ainsi, le périmètre est \N(46\N, \Nmathrm{cm}\N) et la surface est \N(120\N,\Nmathrm{cm}^2\N).

    Question 2

    Par les propriétés d'un rectangle, rappelle-toi qu'il a 4 angles droits. Remarquez que la diagonale \(QS\) crée un triangle à angle droit \(QRS\) où \(\angle QRS\) est égal à \(90º\). Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de \(QS\). Ici, \N(QS\N) est l'hypoténuse et les deux côtés sont \N(QR = 8\N,\Nmathrm{cm}\Net \N(SR = 15\N,\Nmathrm{cm}\N)et \N(SR = 15\N,\Nmathrm{cm}\Net \Nmathrm{cm}). En procédant ainsi, nous obtenons

    \N- [QS^2=QR^2+SR^2\N]

    \N- [\Nimplique que QS^2=8^2+15^2\N]

    \N- [QS^2=64+225\N]

    \N- [\Nimplique que QS^2=289\N]

    Nous ne considérerons que la racine positive puisqu'il s'agit de mesures. Dans ce cas

    \[QS=\sqrt{289}\]

    \[\implies QS=17\,\mathrm{cm}\]

    Ainsi, la diagonale, \N(QS\N) est égale à \N(17\N,\Nmathrm{cm}\N).

    Question 3

    Ici, \(\angle PSQ\) et \(\angle QSR\) sont complémentaires puisque ces deux angles sont à angle droit. Rappelle que deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à \(90º\). Avec cela, nous avons

    \N-angle PSQ+angle QSR=90º\N-angle PSQ+angle QSR=90º\N-angle PSQ+angle QSR=90º\N]

    \N- [\N-implique 66º+\Nangle QSR=90º]

    Maintenant, en réarrangeant cette équation et en la résolvant pour l'angle manquant, nous obtenons

    \N- [\Nangle QSR=90º-66º]

    \N- [\Nimplique \Nl'angle QSR=24º]

    Ainsi, \N(\Nangle QSR) est égal à \N(24º).

    Quadrilatères - Points clés

    • Un quadrilatère est un polygone ayant quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.
    • Un quadrilatère a deux diagonales.
    • La somme de tous les angles intérieurs d'un quadrilatère est égale à 360°.
    • Il existe six types de quadrilatères : le carré, le rectangle, le parallélogramme, le trapèze, le losange et le cerf-volant.
    • Le périmètre d'un quadrilatère est la somme de tous ses côtés, c'est-à-dire \(P = a + b + c + d\).
    • Formule d'aire pour les quadrilatères

      Quadrilatère

      Surface

      Carré

      \N(A=a\Nfois a=a^2\N)

      Rectangle

      \N(A=a\Nfois b\N)

      Parallélogramme

      \N(A=a\Nfois h\N)

      Trapèze

      \(A=\dfrac{1}{2}\times (a+b)\times h\)

      Losange

      \(A=\dfrac{1}{2}\times d_1\times d_2\)

      Cerf-volant

      \(A=\dfrac{1}{2}\times d_1\times d_2\)

    Quadrilatères Quadrilatères
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    Questions fréquemment posées en Quadrilatères
    Qu'est-ce qu'un quadrilatère en mathématiques?
    Un quadrilatère est une figure géométrique à quatre côtés.
    Quels sont les types de quadrilatères?
    Les types de quadrilatères incluent le carré, le rectangle, le losange, le trapèze et le parallélogramme.
    Comment calculer la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère?
    La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est toujours de 360 degrés.
    Comment reconnaître un parallélogramme?
    Un parallélogramme a des côtés opposés parallèles et de même longueur.

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