Tracer des fonctions rationnelles: Exemples, Méthodes

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Les fonctionsrationnelles sont des fonctions exprimées sous forme de fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

Rappelle que les fonctions polynomiales sont des fonctions contenant des variables à coefficients. Par exemple, la fonction $y = x^{5} + 6 x^{3} + 2 x + 9$ est une fonction polynomiale.

Les fonctions suivantes sont des fonctions rationnelles :

$y = \frac{x^{3} - x + 1}{x + 1}$ , $y = \frac{1}{x + 1}$ , $y = \frac{x^{7} - 20}{x}$ , $y = \frac{x - 1}{x + 9}$ .

Les fonctions suivantes ne sont pas rationnelles :

$y = \sin (x)$ , $y = 2 \log (x) + 1$

Comme il s'agit de fractions, nous devons être conscients que le dénominateur ne peut pas être nul et nous devons donc faire attention aux points uniques ou aux valeurs qui pourraient ne pas être valides.

La fonction $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ est rationnelle car elle est exprimée sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions polynomiales. Cependant, si nous examinons spécifiquement la fonction lorsque $x = 1$ nous remarquons un problème. Comme il est impossible de diviser par zéro, nous remarquons que la fonction est indéfinie. Dans la section ci-dessous, nous parlerons de la façon dont nous pouvons représenter ces parties indéfinies en les représentant sous forme d'asymptotes.

Représentation graphique des fonctions rationnelles avec des asymptotes horizontales et verticales

La première chose dont nous devons parler dans notre discussion sur les graphiques des fonctions rationnelles est l'idée d'une asymptote.

Les asymptotes sont des lignes dont une courbe peut s'approcher à l'infini sans jamais l'atteindre. Elles peuvent être verticales, horizontales ou obliques .

Les asymptotes sont représentées sous forme de lignes pointillées. Une asymptote est verticale lorsque la courbe s'approche de l'infini lorsque x s'approche d'une certaine valeur constante . Une asymptote est horizontale lorsque la courbe s'approche d'une certaine valeur constante lorsque x tend vers l'infini. Les asymptotes obliques sont de la forme $y = m x + b$ où m et b sont des constantes à déterminer. Cependant, dans le cadre de cet article, nous nous concentrerons uniquement sur les asymptotes verticales et horizontales.

Graphique des fonctions rationnelles avec asymptotes horizontales et verticales, Graphique montrant une asymptote verticale et horizontale , Jordan Madge

Graphique montrant une asymptote verticale et horizontale, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ci-dessus se trouve le graphique de $y = \frac{x + 1}{x + 4}$ . On peut voir une asymptote verticale à $x = - 4$ puisque le graphique tend vers cette ligne mais ne l'atteint jamais tout à fait. De même, on peut voir une asymptote horizontale à $y = 1$ . Dans la prochaine section, nous apprendrons à déterminer les asymptotes verticales et horizontales pour n'importe quel graphique.

Déterminer les asymptotes verticales et horizontales

La détermination des asymptotes verticales et horizontales d'une fonction rationnelle est une étape clé de la représentation graphique des fonctions rationnelles. La méthode pour trouver une asymptote verticale est différente de celle pour trouver une asymptote horizontale, c'est pourquoi nous allons passer en revue les deux méthodes ici.

Trouver des asymptotes verticales

Comme nous l'avons déjà mentionné, une asymptote verticale est une valeur de x vers laquelle un graphique tendra mais qu'il n'atteindra jamais tout à fait, car si c'est le cas, cela entraînera des problèmes de divisibilité par zéro. Par conséquent, pour trouver les asymptotes verticales, nous devons fixer le dénominateur à zéro et résoudre x.

Trouve l'asymptote verticale de la fonction $y = \frac{2 x + 9}{x + 3}$

Solution :

En ramenant le dénominateur à zéro, on obtient que $x + 3 = 0$ et donc $x = - 3$ .

Trouve les asymptotes verticales de la fonction $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Solution :

En ramenant le dénominateur à zéro, on obtient que $(x^{2} - 9) = 0$ et en factorisant, on obtient $(x + 3) (x - 3) = 0$ . Ensuite, en utilisant la propriété du produit nul, $x = 3, x = - 3$ sont les équations des deux asymptotes verticales.

Trouve les asymptotes verticales de la fonction $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ .
Solution :

En ramenant le dénominateur à zéro, on obtient $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ et en factorisant, on obtient $(x + 3) (x + 2) = 0$ . Ensuite, en utilisant la propriété du produit nul $x = - 3, x = - 2$ sont les équations des deux asymptotes verticales.

Trouver des asymptotes horizontales

Pour trouver les asymptotes horizontales, nous devons déterminer la ou les valeurs vers lesquelles la fonction tend lorsque x s 'approche de $\pm \infty$ . Pour établir une méthode permettant de trouver ces valeurs, nous devons d'abord définir un terme clé : le degré d' un polynôme. Le degré d'un polynôme est l'ordre de la puissance la plus élevée. Ainsi, le polynôme $x^{3} + 3 x + 7$ est un polynôme de degré 3 car l'ordre de la puissance la plus élevée est 3.

Il existe trois cas possibles pour déterminer les asymptotes horizontales, résumés dans le tableau ci-dessous.

Cas	Degré du numérateur	Asymptote horizontale
1	Le degré du numérateur est le même que celui du dénominateur.	L'asymptote horizontale est trouvée en divisant les coefficients de la plus grande puissance de x.
2	Le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur.	L'asymptote horizontale se trouve à $y = 0$
3	Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur.	Il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Trouve l'asymptote horizontale, s'il y en a une, pour la fonction $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 3 x + 9}$ .

Solution:

Dans ce cas, le degré du numérateur est 2 et le degré du dénominateur est également 2. Puisque le degré du numérateur est le même que celui du dénominateur, l'asymptote horizontale est trouvée en divisant les coefficients de la plus grande puissance de x. Dans ce cas, le coefficient de $x^{2}$ est égal à 1 au numérateur et au dénominateur et l'asymptote horizontale est donc $y = 1$ .

Trouve l'asymptote horizontale, s'il y en a une, pour la fonction $y = \frac{4 x + 9}{x^{3} + 3 x + 9}$ .

Solution:

Puisque le degré du numérateur est 1 et que le degré du dénominateur est 3, nous avons le cas 2 et donc l'asymptote horizontale est juste... $y = 0$ .

Trouve l'asymptote horizontale, s'il y en a une, pour la fonction id="5213864" role="math" $y = \frac{x^{7} - 1}{x^{4} - 1}$ .

Solution:

Puisque le degré du numérateur est 7 et que le degré du dénominateur est 4, nous avons le cas 3. Il n'y a donc pas d'asymptote horizontale puisque la fonction se rapprochera de l'infini .

Intercepts du graphique

Intervalles des ordonnées et zéros

Une autre étape clé de la représentation graphique des fonctions rationnelles consiste à trouver les ordonnées du graphique. En général, pour représenter graphiquement une fonction, rationnelle ou non, il est utile de trouver les ordonnées du graphique. L'ordonnée à l'origine peut être trouvée en trouvant la valeur de x lorsque $y = 0$ et l'ordonnée à l'origine peut être trouvée en trouvant la valeur de y lorsque $x = 0$ . Un autre terme pour désigner l'ordonnée à l'origine est le zéro d'un graphique.

Trouve les ordonnées x et y de la fonction dont l'équation est la suivante $y = \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x + 1}$

Solution :

Lorsque $y = 0$ , on obtient $\frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x + 1} = 0$ . En multipliant les deux côtés par $3 x + 1$ , on obtient $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ , puis en factorisant ce résultat, on obtient $(x + 9) (x + 1) = 0$ . En utilisant la propriété du produit nul, nous pouvons voir que les ordonnées à l'origine sont à $(- 9, 0)$ et $(- 1, 0)$ .

Lorsque $x = 0$ , nous pouvons voir que $y = \frac{0^{2} + 10 (0) + 9}{3 (0) + 1} = 9$ et donc l'ordonnée à l'origine se trouve à $(0, 9)$ .

Représentation graphique des fonctions rationnelles Exemples

Nous avons jusqu'à présent abordé quelques concepts clés concernant les graphiques des fonctions rationnelles, nous allons donc maintenant les rassembler pour déterminer comment représenter graphiquement une fonction rationnelle . Regarde les étapes de la représentation graphique des fonctions rationnelles.

Étape 1 : Trouve les asymptotes de la fonction rationnelle.

Étape 2 : Dessine les asymptotes. Elles sont représentées par des lignes en pointillés plutôt que par des lignes pleines.

Étape 3 : Trouve les ordonnées x et y de la fonction rationnelle (Note qu'il peut ne pas y avoir d'ordonnées x ou y).

Étape 4 : Choisis quelques valeurs de x et trouve les valeurs correspondantes de y. Choisis des valeurs entières de x qui tombent des deux côtés de l'asymptote verticale .

Étape 5 : Trace les intercepts et les points et dessine une courbe lisse .

Trace le graphique de la fonction rationnelle $y = \frac{x + 16}{2 x + 8}$ .

Solution :

Pour répondre à cette question, nous allons passer par les étapes ci-dessus.

Étape 1 : Trouve les asymptotes.

En égalant le dénominateur à zéro, nous trouvons que $2 x + 8 = 0$ et donc $x = - 4$ . Par conséquent, nous avons une asymptote verticale à $x = - 4$ . Note que le degré du numérateur et du dénominateur est 1 et que nous avons donc une asymptote horizontale à $y = \frac{1}{2}$ .

Étape 2 : Dessine les asymptotes.

Ci-dessous, les asymptotes sont esquissées à l'aide de lignes pointillées.

Exemple de graphique de fonctions rationnelles, montrant les asymptotes, Jordan Madge Exemple montrant les asymptotes, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Étape 3 : Trouve les points d'intersection x et y.

Quand $x = 0$ , $y = \frac{0 + 16}{2 (0) + 8} = 2$ .

Lorsque $y = 0$ , $\frac{x + 16}{2 x + 8} = 0$ et donc $x + 16 = 0$ et donc $x = - 16$ .

Ainsi, l'ordonnée à l'origine se trouve à (0,2) et l'abscisse à (-16,0).

Étape 4 : Choisis quelques valeurs de x et trouve donc les valeurs correspondantes de y.

En regardant notre croquis jusqu'à présent, nous avons une asymptote verticale à id="5213865" role="math" $x = - 4$ . Par conséquent, nous devons choisir des valeurs de x des deux côtés de cette asymptote.

x	-8	-6	-2	2	6	8
y	-1	-2.5	3.5	1.5	1.1	1

Étape 5 : Trace les intercepts et les points et dessine une courbe lisse.

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Représentation graphique des fonctions rationnelles - Principaux enseignements

Une fonction rationnelle est une fonction exprimée comme une fraction de deux polynômes.
Les fonctions rationnelles ont souvent des asymptotes.
Une asymptote est une ligne vers laquelle tend une courbe lorsqu'elle tend vers l'infini .
Les asymptotes peuvent être verticales, horizontales ou obliques et sont représentées par des lignes pointillées.
Pour esquisser une fonction rationnelle, tu dois d'abord déterminer les asymptotes et les tracer. Tu dois ensuite déterminer les éventuels points d'intersection du graphique, ainsi que certains points généraux de la courbe. Une fois le graphique tracé, une courbe lisse peut être dessinée à travers les points.

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Questions fréquemment posées en Tracer des fonctions rationnelles

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle ?

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes, c'est-à-dire une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

Comment tracer une fonction rationnelle ?

Pour tracer une fonction rationnelle, identifiez les asymptotes et les zéros, déterminez le comportement à l'infini et tracez les points importants.

Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?

Une asymptote verticale se produit lorsque le dénominateur de la fonction rationnelle est nul car la fonction tend vers l'infini ou moins l'infini.

Comment déterminer les zéros d'une fonction rationnelle ?

Pour trouver les zéros d'une fonction rationnelle, résolvez l'équation où le numérateur est égal à zéro, sans rendre le dénominateur nul.

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