Dérivation des équations: Calcul, Fonction

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La raison d'être de la résolution d'une équation est d'essayer de trouver une solution. Dans les questions, cette "chose" que tu essaies de découvrir est souvent représentée par une variable telle que $x$ ou $y$ . Cependant, il s'agit simplement d'une abréviation pour une quantité inconnue. $x$ Une variable peut représenter le coût des pommes dans un supermarché, l'âge de la sœur de Jack ou même un angle inconnu dans une forme. Dans cet article, nous ne nous contenterons pas de résoudre des équations, mais nous formerons des équations pour nous montrer à quel point la résolution d'équations peut être utile. Le processus de formation d'une équation s'appelle la dérivation d 'une équation.

Signification de la dérivation d'équations

Nous résolvons souvent des équations, mais qu'est-ce qu'une équation ? Si nous décomposons le mot, nous obtenons equa+tion... "Equa" ressemble un peu à égal. Ainsi, une équation est essentiellement tout ce qui comporte un signe égal ; c'est une déclaration d'égalité entre deux variables. Ainsi, si l'on nous donne une question compliquée impliquant l'égalité de certaines variables, nous pouvons former et résoudre une équation.

En mathématiques, le processus de formation d'une équation ou d'une formule mathématique s'appelle la dérivation. Nous disons que nous dérivons une équation pour nous aider à résoudre quelque chose. Dans la section ci-dessous, nous allons dériver des équations et les résoudre pour calculer une quantité inconnue.

Une variable est une sorte de lettre ou de symbole représentant une valeur inconnue. Nous définissons souvent $x$ et $y$ pour les variables, mais il peut s'agir de n'importe quelle lettre ou symbole représentant une quantité inconnue.

Méthodes de dérivation d'une équation

1. Définir les variables

Pour dériver une équation, tu dois d'abord définir les variables inconnues afin d'établir ce que tu cherches à calculer. Par exemple, si la question te demande de calculer l'âge d'une personne, définis l'âge de la personne comme une lettre telle que $x$ . Si la question te demande de calculer le coût de quelque chose, définis le coût comme une variable telle que $c$ .

2. Identifier des quantités égales

L'étape suivante consiste à déterminer où se trouve le signe égal. Cela peut être explicitement indiqué dans la question, par exemple, "la somme des âges du garçon est égale à 30" ou "le coût de trois pommes est de... $30 p$ ". Cependant, c'est parfois moins évident et tu dois faire preuve d'un peu d'imagination. Par exemple, si nous avons trois angles inconnus sur une ligne droite, que savons-nous ? La somme des angles sur une ligne droite est égale à 180 degrés, nous pourrions donc l'utiliser. Si nous avons un carré ou un rectangle, nous savons que les côtés parallèles sont égaux, et nous pourrions donc aussi utiliser ceci. Dans les exemples des questions ci-dessous, nous allons passer en revue de nombreux types de questions courantes qui impliquent la dérivation d'équations.

Exemples de dérivation d'équations

Dans cette section, nous allons examiner différents types de questions impliquant la dérivation d'équations. Si tu suis bien, tu devrais pouvoir t'entraîner à dériver des équations.

Trouver les longueurs et les angles manquants

Sur la ligne droite ci-dessous, calcule la valeur de l'angle DBC.

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Solution :

Ici, nous avons une ligne droite avec des angles manquants. Or, nous savons que la somme des angles d'une droite est égale à 180 degrés. Par conséquent, nous pouvons dire $2 a + 3 + 90 + 6 a - 1 = 180$ . En rassemblant les termes similaires, nous pouvons simplifier ce résultat en $8 a + 92 = 180$ . Nous venons donc de dériver une équation ! Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de a et l'appliquer aux angles manquants pour identifier la taille de chacun des angles.

En soustrayant 92 des deux côtés, nous obtenons $8 a = 88$ . Enfin, en divisant les deux côtés par 8, nous obtenons $a = 11 .$

Ainsi, l'angle ABE= $2 \times 11 + 3 = 25 °$ l'angle EBD, dont nous savons déjà qu'il est de 90 degrés, et l'angle DBC= $6 \times 11 - 1 = 65 °$ . Pour répondre à la question initiale, l'angle DBC est de 65 degrés.

Tu trouveras ci-dessous un rectangle. Calcule l'aire et le périmètre de ce rectangle.

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Solution :

Puisque nous avons un rectangle, nous savons que les deux côtés parallèles sont identiques. Ainsi, nous pourrions dire que AB est égal à DC et donc que $2 x + 15 = 7 x + 5$ . Nous avons donc à nouveau dérivé une autre équation. Pour résoudre cette équation, il faut d'abord soustraire $2 x$ des deux côtés pour obtenir $15 = 5 x + 5$ . Soustrais ensuite cinq des deux côtés pour obtenir $10 = 5 x$ . Enfin, divise les deux côtés par 5 pour obtenir $x = 2$ .

Maintenant que nous connaissons la valeur de $x$ nous pouvons calculer la longueur de chacun des côtés du rectangle en substituant la valeur de $x$ dans chacun des côtés. Nous obtenons que les dimensions de AB et DC sont $2 \times 2 + 15 = 19 c m,$ et les longueurs de AD et BC sont $3 \times 2 = 6 c m .$ Puisque le périmètre est la somme de toutes les mesures, le périmètre est de $19 + 19 + 6 + 6 = 50 c m .$ Puisque la surface est $b a s e \times h e i g h t$ on obtient que l'aire est $19 \times 6 = 114 c m^{2}$ .

La hauteur du triangle ABC est $(4 x) c m$ , et la base est $(5 x) c m$ . La surface est $200 c m^{2}$ . Calcule la valeur de $x$ .

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Solution :

Puisque la hauteur est $4 x$ et la base est $5 x$ , la surface est $\frac{1}{2} \times 5 x \times 4 x = 10 x^{2}$ . Maintenant, nous savons que la surface est $200 c m^{2}$ . Ainsi, $10 x^{2} = 200$ et donc $x^{2} = 20$ et ainsi $x = \sqrt{20} = 4.47 c m$

Détermine la taille du plus grand angle dans le triangle ci-dessous.

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Solution :

Puisque la somme des angles dans un triangle est de 180 degrés, nous avons $3 x + 5 + 6 x + 7 + 8 x - 2 = 180^{°}$ . En simplifiant, nous pourrions dire $17 x + 10 = 180^{°}$ . Par conséquent, nous avons dérivé une autre équation, et il ne nous reste plus qu'à la résoudre pour trouver x.

En soustrayant dix des deux côtés, nous obtenons $17 x = 170^{°} .$ Enfin, en divisant les deux côtés par 17, nous obtenons $x = 10^{°}$ .

Puisque nous avons trouvé x, nous pouvons le substituer à chaque angle pour trouver l'angle le plus grand.

Angle BAC= $6 \times 10 + 7 = 67 °$

Angle ACB= $8 \times 10 - 2 = 78 °$

Angle CBA= $3 \times 10 + 5 = 35 °$

Ainsi, l'angle ACB est le plus grand et il mesure 78 degrés.

Calcule la taille de l'angle ABD ci-dessous.

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Solution :

Puisque les angles opposés sont égaux, nous savons que $11 x + 2 = 13 x - 2$

Pour résoudre cette équation, soustrais d'abord $11 x$ des deux côtés pour obtenir $2 = 2 x - 2$ . Ajoute ensuite 2 aux deux côtés pour obtenir $4 = 2 x$ . Enfin, divise les deux côtés par 2 pour obtenir $x = 2$ .

Si l'on substitue $x = 2$ dans les angles, nous obtenons l'angle ABD= $11 \times 2 + 2 = 24 °$ . Comme la somme des angles sur une ligne droite est égale à 180, nous obtenons également l'angle ABC=. $180 - 24 = 156 °$

Dans le schéma ci-dessous, le carré a un périmètre deux fois supérieur à celui du triangle. Calcule l'aire du carré.

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Exemples d'équations dérivées - périmètre d'un triangle et d'un carré, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Le périmètre du triangle est $2 x + 3 x + 2 x + 3$ qui peut être simplifié en $7 x + 3$ . Tous les côtés du carré sont identiques et son périmètre est donc de $5 x + 5 x + 5 x + 5 x = 20 x .$ Le périmètre du carré étant le double de celui du triangle, on a $2 (7 x + 3) = 20 x$ . Si nous développons les parenthèses, nous obtenons $14 x + 6 = 20 x$ . En soustrayant $14 x$ des deux côtés, nous obtenons $6 = 6 x$ et en divisant les deux côtés par six, nous obtenons finalement $x = 1$ . Ainsi, la longueur du carré est de cinq unités et la surface du carré est de . $5 \times 5 = 25 u n i t^{2}$

Equations de mots

Catherine a 27 ans. Son amie Katie a trois ans de plus que son amie Sophie. Son ami Jake est deux fois plus âgé que Sophie. La somme de leurs âges est de 90. Calcule l'âge de Katie.

Solution :

La première chose à reconnaître est que cette question n'a pas beaucoup d'applications dans la vie réelle, et qu'il s'agit plus d'une devinette qu'autre chose. Tu pourrais simplement demander à chacune des amies de Catherine quel âge elles ont dans la vraie vie, mais ce serait beaucoup moins amusant. Cette question nous permet de nous entraîner à former et à résoudre des équations, alors commençons par définir l'âge de Sophie comme suit $x$ .

Si Sophie a $x$ ans, Katie doit avoir $x + 3$ ans puisqu'elle a trois ans de plus que Sophie. Jake doit avoir $2 x$ ans puisqu'il a deux fois l'âge de Sophie. Maintenant, puisque la somme de leurs âges est égale à $90$ nous avons $27 + x + x + 3 + 2 x = 90$ . En simplifiant, on obtient $4 x + 30 = 90$ . En soustrayant 30 des deux côtés, on obtient $4 x = 60$ et en divisant les deux côtés par quatre, on obtient $x = 15$ .

Ainsi, Sophie a 15 ans, donc Katie doit être âgée de $15 + 3 = 18$ ans.

Le coût d'une tablette est de $£ x$ . Un ordinateur coûte $£ 200$ de plus qu'une tablette. Le prix de la tablette et de l'ordinateur est de $£ 2000$ . Calcule le coût de la tablette et de l'ordinateur.

Solution :

Tout d'abord, la tablette a déjà été définie comme étant d'une valeur de $x$ livres. Le coût de l'ordinateur est de $x + 200$ . Puisque le coût de la tablette et de l'ordinateur est de $£ 2000$ on peut dire que $x + x + 200 = 2000$ . En simplifiant, on obtient $2 x + 200 = 2000$ . Nous pouvons donc résoudre ce problème pour trouver le prix de la tablette.

En soustrayant $200$ des deux côtés, nous obtenons $2 x = 1800$ puis en divisant les deux côtés par deux $x = 900 .$ Ainsi, la tablette coûte $£ 900$ et l'ordinateur coûte $900 + 200 = £ 1100$ .

Annabelle, Bella et Carman jouent chacun une partie de dominos. Annabelle a gagné 2 parties de plus que Carman. Bella a gagné 2 parties de plus qu'Annabelle. En tout, ils ont joué 12 parties, et il y a eu un gagnant à chaque partie. Combien de parties chacune d'entre elles a-t-elle gagnées ?

Solution :

Encore une fois, nous pourrions simplement regarder la feuille de score dans la vraie vie. Cependant, pour cet exercice, nous allons former et résoudre une équation...

Définis le nombre de parties gagnées par Carman comme suit $x$ . Ainsi, Annabelle a gagné $x + 2$ parties, et Bella a gagné $x + 2 + 2$ parties. Donc Bella a gagné $x + 4$ jeux. Au total, elles ont joué $12$ jeux, et il y avait un gagnant à chaque jeu, donc $x + x + 2 + x + 4 = 12$ . En simplifiant, on obtient $3 x + 6 = 12$ . En soustrayant six des deux côtés $3 x = 6$ et en divisant les deux côtés par 3, on obtient $x = 2$ . Par conséquent, Annabelle a gagné 4 parties, Bella a gagné 6 parties et Carman a gagné 2 parties.

Dérivation d'équations - Points clés

Une équation est un énoncé comportant un signe égal.
En mathématiques, former une équation ou une formule mathématique s'appelle dériver.
Nous pouvons dériver des équations lorsque nous savons que deux quantités sont égales.
Une fois que nous avons dérivé une équation, nous pouvons la résoudre pour trouver une variable inconnue.

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Questions fréquemment posées en Dérivation des équations

Qu'est-ce que la dérivation en mathématiques ?

La dérivation en mathématiques est le processus consistant à trouver la dérivée d'une fonction, qui mesure le taux de changement de cette fonction.

Comment calculer la dérivée d'une fonction ?

Calculer la dérivée d'une fonction implique l'application de règles de dérivation, comme la règle de puissance, la règle du produit, la règle de la chaîne, etc.

Pourquoi utilise-t-on la dérivation ?

On utilise la dérivation pour analyser des taux de variation instantanée, optimiser des fonctions, et résoudre des problèmes en physique et en ingénierie.

Quelle est la différence entre dérivée et intégrale ?

La différence est que la dérivée mesure le taux de changement d'une fonction, tandis que l'intégrale mesure l'aire sous la courbe d'une fonction.

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