Recherche des zéros rationnels: Algèbre, Calcul

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$2 x y^{4} - 14 x^{3} y^{2} + 8 x y - 6 x^{2} y^{3} = 0$

Cette expression semble plutôt compliquée, n'est-ce pas ? Traiter de longs polynômes peut être assez lourd et peut conduire à des erreurs d'inattention non désirées. Cependant, il existe bel et bien une solution à ce problème. Peux-tu deviner ce que c'est ? Laisse-moi te donner un indice : c'est la factorisation !

Jusqu'à présent, nous avons étudié diverses méthodes de factorisation des polynômes, telles que le regroupement, la reconnaissance des produits spéciaux et l'identification du plus grand facteur commun. Dans cet article, nous allons aborder une autre technique de factorisation des polynômes appelée recherche de zéros rationnels.

Zéros rationnels

Dans cette section, nous visons à trouver les zéros rationnels des polynômes en introduisant le théorème des zéros rationnels. Le but de ce sujet est d'établir une autre méthode de factorisation et de résolution des polynômes en reconnaissant les racines d'une équation donnée. Définissons d'abord les termes ci-dessous.

Le zéro d'un polynôme est défini par toutes les valeurs x qui font que le polynôme est égal à zéro. On l'appelle aussi la racine d'un polynôme.

Unzéro rationnel est un nombre rationnel qui est la racine d'un polynôme qui peut être écrit comme une fraction de deux entiers.

Pour plus de clarté, nous définirons également un zéro irrationnel comme un nombre qui n'est pas rationnel et qui est représenté par une décimale non répétitive à l'infini.

En outre, rappelle la définition de la forme standard d'un polynôme.

Soit f un polynôme de la forme

$f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ,

où $a_{n}, . . ., a_{0}$ sont les coefficients des variables $x^{n}, . . ., x^{0}$ respectivement.

Théorème des zéros rationnels

Si le polynôme f a des coefficients entiers, alors chaque zéro rationnel de f, f(x) = 0, peut être exprimé sous la forme suivante. $\frac{p}{q}$ avec q ≠ 0, où

p est le facteur du terme constant de f, _a0;
q est le facteur du coefficient directeur de f,_an.

Il est important de factoriser le plus grand diviseur commun (GCF) du polynôme avant d'identifier les racines rationnelles possibles.

Il est important de noter que le théorème du zéro rationnel ne s'applique qu'aux zéros rationnels. Toutes les racines d'un polynôme ne sont pas trouvées en utilisant la divisibilité de ses coefficients.

Application du théorème des zéros rationnels

Dans cette section, nous allons appliquer le théorème des zéros rationnels. Nous montrerons plusieurs exemples pratiques qui permettent de mettre en pratique ce concept.

Recherche des zéros rationnels possibles d'un polynôme

Ici, nous ne faisons que dresser la liste de toutes les racines rationnelles possibles d'un polynôme donné. Il n'est pas nécessaire d'identifier l'ensemble correct de zéros rationnels qui satisfont un polynôme. Cela sera fait dans la section suivante. L'objectif ici est de donner un aperçu du théorème des zéros rationnels.

Utilise le théorème des zéros rationnels pour déterminer tous les zéros rationnels possibles du polynôme suivant

$f (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 6$ .

Solution

Étape 1 : Nous commençons par identifier toutes les valeurs possibles de p, qui sont tous les facteurs de $a_{0} = 6$ .

Par conséquent, p peut être $\pm 1, \pm 2, \pm 3 o r \pm 6$ .

Étape 2 : Ensuite, nous allons identifier toutes les valeurs possibles de q, qui sont tous les facteurs de $a_{n} = 3$ .

Par conséquent, q peut être $\pm 1 o r \pm 3$ .

Étape 3 : Trouve les valeurs possibles de $\frac{p}{q}$ en énumérant les combinaisons des valeurs trouvées à l'étape 1 et à l'étape 2. Cela permet de déduire que $\frac{p}{q}$ est de la forme $\frac{f a c t o r s o f p}{f a c t o r s o f q}$ .

Ainsi, $\frac{p}{q}$ peut prendre la forme :

\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{6}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{3}{3}, \pm \frac{6}{3}

Étape 4 : En simplifiant la liste ci-dessus et en supprimant les résultats en double, nous obtenons les zéros rationnels possibles suivants de f :

\frac{p}{q} = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}

Les nombres ci-dessus ne sont que les zéros rationnels possibles de f.

Utilise le théorème des zéros rationnels pour trouver toutes les racines rationnelles possibles du polynôme suivant

$f (x) = 15 x^{5} + 6 x^{3} - 21 x^{3} + 12$ .

Solution

Étape 1 : Note d'abord que nous pouvons factoriser 3 à partir de f. Ainsi,

$f (x) = 3 (5 x^{5} + 2 x^{3} - 7 x^{3} + 4)$ .

Étape 2 : Ensuite, identifie toutes les valeurs possibles de p, qui sont tous les facteurs de $a_{0} = 4$ .

Par conséquent, p peut être $\pm 1, \pm 2, o r \pm 4$ .

Étape 3 : Ensuite, nous identifierons toutes les valeurs possibles de q, qui sont tous les facteurs de $a_{n} = 5$ .

Par conséquent, q peut être $\pm 1 o r \pm 5$ .

Étape 4 : Trouve les valeurs possibles de $\frac{p}{q}$ en énumérant les combinaisons des valeurs trouvées à l'étape 1 et à l'étape 2.

Ainsi, $\frac{p}{q}$ peut prendre les formes suivantes :

$\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{4}{5}$

Étape 5 : En simplifiant la liste ci-dessus et en supprimant les résultats en double, nous obtenons les zéros rationnels possibles suivants de f :

$\frac{p}{q} = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{4}{5}$

Trouver les zéros rationnels d'un polynôme

Ici, nous allons déterminer l'ensemble des zéros rationnels qui satisfont le polynôme donné. Ce faisant, nous pouvons factoriser le polynôme et résoudre l'expression en conséquence. Tu trouveras ci-dessous les principales étapes de ce processus :

Étape 1 : Dresser la liste de tous les zéros possibles à l'aide du théorème des zéros rationnels.

Étape 2 : Applique la division synthétique pour calculer le polynôme à chaque valeur des zéros rationnels trouvés à l'étape 1. N'oublie pas de noter le quotient obtenu si le reste est égal à 0.

Étape 3 : Répète les étapes 1 et 2 pour le quotient obtenu. Arrête-toi lorsque tu as obtenu un quotient quadratique (polynôme de degré 2) ou qui peut être facilement factorisé.

Étape 4 : Fixe tous les facteurs à zéro et résous ou utilise la formule quadratique pour évaluer les solutions restantes.

Voyons cela à l'aide de quelques exemples concrets.

Trouve tous les zéros rationnels du polynôme

$f (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 7 x - 2$ .

Étape 1 : En utilisant le théorème des zéros rationnels, nous allons dresser la liste de tous les zéros rationnels possibles de la forme $\frac{p}{q}$ .

Ici, p doit être un facteur de $a_{0} = 2$ et q doit être un facteur de $a_{n} = 2$ .

Ainsi, les zéros rationnels possibles de f sont : $\pm 1, \pm 2 o r \pm \frac{1}{2}$ .

Étape 2 : En appliquant la division synthétique, doit calculer le polynôme à chaque valeur des zéros rationnels trouvés à l'étape 1. Si nous obtenons un reste de 0, alors une solution est trouvée. Nous commencerons par +1.

Ici, nous voyons que +1 donne un reste de -12. Ce n'est donc pas une racine de f(x). Essayons avec -1.

Dans ce cas, -1 donne un reste de 0. Ainsi, -1 est une solution de f. Le résultat de cette division synthétique nous indique également que nous pouvons factoriser f comme :

$f (x) = (x + 1) (2 x^{3} - x^{2} - 5 x - 2)$

Étape 3 : Ensuite, répète ce processus sur le quotient :

2 x^{3} - x^{2} - 5 x - 2

En utilisant le théorème des zéros rationnels, les possibles, les possibles zéros rationnels de ce quotient sont :

$\pm 1, \pm 2 o r \pm \frac{1}{2}$

Comme nous avons montré que +1 n'est pas une solution de f, nous n'avons pas besoin de le tester à nouveau. Cependant, nous devons appliquer à nouveau la division synthétique à -1 pour ce quotient. Cela permettra de savoir s'il existe des multiplicités d'une racine donnée.

De nouveau, nous voyons que -1 donne un reste de 0 et est donc une racine du quotient. Cela montre que la racine -1 a une multiplicité de 2. Par conséquent, f se factorise à nouveau comme suit

$f (x) = (x + 1) (x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 2) = {(x + 1)}^{2} (2 x^{2} - 3 x - 2)$

Étape 4 : Nous obtenons donc le quotient :

$2 x^{2} - 3 x - 2$

qui est en effet une équation quadratique que nous pouvons factoriser comme :

$(2 x + 1) (x - 2)$

Cela montre que les solutions restantes sont :

$x = - \frac{1}{2} a n d x = 2$

L'expression entièrement factorisée de f(x) est donc,

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x + 1) (x - 2)$

En fixant f(x) = 0 et en résolvant cette équation, nous savons que les racines de f sont,

$x = - 1, x = - \frac{1}{2} a n d x = 2$

Détermine tous les zéros rationnels du polynôme

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 8 x + 20$ .

Étape 1 : En utilisant le théorème des zéros rationnels, nous allons dresser la liste de tous les zéros rationnels possibles de la forme $\frac{p}{q}$ .

Ici, p doit être un facteur de $a_{0} = 20$ et q doit être un facteur de $a_{n} = 2$ .

Ainsi, les zéros rationnels possibles de f sont :

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm \frac{1}{2} o r \pm \frac{5}{2}$

Étape 2 : Nous allons maintenant appliquer la division synthétique comme précédemment. Nous commencerons par +1.

Ici, nous voyons que +1 donne un reste de -14. Ce n'est donc pas une racine de f. Essayons avec -1.

Dans ce cas, -1 donne un reste de 0. Ainsi, -1 est une solution de f. Le résultat de cette division synthétique nous indique également que nous pouvons factoriser f comme :

$f (x) = (x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 20)$

Étape 3 : Maintenant, répète ce processus sur le quotient.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 20$

Par le théorème des zéros rationnels, les zéros rationnels possibles de ce quotient sont :

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm \frac{1}{2} o r \pm \frac{5}{2}$

Puisque +1 n'est pas une solution de f, nous n'avons pas besoin de le tester à nouveau. Cependant, nous devons appliquer à nouveau la division synthétique à -1 pour ce quotient.

Ici, nous voyons que -1 donne un reste de 27. Il ne s'agit donc pas d'une racine du quotient. En d'autres termes, il n'existe aucune multiplicité de la racine -1. Essayons maintenant +2.

Dans ce cas, +2 donne un reste de 0. Ainsi, +2 est une solution de f. Par conséquent, f se factorise comme suit :

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (2 x^{2} + x - 10)$

Étape 4 : Observe que nous avons le quotient

$2 x^{2} + x - 10$

qui est bien une équation quadratique que l'on peut factoriser comme suit :

$(2 x + 5) (x - 2)$

Cela montre que les solutions restantes sont :

$x = - \frac{5}{2} a n d x = 2$

L'expression entièrement factorisée de f(x) est donc,

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (2 x + 5) (x - 2)$

En simplifiant, on obtient

$f (x) = (x + 1) (2 x + 5) {(x - 2)}^{2}$

Remarquons que la racine 2 a une multiplicité de 2. En fixant f(x) = 0 et en résolvant cette équation, nous savons que les racines de f sont :

$x = - \frac{5}{2}, x = - 1 a n d x = 2$

Géométrie et théorème des zéros rationnels

Dans cette section, nous allons examiner un exemple où nous pouvons appliquer le théorème des zéros rationnels à un contexte de géométrie.

Amy a besoin d'une boîte d'un volume de 24 cm3^pourconserver sa collection de billes. Elle sait qu'elle aura besoin d'une boîte présentant les caractéristiques suivantes : la largeur est supérieure de 2 centimètres à la hauteur, et la longueur est inférieure de 3 centimètres à la hauteur. À partir de ces caractéristiques, Amy veut trouver les vraies dimensions de ce solide. Comment s'y prendrait-elle pour résoudre ce problème ?

Avant de commencer, rappelons la règle des signes de Descartes.

Règle des signes de Descartes

Soit p un polynôme à coefficients réels.

Le nombre de zéros réels positifs de p est soit égal au nombre de variations de signe dans p(x), soit inférieur à ce nombre par un nombre entier pair.
Le nombre de zéros réels négatifs de p est soit égal au nombre de variations de signe de p(-x), soit inférieur à ce nombre par un nombre entier pair.

Revenons maintenant à notre exemple. La solution est expliquée ci-dessous.

Étape 1 : Attribuer des variables

Soit les dimensions inconnues du solide ci-dessus

$h e i g h t = x w i d t h = x + 2 l e n g t h = x - 3$

En faisant un croquis, nous observons que le bloc tridimensionnel dont Annie a besoin devrait ressembler au diagramme ci-dessous.

Exemple géométrique, Aishah Amri - StudySmarter Originals

En écrivant l'équation du volume et en substituant les dimensions inconnues ci-dessus, nous obtenons

$h e i g h t \times w i d t h \times l e n g t h = v o l u m e \Rightarrow x (x + 2) (x - 3) = 24$

En développant cette équation et en ramenant 24 au côté gauche, nous obtenons

$x^{3} - x^{2} - 6 x - 24 = 0$

Étape 2 : Appliquer le théorème des zéros rationnels

Ici, le premier coefficient est 1 et le coefficient des termes constants est 24. D'après le théorème des zéros rationnels, les zéros rationnels possibles sont des facteurs de 24 :

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12 o r \pm 24$

Comme la longueur ne peut être que positive, nous ne considérerons que les zéros positifs, Notant le premier cas de la règle des signes de Descartes, il n'y a qu'un seul zéro réel possible. C'est parce qu'il n'y a qu'une seule variation du signe "+" dans le polynôme.

$(+) x^{3} - x^{2} - 6 x - 24$

Étape 3 : Effectuer une division synthétique

À l'aide de la division synthétique, nous devons maintenant vérifier chacun des zéros énumérés ci-dessus. Pour plus de simplicité, nous faisons un tableau pour exprimer la division synthétique afin de tester les éventuels zéros réels. La ligne du haut représente les coefficients du polynôme

$x^{3} - x^{2} - 6 x - 24 = 0$

et la colonne la plus à gauche représente les racines testées. La colonne la plus à droite affiche le reste de la division synthétique effectuée.

p	1	-1	-6	-24
1	1	0	-6	-30
2	1	1	-4	-32
3	1	2	0	-24
4	1	3	6	0

D'après ce tableau, nous constatons que 4 donne un reste de 0. Par conséquent, 4 est une solution du polynôme.

$x^{3} - x^{2} - 6 x - 24 = 0$

Comme nous avons établi qu'il n'y a qu'un seul zéro réel positif, nous n'avons pas besoin de vérifier les autres nombres.

Étape 4 : Évaluer les dimensions et confirmer les résultats

Ainsi, les vraies dimensions sont

$h e i g h t = 4 c m w i d t h = 4 - 3 c m = 1 c m l e n g t h = 4 + 2 c m = 6 c m$

Pour le vérifier, nous observons que

$4 c m \times 1 c m \times 6 c m = 24 c m^{3}$

qui est bien le volume initial du solide rectangulaire.

Trouver des zéros rationnels - Principaux enseignements

Un zéro rationnel est un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.
Le théorème des zéros rationnels stipule que si un polynôme, f(x) a des coefficients entiers, alors chaque zéro rationnel de f(x) = 0 peut être écrit sous la forme suivante $\frac{p}{q}$ .
Le théorème des zéros rationnels ne nous indique que tous les zéros rationnels possibles d'un polynôme donné.
L'identification des zéros d'un polynôme peut nous aider à factoriser et à résoudre un polynôme donné.
La recherche des solutions d'un polynôme donné se fait en 4 étapes :
1. Dresser la liste de tous les zéros possibles à l'aide du théorème des zéros rationnels.
2. Applique la division synthétique pour calculer le polynôme à chaque valeur des zéros rationnels trouvés à l'étape 1.
3. Répète les étapes 1 et 2 pour le quotient obtenu. Arrête-toi lorsque tu as obtenu un quotient qui est quadratique (polynôme de degré 2) ou qui peut être facilement factorisé.
4. Fixe tous les facteurs à zéro et résous le polynôme.

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Questions fréquemment posées en Recherche des zéros rationnels

Qu'est-ce que la recherche des zéros rationnels?

La recherche des zéros rationnels est une méthode pour trouver les valeurs rationnelles qui rendent une équation polynomiale égale à zéro.

Pourquoi la recherche des zéros rationnels est-elle importante?

Elle est importante car elle simplifie l'analyse des polynômes en identifiant les solutions rationnelles possibles.

Comment trouver les zéros rationnels d'un polynôme?

Pour trouver les zéros rationnels, utilisez le théorème des racines rationnelles en divisant les facteurs du terme constant par les facteurs du terme de plus haut degré.

Quels outils peuvent aider à la recherche des zéros rationnels?

Des outils comme les calculatrices graphiques et les logiciels mathématiques peuvent faciliter la recherche des zéros rationnels.

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