Base de logarithme

Identifie la base dans les exemples suivants.

1. ${\log }_{3}9=2$
2. $5^4=625$

Solution

1. La base est ici 3. C'est l'indice du symbole logarithmique log.
2. La base est ici 5. C'est le nombre qui augmente l'exposant 4.

Donne les réponses aux questions suivantes.

1. $\log \left(1000\right)$
2. $\log \left(20\right)$
3. $\log \left(8\right)$

Cela signifie que si tu multiplies 10 à trois endroits, tu obtiens 1000, c'est-à-dire ${10}^3$.

Donne les réponses aux questions suivantes

a. ${\log }_{e}7.3$

b. $\ln \left(25\right)$

c. ${\log }_{e}33.98$

Solution

1. Pour obtenir la réponse à ${\log }_{e}7.3$tu auras besoin d'une calculatrice. Tu devras appuyer sur la touche $\ln$ de la calculatrice, puis sur 7,3. La réponse apparaîtra ensuite.

${\log }_{e}7.3=1.9878$

b. En utilisant une calculatrice,$\ln \left(25\right)=3.2188$

c. En utilisant une calculatrice,${\log }_e\left(33.98\right)=3.5257$

Simplifier $y={\log }_2\left(20\right)$

Solution

La première chose à faire est de changer de base en utilisant la formule de changement de base. Tu peux changer la base pour n'importe quel nombre, y compris la base 10 et le logarithme naturel e. Tu dois juste t'assurer qu'il s'agit de la même base. En procédant ainsi, nous aurons :

${\log }_2\left(20\right)=\frac{{\log }_{10}\left(20\right)}{{\log }_{10}\left(2\right)}$

Nous utiliserons une calculatrice pour résoudre le numérateur et le dénominateur afin d'obtenir :

$$\begin{gathered} \frac{{\log }_{10}\left(20\right)}{{\log }_{10}\left(2\right)}=\frac{1.3010}{0.3010} \\ =4.32 \end{gathered}$$

Résoudre ${\log }_3\left(x\right)={\log }_9\left(4\right)$

Solution

Tu remarqueras qu'il s'agit de bases différentes, nous allons donc utiliser la formule de changement de base. Nous pouvons changer les deux bases en 3 ou en 9 et tu obtiendras toujours la même réponse. N'oublie pas que le but est simplement de s'assurer que les deux bases sont égales.

Nous allons utiliser la formule de changement de base sur le côté droit. Cela signifie que nous changeons les bases en 3.

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x\right)=\frac{{\log }_3\left(4\right)}{{\log }_3\left(9\right)} \\ {\log }_3\left(x\right)=\frac{{\log }_3\left(4\right)}{{\log }_3\left(3^2\right)} \end{gathered}$$

Il existe une loi du logarithme de la forme ${\log }_b\left(b^n\right)=n$. Nous appliquerons cette loi au dénominateur présent et nous aurons :

$$\begin{gathered} {\log }_b\left(b^n\right)=n \\ {\log }_3{\left(3\right)}^2=2 \end{gathered}$$

Nous mettrons le résultat "2" dans l'équation et nous continuerons à résoudre.

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x\right)=\frac{{\log }_3\left(4\right)}{2} \\ {\log }_3\left(x\right)=\frac{1}{2}{\log }_3\left(4\right) \end{gathered}$$

Il existe une autre loi logarithmique sous la forme ${\log }_a\left(x^n\right)=n{\log }_a\left(x\right)$. Si nous l'appliquons, nous obtiendrons :

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x\right)={\log }_3\left(4^{\frac{1}{2}}\right) \\ {\log }_3\left(x\right)={\log }_3\left(2\right) \end{gathered}$$

En utilisant la règle selon laquelle si ${\log }_b\left(x\right)={\log }_b\left(y\right)$alors $x=y$notre réponse finale sera: :

$x=2$

Résoudre ${\log }_9\left(4\right)+{\log }_3\left(x\right)=3$

Solution

La première chose à faire est de rendre les bases identiques. Nous pouvons choisir de les rendre toutes les deux 9 ou 3. Dans les deux cas, nous arriverons à la même réponse. Faisons en sorte qu'elles soient toutes les deux de 3.

La formule de changement de base est la suivante : ${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_a\left(x\right)}{{\log }_a\left(b\right)}$

Nous allons utiliser la formule de changement de base sur le premier terme de l'expression et nous obtiendrons :

$\frac{{\log }_3\left(4\right)}{{\log }_3\left(9\right)}+{\log }_3\left(x\right)=3$

Si tu observes, tu verras que tu peux simplifier le dénominateur avec une calculatrice ou manuellement. Tu peux dire que le résultat est 2 parce que 3 au carré est 9. Nous aurons donc maintenant :

$\frac{{\log }_3\left(4\right)}{2}+{\log }_3\left(x\right)=3$

Multiplions chaque terme par 2

${\log }_3\left(4\right)+2{\log }_3\left(x\right)=6$

Nous pouvons utiliser la règle du logarithme des puissances sur la deuxième expression qui est ${\log }_b\left(x^n\right)=n{\log }_b\left(x\right)$

Nous aurons alors ${\log }_3\left(4\right)+{\log }_3\left(x^2\right)=6$

Nous pouvons utiliser la règle de l'addition ici, qui est ${\log }_b\left(x\right)+{\log }_b\left(y\right)={\log }_b\left(xy\right)$

Par conséquent ${\log }_3\left(4x^2\right)=6$

Nous allons maintenant prendre l'anti log pour obtenir

$4x^2=3^6$

Ce que nous avons simplifié ici, c'est d'élever la base 3 à la puissance 6.

La prochaine et dernière étape consiste à trouver x

$x^2=\frac{3^6}{4}$

Prends la racine carrée des deux côtés

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{3^6}{4}} \\ \cancel{\sqrt{x{}^{\cancel{2}}}}=\frac{27}{2} \\ x=\frac{27}{2}=13.5 \end{gathered}$$

Trace les expressions logarithmiques et observe le tracé.

$y={\log }_2\left(x\right)$ et $y={\log }_{10}\left(x\right)$

Solution

Ce qu'il faut faire, c'est dresser un tableau pour les deux expressions et tracer le graphique.

Pour $y={\log }_2\left(x\right)$

Pour $y={\log }_{10}\left(x\right)$

Nous allons maintenant tracer le graphique

Tu peux voir que $y={\log }_{10}\left(x\right)$ est plus proche de l'axe des y.