Fonctions de module

Équation des fonctions de module

L'équation d'une fonction de module est notée comme suit :

Le domaine d 'une fonction modulus est l'ensemble de tous les nombres réels, et l'étendue est l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à zéro. D'après l'équation, nous pouvons dire que si le nombre à l'intérieur de la fonction modulus est déjà positif, tu le laisses tel quel, mais si le nombre est négatif, le résultat sera la version positive de ce nombre (comme si tu multipliais le nombre négatif par -1).

Propriétés des fonctions de module

Les propriétés des fonctions de module sont les suivantes :

• Le module ou la valeur absolue d'un nombre donnera toujours un résultat positif.

• Le module d'un nombre x donnera le même résultat que le module de -x.

$\left|x\right|=|-x|=x$

• Le module du produit de deux valeurs a et b peut être divisé en un produit de deux valeurs de module distinctes.

$|axb|=\left|a\right|x\left|b\right|$

• Le module de la division de deux valeurs a et b peut être divisé en deux valeurs de module distinctes.

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$

• Le module de la somme ou de la soustraction de deux valeurs, a et b, ne peut pas être div isé en la somme ou la soustraction de deux valeurs de module distinctes.

$|a\pm b|\ne \left|a\right|\pm \left|b\right|$

• Lors de la résolution d'équations, les fonctions de module impliquent une étape supplémentaire :

En gardant à l'esprit que la valeur de x à l'intérieur d'une fonction de module peut être positive ou négative, tu dois résoudre l'équation en considérant les deux cas, tu obtiendras donc deux solutions.

Comment dessiner le graphique d'une fonction de module ?

Pour tracer le graphique d'une fonction de module, tu dois substituer les valeurs de x dans $f\left(x\right)=\left|x\right|$pour obtenir les valeurs correspondantes de y, comme suit $y=f\left(x\right)$. Tu obtiendras un tableau des valeurs de x et de y que tu devras tracer sur le plan de coordonnées. Nous allons substituer les valeurs de x de -2 à 2.

Graphique de la fonction module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Pour dessiner le graphique de la fonction module $y=|ax+b|$tu dois dessiner $y=ax+b$et refléter la partie de la ligne qui se trouve sous l'axe des x dans l'axe des x.

Résoudre des équations impliquant des fonctions de module

Lorsque tu as une équation comme $|3x-1|=5$tu peux utiliser son graphique pour t'aider à trouver sa solution en suivant les étapes suivantes :

Résoudre des inégalités impliquant des fonctions de module

En nous basant sur l'exemple précédent, nous allons maintenant résoudre l'inégalité $|3x-1|>5$. Tu dois procéder de la même façon que précédemment pour trouver les valeurs de x aux points d'intersection A et B, qui sont $x=2$ et $x=\frac{-4}{3}$.

Inverse d'une fonction de module

L'inverse d'une fonction de module n'est pas une fonction à moins que tu ne restreignes son domaine de façon à ce qu'elle puisse être une fonction biunivoque. Pour y parvenir, nous devons restreindre son domaine à une seule moitié du graphique. Tu peux choisir l'une ou l'autre moitié si elle n'est pas spécifiée dans la question.

Comment différencier une fonction de module ?

Pour trouver la dérivée de la fonction module, nous devons à nouveau examiner l'équation d'une fonction module :

Nous savons que $\frac{d}{dx}x=1$Par conséquent, nous pouvons dire ce qui suit :

En général, $\frac{d}{dx}\left(\right|x\left|\right)=\frac{x}{\left|x\right|}$pour toutes les valeurs de x à l'exception de$x=0$

Comment intégrer une fonction de module ?

Pour trouver l'intégrale d'une fonction de module, nous pouvons procéder comme suit :

Nous savons que la fonction module est définie comme suit,

Par conséquent, nous devons calculer les intégrales pour x et -x.

En utilisant la formule d'intégration : $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$