Facteurs

Cheryl veut décorer l'un des murs de sa chambre avec quelques photos de ses amis et de sa famille. Elle dispose de 24 photos imprimées au total. Elle se rend compte qu'elle ne peut pas faire tenir les 24 photos horizontalement sur une seule ligne. Elle essaie alors de faire 2 lignes de 12 photos chacune. Malheureusement, cela ne correspondait pas non plus à son mur. Ensuite, elle a fait 3 lignes de 8 photos chacune pour voir si cet arrangement fonctionnerait à la place. Mais le mur ne pouvait pas contenir autant de photos dans le sens de la longueur. Enfin, elle a disposé les photos sur 4 lignes de 6 photos chacune. Maintenant, toutes les photos peuvent parfaitement tenir sur le mur !

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Table des mateères

    Facteurs Diagramme d'un mur avec plusieurs photos dessus StudySmarter

    Exemple 1 : Les facteurs

    Remarque qu'il y a quatre façons pour Cheryl d'organiser ces photos sur son mur. La première façon pouvait être 1 x 24, la deuxième pouvait être 2 x 12, la troisième pouvait être 3 x 8 et enfin, celle qui fonctionnait : 4 x 6. Alors, que signifient ces produits de nombres ? C'est là que notre sujet entre en jeu ! Les nombres 1, 24, 2, 12, 3, 8, 4 et 6 sont appelés facteurs de 24.

    Facteurs d'un nombre donné

    Discutons du concept de facteur et identifions les facteurs d'un nombre donné. Nous commencerons par la définition d'un facteur.

    Un facteur d'un nombre entier donné est un facteur qui divise le nombre sans laisser de reste. En d'autres termes, les facteurs d'un nombre divisent complètement le nombre.

    Un facteur est essentiellement un diviseur d' un nombre donné. En divisant un nombre par son diviseur, on obtient un reste égal à zéro. Comme nous l'avons vu, le nombre 24 a un total de 8 facteurs, à savoir 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

    Maintenant, essaie toi-même : divise 24 par chacun des facteurs énumérés. Tu remarqueras qu'en les divisant, il n'y aura aucun reste !

    Facteurs et nombres négatifs

    Voici une question : les facteurs peuvent-ils être des nombres négatifs ? Algébriquement, nous pouvons en effet diviser un nombre par un autre qui est négatif. Examinons les facteurs du nombre 6. Nous pouvons factoriser 6 des 2 façons suivantes : 1 × 6 et 2 × 3. Les facteurs de 6 sont donc 1, 2, 3 et 6.

    Nous savons que le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif. En tenant compte de ce contexte, nous constatons que les facteurs de 6 sont en fait 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 et -6 puisque -1 × (-6) et -2 × (-3) sont également égaux à 6. Cependant, cet article ne tiendra pas compte des facteurs négatifs. Lorsque nous traiterons des problèmes liés aux facteurs, nous ne considérerons que les facteurs positifs.

    Caractéristiques des facteurs

    Il existe plusieurs propriétés importantes des facteurs avec lesquelles nous devons nous familiariser. Elles sont énumérées ci-dessous.

    • Il existe un nombre fini de facteurs pour un nombre donné.

    • Le facteur d'un nombre donné est toujours inférieur ou égal à lui-même.

    • Tout nombre a au moins deux facteurs, c'est-à-dire 1 et lui-même (sauf 0 et 1).

    • Nous pouvons utiliser la division et la multiplication pour trouver les facteurs.

    Quels sont les facteurs de 18 ?

    Solution

    Écrivons d'abord la paire de diviseurs dont le produit donne 18 :

    1 × 18 = 18

    2 × 9 = 18

    3 × 6 = 18

    Le nombre 18 comporte 6 facteurs, à savoir 1, 2, 3, 4, 9 et 18.

    Pour trouver les facteurs de 18 dans cet exemple, nous avons utilisé la méthode de la multiplication. Cependant, il existe une autre façon d'aborder ce problème. C'est ce que nous allons voir dans la section suivante !

    Identifier les facteurs d'un nombre donné

    En regardant l'astuce dans Caractéristiques des facteurs, il y a deux méthodes que nous pouvons utiliser pour trouver des facteurs : la multiplication et la division. Observons ces deux techniques l'une après l'autre.

    Trouver des facteurs par multiplication

    La recherche de facteurs à l'aide de la multiplication se fait en deux étapes.

    1. Exprime le nombre entier donné comme un produit de deux nombres entiers. Tu dois envisager toutes les façons possibles d'écrire ce nombre de cette manière ;

    2. Fais la liste de tous les nombres qui sont impliqués dans ces produits. Ce sont les facteurs du nombre donné.

    Utilise la multiplication pour trouver les facteurs de 27.

    Solution

    Nous devons chercher toutes les façons possibles d'écrire 27 comme un produit de deux nombres. Ce faisant, nous obtenons les combinaisons suivantes.

    1 × 27 = 27

    3 × 9 = 27

    Tous les nombres vus dans ces produits de 27 ci-dessus sont ses facteurs. Ainsi, les facteurs de 27 sont 1, 3, 9 et 27.

    Trouver les facteurs par division

    Comme pour la division, il faut suivre une méthode en trois étapes.

    1. Identifie tous les nombres entiers inférieurs ou égaux au nombre entier donné.

    2. Divise le nombre donné par chacun des nombres trouvés à l'étape 1.

    3. Écris les diviseurs qui donnent un reste de 0. Ce sont les facteurs du nombre donné.

    Utilise la division pour trouver les facteurs de 5.

    Solution

    Commençons par énumérer tous les nombres positifs qui sont inférieurs ou égaux à 5. Il s'agit de 1, 2, 3, 4 et 5. Nous allons maintenant diviser 5 par chacun de ces nombres, un par un.

    Division par 1 : 155-50 Diviser par 2 : 225-41 La division par 3 : 315-32

    Diviser par 4 : Diviser par 3 : Diviser par 4 : 415-41 Diviser par 5 : 515-50

    Ici, nous voyons que les nombres 1 et 2 sont des diviseurs de 5 puisque le reste est égal à zéro dans ce cas. Les facteurs de 5 sont donc 1 et 5.

    L'application de la division pour déterminer les facteurs peut parfois être un peu longue, surtout lorsqu'il s'agit de grands nombres. Fais toujours très attention à l'algèbre impliquée ici et assure-toi de ne pas oublier de nombres lors de la division ! Cependant, dans tous les cas, il est plus sûr d'utiliser la méthode de multiplication pour trouver les facteurs d'un nombre donné.

    Trouver le nombre de facteurs

    Parfois, il peut être utile de connaître le nombre de facteurs d'un nombre. C'est particulièrement utile, notamment lorsqu'il s'agit de grands nombres. Pour ce faire, nous devons être sensibilisés à un nouveau concept appelé factorisation des nombres premiers. En tenant compte de cette idée, nous pouvons identifier le nombre de facteurs d'un nombre donné à l'aide d'un processus appelé la méthode de l'arbre à facteurs.

    La factorisation première

    Qu'ont donc en commun les nombres premiers et les facteurs ? Tout d'abord, rappelons ce qu'est un nombre premier. Un nombre premier est un nombre qui a précisément deux facteurs, 1 et le nombre lui-même. Par exemple, les facteurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15. D'après cette liste de facteurs, nous constatons que 3 et 5 sont des nombres premiers. Cela nous amène à la définition suivante.

    Un facteur premier est un facteur d'un nombre donné qui est également un nombre premier.

    Jusqu'à présent, nous avons vu comment nous pouvons représenter un nombre comme le produit de deux nombres. Cependant, nous pouvons aussi exprimer un nombre comme un produit de ses facteurs premiers. C'est ce qu'on appelle la factorisation des nombres premiers.

    Lafactorisation des nom bres premiers consiste à écrire un nombre sous la forme d'un produit de ses facteurs premiers.

    Il s'agit essentiellement de décomposer un nombre en fonction de ses facteurs premiers. Il existe deux façons de déterminer la factorisation première d'un nombre.

    1. Méthode de l'arbre factoriel
    2. La méthode de la division

    Dans ce contexte, nous nous concentrerons uniquement sur la première méthode car elle est largement utilisée pour trouver le nombre de facteurs d'un nombre donné. Tu trouveras une explication plus détaillée sur ce sous-thème dans notre explication sur la factorisation première.

    La méthode de l'arbre à facteurs

    Nous allons d'abord établir la méthode de l'arbre à facteurs ci-dessous.

    1. Écris le nombre au sommet de l'arbre factoriel.

    2. Exprime le nombre comme le produit de deux facteurs qui se ramifient à partir de l'arbre.

    3. Ramène chacun des facteurs trouvés à l'étape 2 à un produit de deux facteurs.

    4. Répète l'étape 3 jusqu'à ce que tu ne puisses plus ramifier chaque facteur. À ce stade, il doit être écrit comme un facteur premier.

    5. Enfin, définis le nombre donné comme un composé de ses facteurs premiers sous forme d'exposant.

    Voici un exemple qui illustre ce processus.

    Utilise la méthode du facteur trois pour factoriser le nombre 132 en fonction de ses facteurs premiers.

    Solution

    L'arbre factoriel de 132 est affiché ci-dessous.

    Facteurs Arbre des facteurs de 132 StudySmarter


    Exemple 2 : Arbre factoriel de 132

    Sur la base de cet arbre factoriel, nous pouvons écrire 132 comme suit .

    132 = 2 × 2 × 3 × 11

    Sous forme d'exposant, nous avons

    132 =22 × 3 × 11

    À partir de là, nous pouvons identifier le nombre de facteurs en utilisant la méthode de l'arbre factoriel. Cette méthode comporte quatre étapes.

    1. Trouve la factorisation des nombres premiers du nombre donné en utilisant la méthode de l'arbre factoriel.

    2. Exprime ce produit de nombres premiers trouvé sous la forme de l'exposant correspondant.

    3. Ajoute 1 à chaque exposant.

    4. Multiplie les nombres trouvés à l'étape 3. Le résultat donne le nombre de facteurs du nombre donné.

    Pour le démontrer, reprenons notre exemple précédent.

    Trouve le nombre de facteurs du nombre 132.

    Solution

    Par la méthode de l'arbre factoriel menée précédemment, nous pouvons exprimer 132 sous la forme 132 = 2 × 2 × 3 × 11.

    Sous forme d'exposant, on obtient 132 =22 × 3 × 11 (22 ×31 ×111 ).

    Nous avons ici les valeurs suivantes des exposants.

    Exposant pour 2 = 2

    Exposant de 3 = 1

    Exposant de 11 = 1

    En ajoutant 1 à chacun de ces exposants, on obtient

    Exposant de 2 + 1 = 3

    Exposant de 3 + 1 = 2

    Exposant de 11 + 1 = 2

    En multipliant ces nombres, on obtient

    3 × 2 × 2 = 12

    Ainsi, le nombre 132 a 12 facteurs.

    Vérification

    Vérifions si notre résultat est correct. En utilisant la méthode de multiplication, nous pouvons écrire 132 comme les produits suivants de deux nombres.

    1 × 132 = 132

    2 × 66 = 132

    3 × 44 = 132

    4 × 33 = 132

    6 × 22 = 132

    11 × 12 = 132

    Les facteurs de 132 sont 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66 et 132. Ainsi, le nombre 132 a un total de 12 facteurs, comme indiqué.

    Facteurs communs

    Supposons que l'on nous demande de comparer les facteurs de deux nombres entiers x et y. Nous constatons qu'ils partagent un diviseur qui divise effectivement les deux nombres sans laisser de reste. C'est ce qu'on appelle le facteur commun entre x et y.

    Un facteur commun est un nombre qui divise précisément une paire de nombres entiers sans laisser de reste.

    Pour trouver le facteur commun entre deux nombres (ou plus), il suffit d'énumérer les facteurs de chaque nombre dans des lignes séparées et de vérifier si les facteurs se chevauchent. Un facteur qui apparaît dans les deux listes (ou plus) est le facteur commun. Voici deux exemples pratiques qui illustrent ce principe.

    Trouve le(s) facteur(s) commun(s) entre 14 et 21.

    Solution

    Identifions d'abord les facteurs de 14. En utilisant la méthode de multiplication, nous pouvons écrire 14 comme le produit suivant de deux nombres.

    1 × 14 = 14

    2 × 7 = 14

    En procédant de la même façon pour 21, nous obtenons

    1 × 21 = 21

    3 × 7 = 21

    En les énumérant, on obtient

    Facteurs de 14 : 1, 2, 7, 14

    Facteurs de 21 : 1, 3, 7, 21

    En examinant les listes ci-dessus, nous constatons que les facteurs 1 et 7 sont présents dans les deux listes. Ainsi, les facteurs communs de 14 et 21 sont 1 et 7.

    Trouve le(s) facteur(s) commun(s) entre 4, 12 et 16.

    Solution

    Nous allons d'abord chercher les facteurs de 4. En utilisant la méthode de multiplication, nous pouvons exprimer 4 comme les produits suivants de deux nombres.

    1 × 4 = 4

    2 × 2 = 4

    En procédant de la même façon pour 12, nous obtenons

    1 × 12 = 12

    2 × 6 = 12

    3 × 4 = 12

    En écrivant la même chose pour 16, on obtient

    1 × 16 = 16

    2 × 8 = 16

    4 × 4 = 16

    En les énumérant, nous obtenons

    Facteurs de 4 : 1, 2, 4

    Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

    Facteurs de 16 : 1, 2, 4, 8, 16

    En examinant les listes ci-dessus, nous constatons que les facteurs 1, 2 et 4 sont présents dans les trois listes. Ainsi, les facteurs communs de 4, 12 et 16 sont 1, 2 et 4.

    Une discussion plus détaillée sur ce sujet est présentée dans l'article : Facteurs communs.

    Facteurs communs les plus élevés

    Dans cette section, nous allons nous familiariser avec une conséquence directe des facteurs communs appelée le facteur commun le plus élevé (FCE). Le FHC est le plus grand facteur commun de deux ou plusieurs nombres entiers. Désignons le FCH par la lettre a. Ainsi, nous pouvons écrire le FCH de x et y par FCH(x, y) = a.

    Le plus grand facteur commun (FCC) de deux nombres est le plus grand nombre possible qui divise à la fois x et y sans laisser de reste.

    Il y a trois façons de trouver le facteur commun le plus élevé de deux nombres (ou plus).

    1. Méthode de la liste des facteurs
    2. Factorisation des nombres premiers
    3. Méthode de division

    Parmi ces trois techniques, la méthode de l'énumération des facteurs est la plus simple de toutes. Ici, il suffit d'énumérer les facteurs de chaque nombre et de trouver les facteurs communs de ces nombres. Ensuite, nous déterminons le facteur commun le plus élevé parmi cette liste de facteurs communs.

    Pour une explication plus approfondie de ce sujet expliquant toutes ces méthodes, tu peux te référer à Facteur commun le plus élevé. Pour le démontrer, nous allons revenir aux deux derniers exemples de notre section précédente.

    Quel est le facteur commun le plus élevé de 14 et de 21 ?

    Solution

    Nous allons d'abord énumérer les facteurs de 14 et de 21.

    Facteurs de 14 : 1, 2, 7, 14

    Facteurs de 21 : 1, 3, 7, 21

    D'après cette liste, nous constatons que les facteurs communs de 14 et 21 sont 1 et 7.

    Ici, le facteur commun le plus élevé entre 14 et 21 est 7.

    Par conséquent, HCF(14, 21) = 7

    Quelle est la HCF de 4, 12 et 16 ?

    Solution

    Nous allons d'abord énumérer les facteurs de 4, 12 et 16.

    Facteurs de 4 : 1, 2, 4

    Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

    Facteurs de 16 : 1, 2, 4, 8, 16

    D'après cette liste, les facteurs communs de 4, 12 et 16 sont 1, 2 et 4.

    Ici, le facteur commun le plus élevé entre 4, 12 et 16 est 4.

    Par conséquent, HCF(4, 12, 16) = 4

    Importance des facteurs

    Trouver les facteurs des nombres est un outil très important en mathématiques. Il est principalement utilisé en mathématiques pour résoudre les rapports et les fractions. Les facteurs jouent également un rôle important en algèbre, notamment lorsqu'il s'agit d'équations. Dans ce cas, nous pouvons utiliser cette compétence pour reconnaître les modèles trouvés dans des expressions données, et réduire (ou développer) de telles équations pour les résoudre.

    Algèbre et facteurs

    Comme nous l'avons déjà mentionné, nous pouvons utiliser les facteurs en algèbre lorsque nous travaillons avec des polynômes. Par exemple, disons qu'on nous donne l'expression 4x. Les facteurs de 4x sont 1, 2, 4, x, 2x et 4x. Comme nous le verrons plus tard, nous pouvons utiliser les facteurs pour effectuer des calculs algébriques tels que la factorisation d'expressions et de polynômes. Voici quelques exemples supplémentaires qui le démontrent.

    Trouve les facteurs de 3x2.

    Solution

    Les facteurs de 3x2 sont 1, 3, x, 3x, x2et 3x2.

    Trouve les facteurs de 5xy.

    Solution

    Les facteurs de 5xy sont 1, 5, x, 5x, y et 5y.

    Dans la vie réelle, la factorisation des nombres est surtout utilisée lorsqu'il s'agit d'arranger, comme tu l'as vu au début de ce sujet. Nous pouvons utiliser les facteurs pour diviser un objet (ou un ensemble d'objets) en parties égales ou les diviser en lignes et en colonnes.

    Différence entre les facteurs et les multiples

    Nous terminerons ce sujet en examinant la différence entre les facteurs et les multiples. Nous le ferons à l'aide du tableau suivant.

    FacteursMultiples
    Un facteur d'un nombre est un nombre qui divise complètement le nombre original sans aucun reste.Un multiple d'un nombre est le produit de ce nombre et de n'importe quel autre nombre.
    Il existe un nombre fini de facteurs pour un nombre donné.Il existe un nombre infini de multiples pour un nombre donné.
    Les facteurs d'un nombre sont toujours inférieurs ou égaux au nombre initial.Les multiples d'un nombre sont toujours supérieurs ou égaux au nombre initial.
    Tout nombre a au moins deux facteurs : 1 et le nombre lui-même.Il n'y a pas de nombre minimum de multiples pour un nombre donné.

    Facteurs - Points clés

    • Un facteur d'un nombre donné est celui qui divise ce nombre sans laisser de reste
    • Nous ne considérerons que les facteurs positifs d'un nombre donné.
    • Il existe un nombre fini de facteurs pour un nombre donné
    • Le facteur d'un nombre donné est toujours inférieur ou égal à lui-même
    • Tout nombre a au moins deux facteurs, c'est-à-dire 1 et lui-même
    • Nous pouvons utiliser la division et la multiplication pour trouver des facteurs
    • La factorisation première consiste à écrire un nombre comme un produit de nombres premiers.
    • Un facteur commun est un nombre qui divise précisément une paire de nombres sans laisser de reste.
    • Le facteur commun le plus élevé de deux nombres est le plus grand nombre possible qui divise à la fois x et y sans laisser de reste.
    • Nous pouvons utiliser les facteurs pour factoriser les expressions algébriques et les polynômes.
    Facteurs Facteurs
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    Questions fréquemment posées en Facteurs
    Qu'est-ce qu'un facteur en mathématiques ?
    Un facteur est un nombre qui divise un autre nombre sans laisser de reste. Par exemple, 3 est un facteur de 12 car 12 ÷ 3 = 4.
    Comment trouve-t-on les facteurs d'un nombre ?
    Pour trouver les facteurs d'un nombre, il faut diviser ce nombre par tous les entiers jusqu'à lui-même et repérer ceux qui divisent sans reste.
    Quels sont les facteurs de 24 ?
    Les facteurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24, car tous ces nombres divisent 24 sans laisser de reste.
    Pourquoi les facteurs sont-ils importants ?
    Les facteurs sont importants car ils aident à simplifier les fractions, à résoudre les équations et à comprendre les propriétés des nombres.

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