Équations Simultanées

Revenons à nos équations initiales :

$2x+y=5$

$x-y=1$

Nous pouvons voir que si nous additionnons chaque côté des deux équations, nous pourrons facilement éliminer y. (Tu peux additionner ou soustraire les équations selon la situation.) Essayons !

$2x+y+x-y=3x$

$5+1=6$

Il ne nous reste plus qu'une seule équation :

$3x=6$

$\Rightarrow x=2$

Nous pouvons maintenant la substituer à l'une des équations initiales pour trouver y :

$2-y=1$

$\Rightarrow y=1$

Enfin, il est important de toujours vérifier ton travail en substituant ces valeurs dans l'autre équation. C'est essentiel pour t'aider à repérer les erreurs que tu as pu commettre.

$2x+y=5$

$2\left(2\right)+1=5$

Résoudre $x+4y=11$ $x-y=1$

Pour commencer, tu peux soustraire chaque côté de l'équation l'un de l'autre afin d'éliminer les x ;

$(x+4y)-(x-y)=5y$

$11-1=10$

Tu peux maintenant travailler avec les réponses pour former une nouvelle équation pour résoudre y ;

$5y=10$

$y=2$

Cette réponse peut maintenant être substituée à l'une des équations initiales pour résoudre x ;

$x-y=1$

$x-2=1$

$x=1+2=3$

Enfin, n'oublie pas de vérifier tes réponses en les substituant à l'une des équations ;

$x+4y=11$

$3+4\left(2\right)=11$

Résoudre $4x+2y=44$ $7x+4y=83$

Pour ce faire, tu dois d'abord faire en sorte que deux des coefficients soient identiques, pour cela nous pouvons multiplier la première équation par 2, ce qui nous donne ces équations ;

$8x+4y=88$

$7x+4y=83$

Tu peux maintenant soustraire une équation de l'autre pour éliminer y et résoudre x ;

$8x+4y-7x-4y=x$

$88-83=5$

$x=5$

Tu peux maintenant introduire ton x dans l'une des équations pour résoudre y ;

$4x+2y=44$

$4\left(5\right)+2y=44$

$20+2y=44$

$y=\frac{24}{2}$

$y=12$

N'oublie pas qu'il est possible de vérifier tes réponses en substituant les deux réponses dans l'équation et en vérifiant que cela fonctionne ;

$4\left(5\right)+2\left(12\right)=44$

1) $5x+y=28$

2) $y=2x$

Pour utiliser la méthode de substitution, tu peux commencer par substituer l'équation 2 dans le y de l'équation 1 pour t'aider à trouver x ;

$5x+y=28$

$5x+2x=28$

$x=\frac{28}{7}$

$x=4$

Tu peux maintenant substituer 4 à l'une des équations pour trouver y ;

$y=2x$

$y=2\left(4\right)$

$y=8$

1) $2x+y=5$

2) $x-y=1$

Dans ce cas, nous devons réarranger l'équation 2 afin de l'obtenir en termes de y, ce qui nous permettra de la substituer dans l'équation 1 et de résoudre x ;

3) $y=x-1$

4) $2x+(x-1)=5$

$\Rightarrow 3x-1=5$

$\Rightarrow 3x=6$

$\Rightarrow x=2$

La dernière étape reste la même : nous utilisons simplement cette valeur dans la deuxième équation, ce qui nous donne y = 1 comme précédemment. N'oublie pas de vérifier ta réponse !

1) $y-3x=6$

2)$y=x^2+2x$

Sur un graphique, ces équations ressembleraient à ceci :

La première chose à faire dans ce cas est de réarranger la première équation. La clé est de les rendre toutes deux égales à y, (c'est-à-dire égales à la même chose), parce que cela signifie que nous pouvons les rendre toutes deux égales l'une à l'autre.

3) $y=3x+6$

$\Rightarrow x^2+2x=3x+6$

$\Rightarrow x^2-x-6=0$

Nous avons maintenant une équation quadratique que tu peux résoudre en utilisant la méthode de ton choix. Dans cet exemple, nous allons utiliser la factorisation (si tu as besoin de t'entraîner, consulte notre article sur la factorisation des expressions quadratiques).

$x^2-x-6=0$

$\Rightarrow (x-3)(x+2)$

$\Rightarrow x=3orx=-2$

Comme tu peux le voir, nous avons deux valeurs possibles pour x. Cela signifie que nous devons les remplacer chacune par une autre afin de trouver deux paires de solutions pour nos équations simultanées :

1) $y=3\left(3\right)+6=15$ ou 1)$y=3(-2)+6=0$

Cela nous donne les paires

$x=3,y=15$ou $x=-2,y=0$

vérifie :

2) $y=x^2+2x$

$y={\left(3\right)}^2+2\left(3\right)=9+6=15$

$y={(-2)}^2+2(-2)=4-4=0$

Ali achète 2 caramels et 3 boules de gomme. Bea achète 3 caramels et 2 gommes. Le total d'Ali s'élève à 0,10 € et Bea paie 0,15 €. Combien coûtent les caramels et les gommes ?

Tout d'abord, nous devons identifier les variables. Dans ce cas, il s'agit des caramels et des gommes. Nous pouvons voir que 2 caramels et 3 boules de gomme coûtent 10 pence, et que 3 caramels et 2 boules de gomme coûtent 15 pence. À l'aide de ces informations, nous pouvons écrire les équations suivantes, où g représente les gommes et t les caramels :

1) $3g+2t=10$

2) $2g+3t=15$

Tu peux voir qu'il s'agit en fait d'une des séries d'équations simultanées de tout à l'heure !