Lignes perpendiculaires

Nous avons appris le concept des lignes. Lorsque l'on considère deux lignes, on obtient une forme particulière de lignes. Comme le type de lignes que tu peux voir sur le panneau de passage à niveau, les bords d'un plancher et d'un mur qui se croisent, ou le signe plus sur la trousse de premiers secours. Ces types de lignes sont des lignes perpendiculaires.

C'est parti Inscris-toi gratuitement
Lignes perpendiculaires Lignes perpendiculaires

Crée des supports d'apprentissage sur Lignes perpendiculaires avec notre appli gratuite!

  • Accès instantané à des millions de pièces de contenu
  • Fiches de révision, notes, examens blancs et plus encore
  • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens
Inscris-toi gratuitement

Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement

Inscris-toi gratuitement

Convertis des documents en flashcards gratuitement avec l'IA

Tables des matières
Table des mateères

    Nous allons examiner ici les lignes perpendiculaires et comprendre les différents concepts qui s'y rapportent.

    Signification des lignes perpendiculaires

    Les lignes perpendiculaires sont les lignes qui se coupent à un certain angle. Comme leur nom l'indique, une perpendiculaire est formée entre les deux lignes. Une perpendiculaire est un angle droit. Par conséquent, les deux lignes se coupent à \(90º\).

    Deux lignes droites distinctes qui se coupent à \(90º\) sont appelées lignes perpendiculaires.

    Lignes perpendiculaires, lignes perpendiculaires, StudySmarterDroites perpendiculaires, StudySmarter Originals

    Ici, les droites AB et CD se coupent au point O et l'angle d'intersection est de \(90\) degrés. Les deux droites \(AB\) et \(CD\) sont donc des droites perpendiculaires. Nous les désignons donc par le signe \N(\Nperp\N).

    \N- [\N-implique AB\N-implique CD\N]

    N'oublie pas non plus que les quatre angles des lignes perpendiculaires sont tous égaux à \(90\) degrés. Voici donc

    \[\N-angle AOD=\Nangle AOC=\Nangle COB=\Nangle BOD=90º\N]

    Lignes perpendiculaires, lignes non perpendiculaires, StudySmarterLignes non perpendiculaires, StudySmarter Originals

    Ici, les deux types de lignes ne sont pas perpendiculaires car les lignes de la première figure se croisent mais pas à 90°. Et les lignes de la deuxième figure ne se croisent pas du tout. Par conséquent, il faut savoir que toutes les lignes qui se croisent ne sont pas des lignes perpendiculaires.

    Droites perpendiculaires Gradient

    Le gradient des droites perpendiculaires est la pente ou l'inclinaison des droites. Comme les deux droites perpendiculaires sont en fait une droite en soi, nous pouvons les représenter sous la forme d'une équation de droite \(y=mx+b\). Cette équation décrit la valeur de \(y\) lorsqu'elle varie en fonction de \(x\). Et m est la pente de cette ligne et \(b\) est l'ordonnée à l'origine.

    La pente des lignes perpendiculaires est la réciproque négative de l'une à l'autre. Supposons que la pente de la première ligne soit \N(m_1\N) et que la pente de la deuxième ligne soit \N(m_2\N). La relation entre les deux pentes des droites perpendiculaires est \N(m_1 -m_2=-1\N).

    On peut donc dire que si le produit de deux pentes est \(-1\), les deux lignes sont perpendiculaires l'une à l'autre.

    Lignes perpendiculaires, gradient de lignes perpendiculaires, StudySmarterLignes perpendiculaires avec relation de pente, StudySmarter Originals

    Formule de la pente des droites perpendiculaires

    Nous pouvons trouver la pente de la ligne perpendiculaire à l'aide de l'équation d'une ligne et en utilisant le concept de pente mentionné ci-dessus. La forme générale de l'équation d'une droite est représentée par \(ax+by+c=0\). Nous pouvons alors simplifier cette équation comme suit :

    \[ax+by+c=0\]

    \[\implique que y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\quad \quad (1)\N].

    Nous savons également que l'équation d'une droite en termes de pente peut être écrite comme suit,

    \[y=m_1x+b\\Nquad\N(2)\N]

    En comparant les équations \N((1)\N) et \N((2)\N), nous obtenons que \N(m_1=-\Ndfrac{a}{b}\N). Et d'après la théorie de la pente ci-dessus, nous savons que le produit des pentes des droites perpendiculaires est \N(-1\N).

    \N-implique que m_1 - m_2=-1\N]

    \N- [\N- Début{align} \implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}=\\&=-\dfrac{1}{-\frac{a}{b}}=\\&=\dfrac{b}{a}\\\\ \therefore m_2&=\dfrac{b}{a} \end{align}\]

    Ainsi, à partir de l'équation donnée de la droite \(ax+by+c=0\), nous pouvons calculer les pentes des droites perpendiculaires en utilisant la formule \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).

    Suppose qu'une droite \(5x+3y+7=0\) soit donnée. Trouve la pente de la droite perpendiculaire à la droite donnée.

    Solution:

    On sait que \(5x+3y+7=0\). En la comparant à l'équation générale de la droite \N(ax+by+c=0\N), nous obtenons \N(a=5\N), \N(b=3\N), \N(c=7\N).

    Utilisons maintenant la formule ci-dessus pour calculer la pente.

    \[\begin{align}\implies m_1&=-\dfrac{a}{b}=\\\\&=-\dfrac{5}{3}\end{align}\]

    Maintenant, en utilisant la formule mentionnée ci-dessus dans l'explication, la pente de la ligne perpendiculaire est,

    \[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{b}{a}=\\\\&=-\dfrac{3}{5}\end{align}\]

    Par conséquent, la pente de la droite perpendiculaire à \(5x+3y+7=0\) est \(m_2=\dfrac{3}{5}\).

    Equation de la ligne perpendiculaire

    L'équation d'une droite perpendiculaire peut être dérivée de l'équation d'une droite qui s'écrit sous la forme \(y=mx+b\). Nous avons étudié que les pentes des droites perpendiculaires sont la réciproque négative l'une de l'autre. Ainsi, lorsque nous écrivons des équations de droites perpendiculaires, nous devons nous assurer que les pentes de chaque droite multipliées ensemble donnent \(-1\).

    Si nous voulons trouver une équation pour une ligne perpendiculaire à une autre ligne, nous devons prendre la réciproque négative de la pente de cette ligne. Cette valeur sera la valeur de \(m\) dans l'équation. L'ordonnée à l'origine peut être n'importe quoi, car une ligne peut avoir une infinité de droites perpendiculaires qui la coupent. Donc, sauf indication contraire dans la question, tu peux utiliser n'importe quelle valeur pour \(b\).

    Trouve l'équation d'une droite passant par le point \((0,2)\) telle qu'elle soit perpendiculaire à la droite \(y=2x-1\).

    Solution:

    Tout d'abord, nous trouvons la pente de la ligne perpendiculaire. Ici, l'équation d'une droite est donnée \(y=2x-1\). En la comparant à l'équation générale de la droite \N(y=mx+b\N), nous obtenons \N(m_1=2\N).

    Prenons maintenant la réciproque négative de la pente ci-dessus pour trouver la pente de l'autre droite.

    \[\implies m_2=-\dfrac{1}{m_1}\]

    \[\N-implique que m_2=-\Ndfrac{1}{2}\N-implique que m_2=-\Ndfrac{1}{2}\N]

    Il est mentionné dans la question que l'autre ligne passe par le point \N((0,2)\N). L'ordonnée à l'origine de cette droite sera donc ,

    \N- [y=mx+b\N]

    \N- [\N- début{alignement} &\Nimplique que y=\Ngauche(-\Ndfrac{1}{2}\Ndroite)x+b\N&\Nimplique que 2y=-x+2b\N&\Nimplique que 2y+x=2b\N&].\Nimplique 2(2)+0=2b\Nquad \Nquad\Nquad \Ntext{substitute point }(0,2)\N&\Nimplique 4=2b\N &\Ndonc b=2 \Nend{align}\N]

    Maintenant, nous substituons enfin toutes les valeurs obtenues dans l'équation de la droite.

    \N- [y=mx+b\N]

    \[\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+2\]

    Graphiquement, nous pouvons représenter les droites perpendiculaires obtenues comme ci-dessous.

    Lignes perpendiculaires, graphique des lignes perpendiculaires, StudySmarterGraphique des droites perpendiculaires, StudySmarter Originals

    Exemples de droites perpendiculaires

    Jetons un coup d'œil à quelques exemples de droites perpendiculaires.

    Vérifie si les lignes données sont perpendiculaires ou non.

    Ligne 1 : \N(4x-y-5=0\N), Ligne 2 : \N(x+4y+1=0\N).

    Solution:

    Pour vérifier si les lignes données sont perpendiculaires, nous allons voir si le produit des pentes est \(-1\) ou non. En comparant les équations données de la ligne \(4x-y-5=0\), \(x+4y+1=0\) avec la forme générale \(ax+by+c=0\).

    \N-implications a_1=4,\Nquad b_1=-1,\Nquad c_1=-5;\Nquad a_2=1,\Nquad b_2=4,\Nquad c_2=1\N]

    Nous allons maintenant utiliser la formule pour calculer la pente des lignes perpendiculaires. Par conséquent, pour la ligne 1, nous obtenons

    \[\implies m_1=-\dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{4}{(-1)}=\dfrac{4}{1}=4\]

    Et pour la ligne 2, la pente est

    \[\implies m_2=-\dfrac{a_2}{b_2}=-\dfrac{1}{4}\]

    Ici, \(m_1=4\), \(m_2=-\dfrac{1}{4}\) sont des réciproques négatives l'une de l'autre. Le produit des deux est donc

    \N-[m_1 -m_2=4\Nfois \Nà gauche(-\Ndfrac{1}{4}\Nà droite)=-1\N]

    Par conséquent, les deux lignes données sont perpendiculaires l'une à l'autre.

    Trouve l'équation de la droite si elle passe par le point \((0,1)\) et est perpendiculaire à une autre droite \(x+y=6\).

    Solution :

    Ici, l'équation de la première droite est donnée par \(x+y=6\). Et la deuxième ligne passe par le point \N((0,1)\N). Nous allons maintenant simplifier l'équation de la droite donnée pour qu'elle ressemble à la forme \N(y=mx+b\N).

    \N- [\N-implique x+y=6\N]

    \N- [\N- Début{align} \Nimplique que y&=6-x\N &=-x+6\N&=(-1)x+6\Ndonc \N,y&=-1x+6 \Nend{align}\N]

    En comparant l'équation obtenue avec la forme générale de la droite ci-dessus, nous obtenons \(m_1=-1\), \(b_1=6\) pour la première droite. Maintenant, pour trouver la pente de la deuxième ligne, nous savons qu'elle est la réciproque négative de la pente de la première ligne.

    \[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}\\&=-\dfrac{1}{(-1)}\\ \therefore m_2&=1\end{align}\]

    Et comme la deuxième droite passe par le point \N((0,1)\N), l'ordonnée à l'origine est,

    \N- [y=m_2 x+b_2\N]

    \[\begin{align}\implies y&=(1)x+b_2\\ \implies y&=x+b_2\\ \implies 1&=0+b_2\quad \quad\quad \text{substitute point (0,1)}\\ \therefore b_2&=1\end{align}\]

    En mettant toutes les valeurs obtenues dans la forme générale de la droite, nous obtenons,

    \[\begin{align}y&=m_2x+b_2\\&=1x+1\\&=x-1\end{align}\]

    L'équation de la droite perpendiculaire à \N(x+y=6\N) et passant par \N((0,1)\N) est \N(y=x+1\N).

    Lignes perpendiculaires - Principaux enseignements

    • Deux droites distinctes qui se coupent à 90° sont appelées droites perpendiculaires.
    • Les pentes des droites perpendiculaires sont des réciproques négatives l'une de l'autre.
    • Les pentes des droites perpendiculaires sont calculées à l'aide de la formule suivante : \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).
    Questions fréquemment posées en Lignes perpendiculaires
    Qu'est-ce qu'une ligne perpendiculaire ?
    Une ligne perpendiculaire est une ligne qui rencontre une autre à un angle de 90 degrés.
    Comment déterminer si deux lignes sont perpendiculaires ?
    Deux lignes sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à -1.
    À quoi servent les lignes perpendiculaires en mathématiques ?
    Les lignes perpendiculaires sont utilisées pour identifier des angles droits, des figures et la symétrie.
    Quelle est la différence entre lignes parallèles et perpendiculaires ?
    Les lignes parallèles ne se rencontrent jamais, tandis que les lignes perpendiculaires se croisent à un angle de 90 degrés.

    Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

    Quelle est la mesure de l'angle d'intersection des lignes perpendiculaires ?

    Les quatre angles des lignes perpendiculaires mesurent-ils tous 90° ?

    Les pentes des lignes perpendiculaires sont les mêmes.

    Suivant

    Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

    Lance-toi dans tes études
    1
    À propos de StudySmarter

    StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

    En savoir plus
    Équipe éditoriale StudySmarter

    Équipe enseignants Mathématiques

    • Temps de lecture: 9 minutes
    • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
    Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

    Sauvegarder l'explication

    Inscris-toi gratuitement

    Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

    • Fiches & Quiz
    • Assistant virtuel basé sur l’IA
    • Planificateur d'étude
    • Examens blancs
    • Prise de notes intelligente
    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    Obtiens un accès illimité avec un compte StudySmarter gratuit.

    • Accès instantané à des millions de pièces de contenu.
    • Fiches de révision, notes, examens blancs, IA et plus encore.
    • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.
    Second Popup Banner