Formules des angles doubles et des demi-angles: Trigonométrie, Identité

Q: Quelles sont les formules des angles doubles?

Les formules des angles doubles sont : sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) ou cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1 ou cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ).

Q: Quelles sont les formules des demi-angles?

Les formules des demi-angles sont : sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) et cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2).

Q: Comment utiliser les formules des angles doubles?

Pour utiliser les formules des angles doubles, remplacez θ par la valeur de l'angle initial pour trouver les valeurs de sin(2θ) et cos(2θ).

Q: Quel est l'intérêt des formules des angles doubles et des demi-angles?

L'intérêt des formules des angles doubles et des demi-angles est de simplifier le calcul des fonctions trigonométriques pour des angles multiples ou sous-multiples.

Sauter à un chapitre clé

$\sin 2 θ \neq 2 \sin θ$

$\cos \frac{θ}{2} \neq \frac{\cos θ}{2}$ ?

Dans cet article, tu comprendras ce qui se passe lorsque les identités trigonométriques sont doublées ou divisées par deux.

Formules à double angle

Les fonctions trigonométriques peuvent être doublées mais pas de la même manière que les nombres normaux.

Si tu as l'expression 3y et que tu dois la doubler, il est facile de multiplier 3y par 2 pour obtenir 6y. Note que sin30° est 0,5 et que doubler l'angle donne 60°, mais sin60° ne te donnerait pas 1. Comme les opérations mathématiques normales multiplient 0,5 par 2 pour donner 1, les identités trigonométriques ont besoin de leur propre formule pour doubler leur fonction.

Dériver la formule de l'angle double pour la fonction sinusoïdale

Nous avons l'intention de trouver la formule pour sin2θ. Note que

$\sin 2 θ = \sin (θ + θ)$

Rappelle que,

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A$

Prends maintenant $A = B = θ,$ nous obtenons

$\sin 2 θ = \sin θ \cos θ + \sin θ \cos θ = 2 \sin θ \cos θ$

La formule du double angle pour la fonction sinus est donnée par $\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ .$

Trouve $\sin 60 °$ en utilisant la formule de l'angle double.

Solution :

Nous avons

$60 ° = 2 (30 °)$

Ainsi

$\sin 60 ° = \sin (2 \times 30 °) = 2 \sin 30 ° \cos 30 °$

mais,

$\sin 30 ° = \frac{1}{2}, \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Alors ,

$\sin 60 ° = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étant donné que $90 ° < θ < 180 °$ trouve $\sin 2 θ$ si

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solution :

Nous avons sinθ dans la donnée, mais pour appliquer notre formule, nous devons trouver cosθ.

Rappelle que,

$\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$

Ainsi ,

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} \cos^{2} θ = \frac{9}{25}$

Nous prenons la racine carrée des deux côtés pour obtenir,

$\cos θ = \pm \frac{3}{5}$

Note que l'étendue de l'angle est comprise entre 90° et 180°, cela signifie que θ se trouve dans le deuxième quadrant. Le cosinus des angles dans le deuxième quadrant a des valeurs négatives. Ainsi ,

$\cos θ = - \frac{3}{5}$

Il nous faut maintenant appliquer notre formule de l'angle double,

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ = 2 \times \frac{4}{5} \times (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}$

Dériver la formule du double angle pour la fonction Cosinus

Nous allons maintenant développer une formule d'angle double pour la fonction cosinus. Nous déduisons trois formules égales.

Nous notons d'abord que

$\cos 2 θ = \cos (θ + θ)$

Maintenant, rappelle-toi que

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

En prenant $A = B = θ,$ nous obtenons

$\cos 2 θ = \cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

Ainsi, nous obtenons la première formule pour $\cos 2 θ$ ,

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

Rappelons maintenant l'identité

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1

et nous avons donc

\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ

Remplaçons maintenant cette formule par la formule obtenue pour $\cos 2 θ,$ pour obtenir

$\cos 2 θ = 1 - \sin^{2} θ - \sin^{2} θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$

Ainsi, la deuxième formule pour $\cos 2 θ$ est

$\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$

De la même façon, nous avons $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ .

En substituant la valeur de $\sin^{2} θ$ dans la formule de $\cos 2 θ$ on obtient

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ = 2 \cos^{2} θ - 1$

Ainsi, la troisième formule pour $\cos 2 θ$ est

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$

Les formules de l'angle double pour la fonction cosinus sont données par ,

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = 2 \cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 \sin^{2} θ$

Étant donné que $90 ° < θ < 180 °$ , trouve $\cos 2 θ$ si

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solution :

Méthode 1.

La façon directe de trouver $\cos 2 θ$ est d'utiliser la formule $\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$ Puisqu'on nous donne la valeur de $\sin θ$ .

Donc ,

$\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ = 1 - 2 {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - 2 (\frac{16}{25}) = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25 - 32}{25} = - \frac{7}{25}$

Méthode 2.

Nous pouvons utiliser l'une ou l'autre des autres formules pour trouver id="5218379" role="math" $\cos 2 θ$ Nous utiliserons donc id="5218380" role="math" $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1 .$ Il nous faut donc trouver $\cos θ$ .

Nous rappelons que $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ , donc

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons

$\cos θ = \pm \frac{3}{5}$

Notons que $90 ° < θ < 180 °$ , ce qui signifie que $θ$ se trouve dans le deuxième quadrant. Le cosinus des angles dans le deuxième quadrant a des valeurs négatives. Ainsi,

$\cos θ = - \frac{3}{5}$

Nous pouvons donc appliquer notre formule

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1 = 2 {(- \frac{3}{5})}^{2} - 1 = 2 \times \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25}$

Pour $180 ° < θ < 270 °$ trouver $\cos 2 θ$ lorsque

$\cos θ = - \frac{1}{3}$

Solution :

Pour résoudre ce problème, il est plus rapide d'utiliser la formule $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ .

Ainsi ,

$\cos 2 θ = 2 \times {(\frac{- 1}{3})}^{2} - 1 = 2 \times \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}$

Calcul de la formule de l'angle double de la fonction tangente

Nous allons développer une formule pour un angle double de la fonction tangente.

Nous rappelons que

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

et ,

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

Ainsi ,

$\tan 2 θ = \frac{\sin 2 θ}{\cos 2 θ}$

En substituant $\sin 2 θ$ et $\cos 2 θ$ par leurs expressions, nous obtenons

$\tan 2 θ = \frac{2 \sin θ \cos θ}{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}$

Pour simplifier davantage, nous divisons le numérateur et le dénominateur du côté droit de l'équation par $\cos^{2} θ$ pour obtenir

$\tan 2 θ = \frac{\frac{2 \sin θ \cos θ}{\cos^{2} θ}}{\frac{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}} = \frac{\frac{2 \sin θ}{\cos θ}}{\frac{\cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} - \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}} = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$

La formule de l'angle double pour la fonction tangente est donnée par ,

$\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$

Étant donné que $90 ° < θ < 180 °,$ trouve $\tan 2 θ$ si

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solution :

Nous devons trouver $\tan θ$ Cela signifie que nous devons d'abord trouver $\cos θ$ .

Nous rappelons que $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ , donc $\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ$ . En remplaçant $\sin θ$ par sa valeur, nous obtenons

$\cos^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

On prend la racine carrée des deux côtés, pour obtenir

$\cos θ = \pm \frac{3}{5}$

Note que $90 ° < θ < 180 °$ ce qui signifie que $θ$ se trouve dans le deuxième quadrant. Les cosinus des angles dans le deuxième quadrant ont des valeurs négatives. Ainsi , $\cos θ = - \frac{3}{5}$ .

Par conséquent,

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{\frac{4}{5}}{- \frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \times (- \frac{5}{3}) - \frac{4}{3}$

Donc,

$\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} = \frac{2 \times (\frac{- 4}{3})}{1 - {(\frac{- 4}{3})}^{2}} = \frac{- \frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{- \frac{8}{3}}{- \frac{7}{9}} = - \frac{8}{3} \times (\frac{- 9}{7}) = \frac{24}{7}$

Dérivation des formules de l'angle double pour les fonctions sécante, cosécante et cotangente

Les fonctions sécante, cosécante et cotangente sont respectivement les réciproques du cosinus, du sinus et de la tangente. Pour dériver leurs formules de double angle, il te suffit de trouver l'inverse multiplicatif des formules de double angle correspondantes.

Formule du double angle pour la sécante

Nous rappelons par la définition de la fonction sécante que

$s e c θ = \frac{1}{\cos θ}$ donc $s e c 2 θ = \frac{1}{\cos 2 θ}$

mais d'après la formule du double angle pour le cosinus, nous avons $\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ donc

$s e c 2 θ = \frac{1}{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}$

Exprimons maintenant $s e c 2 θ$ en termes de $s e c θ$ et $c s c θ$ .

En fait, $\cos θ = \frac{1}{s e c}$ et $c s c θ = \frac{1}{\sin θ}$ et nous avons donc

$s e c 2 θ = \frac{1}{{(\frac{1}{s e c θ})}^{2} - {(\frac{1}{c s c θ})}^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{s e c^{2} θ} - \frac{1}{c s c^{2} θ}} = \frac{1}{\frac{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ}{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}} = \frac{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ} .$

La formule du double angle pour la fonction sécante est donnée par,

$s e c 2 θ = \frac{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ}$

Formule de l'angle double pour la cosécante

On rappelle par la définition de la fonction sécante que

$c s c θ = \frac{1}{\sin θ}$ donc $c s c 2 θ = \frac{1}{\sin 2 θ}$

mais d'après la formule de l'angle double pour la fonction sinus, on a $\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$ , donc

$c s c 2 θ = \frac{1}{2 \sin θ \cos θ} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sin θ} \times \frac{1}{\cos θ} = \frac{1}{2} \times c s c θ \times s e c θ c s c 2 θ = \frac{1}{2} c s c θ s e c θ$

La formule de l'angle double pour la fonction cosécante est donnée par ,

$c s c 2 θ = \frac{1}{2} c s c θ s e c θ$

Formule de l'angle double pour la cotangente

Nous rappelons par la définition de la fonction sécante que

$c o t θ = \frac{1}{\tan θ}$ donc $c o t 2 θ = \frac{1}{\tan 2 θ}$

On rappelle par la formule de l'angle double pour la fonction tangente que $\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ on a

$c o t 2 θ = \frac{1}{\frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}} = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}$

La formule du double angle pour la fonction cotangente est donnée par ,

$c o t 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}$

Etant donné que $90 ° < θ < 180 °,$ trouve $s e c 2 θ, c s c 2 θ$ et $c o t 2 θ$ étant donné que

$\sin θ = \frac{4}{5}$

Solution :

Nous avons la valeur de sinθ, mais pour appliquer ces formules, nous devons trouver cosθ.

Nous rappelons que, $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Donc $\cos θ = \pm \frac{3}{5}$ mais puisque $90 ° < θ < 180 °,$ donc $\cos θ = - \frac{3}{5}$ .

Donc

$s e c θ = - \frac{5}{3}, c s c θ = \frac{5}{4}$

Par conséquent, nous avons

$s e c 2 θ = \frac{s e c^{2} θ c s c^{2} θ}{c s c^{2} θ - s e c^{2} θ} = \frac{{(\frac{- 5}{3})}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}}{{(\frac{5}{4})}^{2} - {(\frac{- 5}{3})}^{2}} = \frac{\frac{25}{9} \times \frac{25}{16}}{\frac{25}{16} - \frac{25}{9}} = \frac{\frac{625}{144}}{\frac{225 - 400}{144}} = \frac{625}{- 175} = - \frac{25}{7}$

c s c 2 θ = \frac{1}{\sin 2 θ} = \frac{1}{2 \cos θ \sin θ} = \frac{1}{2 (- \frac{3}{5}) (\frac{4}{5})} = \frac{1}{- \frac{24}{25}} = - \frac{25}{24}

c o t 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}

, mais

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{- 3}{5}} = \frac{- 4}{3}

, donc on a

c o t 2 θ = \frac{1 - {(\frac{- 4}{3})}^{2}}{2 (\frac{- 4}{3})} = \frac{1 - \frac{16}{9}}{- \frac{8}{3}} = \frac{- \frac{7}{9}}{- \frac{8}{3}} = - \frac{7}{9} \times (- \frac{3}{8}) = \frac{7}{24} .

Formules de demi-angle

Les fonctions trigonométriques peuvent être divisées par deux, mais pas de la même manière que les nombres normaux. Si tu as l'expression 6y et que tu dois la diviser par deux, il est facile de multiplier 6y par 0,5 pour obtenir 3y. Note que sin30° est 0,5 et que diviser l'angle par deux donne 15 degrés, mais sin15° ne donnerait pas 0,25. Comme les opérations mathématiques normales multiplient 0,5 par 0,5 (moitié) pour obtenir 0,25, les identités trigonométriques nécessitent leur propre formule pour diviser leur fonction par deux.

Dérivation de la formule du demi-angle pour le sinus

Pour trouver $\sin \frac{θ}{2}$ nous rappelons d'abord que

$\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$

Soit $θ = \frac{\emptyset}{2}$ , donc

$\cos (2 \times \frac{ϕ}{2}) = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2} \cos ϕ = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2}$

Pour isoler $\sin^{2} \frac{ϕ}{2}$ on soustrait 1 des deux côtés, ce qui donne

$co ϕ - 1 = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2} - 1 - 2 \sin^{2} \frac{ϕ}{2} = \cos ϕ - 1$

En divisant les deux côtés de l'équation par -2, on obtient

$\sin^{2} \frac{ϕ}{2} = \frac{1 - \cos ϕ}{2}$

En prenant la racine carrée des deux côtés de l'équation, on obtient

$\sin \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos ϕ}{2}}$

La formule du demi-angle pour la fonction sinus est donnée par ,

$\sin \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos ϕ}{2}}$

Si $\sin θ = \frac{2}{3}$ et 90°<θ<180°, trouve $\sin \frac{θ}{2}$ .

Solution :

Puisque $90 ° < θ < 180 °,$ $45 ° < \frac{θ}{2} < 90 °$ , donc $\sin θ > 0 .$ D'où ,

\sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

Ainsi, pour trouver $\sin \frac{θ}{2}$ , il faut trouver cosθ. Rappelle que

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ \cos θ = \sqrt{1 - \sin^{2} θ}$

Puisque

$\sin θ = \frac{2}{3}$

Alors ,

$\cos θ = \sqrt{1 - {(\frac{2}{3})}^{2}} \cos θ = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} \cos θ = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Nous pouvons maintenant substituer la valeur de cosθ dans notre équation.

$\sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{5}}{3}}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{3}}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3} \times \frac{1}{2}} \sin \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{6}}$

Dériver la formule du demi-angle pour le cosinus

Rappelle-toi que

$\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$

Où ,

$θ = \frac{\emptyset}{2}$

Par conséquent

$\cos (2 \times \frac{\emptyset}{2}) = (2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}) - 1 \cos \emptyset = (2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}) - 1$

Ajoute 1 aux deux côtés de l'équation

$\cos \emptyset + 1 = (2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}) - 1 + 1 \cos \emptyset + 1 = 2 \times \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}$

Divise les deux côtés par 2

$\frac{\cos \emptyset + 1}{2} = \cos^{2} \frac{\emptyset}{2}$

Trouve la racine carrée des deux côtés de l'équation.

$\sqrt{\frac{\cos \emptyset + 1}{2}} = \cos \frac{\emptyset}{2}$

Donc

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

Étant donné que

$\sin θ = - \frac{3}{4}$

pour $180 ° < θ < 270 °$ , trouve $\cos \frac{θ}{2}$ .

Solution :

Pour commencer, obtiens la valeur de cosθ.

Note que

$\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ$

Ainsi

$\cos^{2} θ = 1 - {(- \frac{3}{4})}^{2} \cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{16} \cos^{2} θ = \frac{7}{16} \cos θ = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

Rappelle dans la question que θ se trouve dans le troisième quadrant, donc que les valeurs du cosinus seraient négatives. Ainsi

$\cos θ = - \frac{\sqrt{7}}{4}$

Note avant

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

En substituant la valeur de cosθ, on obtient donc

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{7}}{4}}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{7}}{4}}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{4 - \sqrt{7}}{4} \times \frac{1}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{4 - \sqrt{7}}{8}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{\sqrt{4 - \sqrt{7}}}{2 \sqrt{2}}$

Multiplie le côté droit de l'équation par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ (rationalisation des surds)

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{\sqrt{4 - \sqrt{7}}}{2 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{7}}}{4}$

Maintenant que θ a été divisé par deux, les conditions changeraient aussi par

$180 ° < θ < 270 °$

Les angles tombent ici dans le troisième quadrant.

En divisant cela par 2, tu obtiens

$90 ° < \frac{θ}{2} < 135 °$

$\frac{θ}{2}$ tombe dans le deuxième quadrant et cosθ est négatif dans le deuxième quadrant.

$\cos \frac{θ}{2} = - \frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{7}}}{4}$

Dériver la formule du demi-angle pour les tangentes

Sachant que

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} \sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

Alors

$\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}}{\sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\frac{\sqrt{1 - \cos θ}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{\cos θ + 1}}{\sqrt{2}}} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{1 - \cos θ}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\cos θ + 1}} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{1 - \cos θ}}{\sqrt{\cos θ + 1}}$

Multiplie le côté droit de l'équation par $\frac{\sqrt{\cos θ + 1}}{\sqrt{\cos θ + 1}}$ et tu obtiendras

$\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}}{\cos θ + 1}$

Rappelle-toi que

$1 - \cos^{2} θ = \sin^{2} θ$

Dans ce cas

$\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{\sin^{2} θ}}{\cos θ + 1} t an \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}$

Trouve $\tan \frac{\emptyset}{2}$ lorsque $\tan \emptyset = \frac{4}{3}$ .

Solution :

Avec la valeur donnée, l'opposée et l'adjacente sont respectivement 4 et 3. En utilisant le théorème de Pythagore, nous arriverons à une valeur pour l'hypoténuse.

$h y p o t e n u s e^{2} = o p p o s i t e^{2} + a d j a c e n t^{2} h y p o t e n u s e^{2} = 4^{2} + 3^{2} h y p o t e n u s e^{2} = 25 h y p o t e n u s e = 5$

Nous avons maintenant la valeur de l'hypoténuse, alors

$\sin \emptyset = \frac{4}{5} \cos \emptyset = \frac{3}{5}$

Tu peux maintenant appliquer la formule

$t an \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1} θ = \emptyset \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{\sin \emptyset}{\cos \emptyset + 1} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5} + 1} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{5}} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{8} \tan \frac{\emptyset}{2} = \frac{1}{2}$

Calcul de la formule du demi-angle pour la sécante, la cosécante et la cotangente

Comme nous l'avons déjà mentionné, la sécante, la cosécante et la cotangente sont respectivement l'inverse du cosinus, du sinus et de la tangente. Pour dériver leurs formules de demi-angle, il te suffit donc de trouver l'inverse multiplicatif des formules de demi-angle correspondantes. Ainsi, la formule du demi-angle de la sécante devient :

$s e c θ = \frac{1}{\cos θ} \cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}} s e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{\cos θ + 1}}$

la formule du demi-angle de la cosécante devient :

$\cos e c θ = \frac{1}{\sin θ} \sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \cos e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos θ}}$

et la formule du demi-angle de la cotangente devient :

$c o t θ = \frac{1}{\tan θ} \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ}$

C'est la même chose que

$c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ}{\sin θ} + \frac{1}{\sin θ} c o t \frac{θ}{2} = c o t θ + \cos e c θ$

Si $s e c θ = \frac{13}{12}$ , trouve les valeurs de $s e c \frac{θ}{2}$ , $\cos e c \frac{θ}{2}$ et $c o t \frac{θ}{2}$ .

Solution :

Puisque ,

$s e c θ = \frac{13}{12}$

$s e c θ = \frac{1}{\cos θ}$

Alors ,

$\cos θ = \frac{12}{13}$

Sachant que ;

$\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ \sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$

Par conséquent ;

$\sin θ = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} \sin θ = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} \sin θ = \sqrt{\frac{25}{169}} \sin θ = \frac{5}{13}$

Les valeurs de cosθ ainsi que de sinθ ayant été trouvées, il est plus facile de trouver les demi-angles de sec, cosec et cot. Ainsi, le demi-angle de sec devient :

$s e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{\cos θ + 1}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{\frac{12}{13} + 1}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{\frac{25}{13}}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{2 \times \frac{13}{25}} s e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{26}{25}} s e c \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{26}}{5}$

Pour le demi-angle de cosec

$\cos e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos θ}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{1 - \frac{12}{13}}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{2}{\frac{1}{13}}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{2 \times \frac{13}{1}} \cos e c \frac{θ}{2} = \sqrt{26}$

Et pour le demi-angle de cot

$c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\frac{12}{13} + 1}{\frac{5}{13}} c o t \frac{θ}{2} = \frac{\frac{25}{13}}{\frac{5}{13}} c o t \frac{θ}{2} = \frac{25}{13} \times \frac{13}{5} c o t \frac{θ}{2} = 5$

Applications des formules du double angle et du demi-angle

Voici quelques exemples qui montrent l'application des formules du double angle et du demi-angle.

Résous la pour θ dans

$\sin (2 θ) + 4 \sin θ + 2 \cos θ = - 4$

Solution :

Rappelle que

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$

Substitue dans l'équation. Par conséquent ,

$2 \sin θ \cos θ + 4 \sin θ + 2 \cos θ = - 4 2 \sin θ \cos θ + 4 \sin θ + 2 \cos θ + 4 = 0 (2 \sin θ \cos θ + 4 \sin θ) + (2 \cos θ + 4) = 0 2 \sin θ (\cos θ + 2) + 2 (\cos θ + 2) = 0 (2 \sin θ + 2) (\cos θ + 2) = 0$

Cela signifie que

$2 \sin θ + 2 = 0 2 \sin θ = - 2 \frac{2 \sin θ}{2} = \frac{- 2}{2} \sin θ = - 1$

$\cos θ + 2 = 0 \cos θ = - 2$

Maintenant, pour trouver θ, nous devons trouver à la fois arcsinθ et arccosθ. Par conséquent,

$θ = \sin^{- 1} (- 1) θ = 270 °$

Cependant, -2 dépasse les valeurs possibles pour arccosθ. Par conséquent,

$\cos θ = - 2$

n'est pas valide

La valeur de θ est donc de 270°.

$\sin ϕ = \sqrt{\frac{1}{5}}$

trouver

$\cos \frac{ϕ}{2}$

Solution :

La première chose à faire est de trouver cosϕ. Sachant que

$\cos^{2} ϕ + \sin^{2} ϕ = 1 \cos^{2} ϕ = 1 - \sin^{2} ϕ \cos ϕ = \sqrt{1 - \sin^{2} ϕ}$

Maintenant, substitue la valeur de sinϕ pour trouver cosϕ.

$\cos ϕ = \sqrt{1 - \sin^{2} ϕ} \cos ϕ = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} \cos ϕ = \sqrt{\frac{4}{5}} \cos ϕ = \frac{2}{\sqrt{5}} \cos ϕ = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cos ϕ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Rappelle que

$\cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$

D'où ,

$\cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5} + 1}{2}} \cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2 \sqrt{5} + 5}{5}}{2}} \cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2 \sqrt{5} + 5}{5} \times \frac{1}{2}} \cos \frac{ϕ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2 \sqrt{5} + 5}{10}}$

Formules de l'angle double et du demi-angle - Principaux enseignements

Une fonction trigonométrique ne peut pas être divisée par deux ou doublée à l'aide de méthodes arithmétiques normales. Il faut plutôt utiliser certaines formules pour effectuer ces opérations.
Pour doubler l'angle des fonctions sinus : $si n 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$
Pour doubler l'angle des fonctions cosinus, on peut utiliser l'une des formules suivantes. $\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ ou $\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$ ou $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ .
Pour doubler l'angle des fonctions tangentes : $\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ .
Pour doubler l'angle des fonctions sécantes : $s e c 2 θ = \frac{1}{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}$ .
Pour doubler l'angle des fonctions cosécantes : $\cos e c 2 θ = \frac{1}{2 \sin θ \cos θ}$ .
Pour doubler l'angle des fonctions cotangentes : $c o t 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{2 \tan θ}$ .
Pour trouver le demi-angle des fonctions sinus, utilise : $\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}$ .
Pour trouver le demi-angle de la fonction cosinus, utilise : : $\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cos θ + 1}{2}}$
Pour trouver le demi-angle des fonctions tangentes, utilise : : $t an \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}$ .
Pour trouver le demi-angle des fonctions sécantes, utilise : : $s e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{\cos θ + 1}}$ .
Pour trouver le demi-angle des fonctions cosécantes, utilise : : $\cos e c \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos θ}}$ .
Pour trouver le demi-angle des fonctions cotangentes, utilise : : $c o t \frac{θ}{2} = \frac{\cos θ + 1}{\sin θ}$ .

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Questions fréquemment posées en Formules des angles doubles et des demi-angles

Quelles sont les formules des angles doubles?

Les formules des angles doubles sont : sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) ou cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1 ou cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ).

Quelles sont les formules des demi-angles?

Les formules des demi-angles sont : sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) et cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2).

Comment utiliser les formules des angles doubles?

Pour utiliser les formules des angles doubles, remplacez θ par la valeur de l'angle initial pour trouver les valeurs de sin(2θ) et cos(2θ).

Quel est l'intérêt des formules des angles doubles et des demi-angles?

L'intérêt des formules des angles doubles et des demi-angles est de simplifier le calcul des fonctions trigonométriques pour des angles multiples ou sous-multiples.

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