Fonctions injectives

Définition d'une fonction injective

Supposons que nous ayons 2 ensembles, A et B. Si une fonction qui pointe de A vers B est injective, cela signifie qu'il n'y aura pas deux éléments ou plus de l'ensemble A pointant vers le même élément de l'ensemble B. Inversement, aucun élément de l'ensemble B ne sera pointé par plus d'un élément de l'ensemble A.

Fonction injective - aucun élément de l'ensemble B n'est pointé par plus d'un élément de l'ensemble A, mathisfun.com.

Une telle fonction est également appelée fonction biunivoque puisqu'un élément de l'intervalle correspond à un seul élément du domaine.

Composition de fonctions injectives

La composition de fonctions est une façon de combiner des fonctions. Dans la composition de fonctions, la sortie d'une fonction devient l'entrée de l'autre. Pour en savoir plus sur la composition de fonctions, consulte notre article sur la composition de fonctions.

Considérons deux fonctions$g:B\to C$ et$f:A\to B$. Si ces deux fonctions sont injectives, alors , $f\circ g:A\to C$ qui est leur composition, est également injective.

Prouvons-le.

Soit $x,y\in A$ et supposons que $(f\circ g)\left(x\right)=(f\circ g)\left(y\right)$.

D'après ce qui précède,

$f(g(x))=f(g(y))$

Puisque $f$ est injectif,

$g\left(x\right)=g\left(y\right)$

$g$ est également injectif. Par conséquent ,

$x=y$

Cela implique que$f\circ g$ est une injection.

Explication graphique des fonctions injectives

Lorsque tu dessines une fonction injective sur un graphique, pour toute valeur de y, il n'y aura pas plus d'une valeur de x.

Ainsi, étant donné le graphique d'une fonction, si aucune ligne horizontale (parallèle à l'axe des X) ne coupe la courbe en plus d'un point, on peut conclure que la fonction est injective. En revanche, si l'on peut tracer une ligne horizontale qui coupe la courbe en plus d'un point, on peut conclure qu'elle n'est pas injective. C'est ce qu'on appelle le test de la ligne horizontale.

Graphique d'une fonction injective - StudySmarter Originals

Considère le point P dans le graphique ci-dessus. Nous pouvons voir qu'une ligne droite passant par P et parallèle à l'axe des X ou des Y ne passera par aucun autre point que P. Cela s'applique à chaque partie de la courbe. Ainsi, la courbe passe à la fois le test de la ligne verticale, ce qui implique qu'il s'agit d'une fonction, et le test de la ligne horizontale, ce qui implique qu'il s'agit d'une fonction injective.

Fonction non injective - StudySmarter Originals

En revanche, le graphique ci-dessus n'est pas une fonction injective. Les points P1 et P2 ont les mêmes valeurs Y (étendue) mais correspondent à des valeurs X (domaine) différentes. Il ne s'agit donc pas d'une fonction injective.

Types de fonctions injectives

Les types de fonctions injectives sont les suivants.

• $f:R\to R,f\left(x\right)=2x+1$est injectif.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ est injectif.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=2x$ est injectif
• $f:R\to R,f\left(x\right)=x^3$ est injectif
• $f:R\to R,f\left(x\right)=\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$ est injectif
• $f:R\to R,f\left(x\right)=4x+5$ est injective.
• $f:N\to N,f\left(x\right)=x^2$ est injective, puisque tous les nombres naturels ont des carrés uniques.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=x^2+1$ n'est pas injective.
• $f:R\to R,f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ n'est pas injective.

Fonctions injectives, surjectives et bijectives

Outre les fonctions injectives, il existe d'autres types de fonctions comme les fonctions surjectives et bijectives. Il est important que tu puisses différencier ces fonctions d'une fonction injective. Voyons donc quelles sont leurs différences.

Pour les fonctions injectives, il s'agit d'une correspondance univoque. Chaque élément de A a une correspondance unique dans B, mais pour les autres types de fonctions, ce n'est pas le cas. Pour une fonction bijective, chaque élément de A correspond parfaitement à un élément de B. Aucun élément n'est oublié. Voir la figure ci-dessous.

Fonction bijective.

Pour les fonctions surjectives, chaque élément de l'ensemble B a au moins un élément correspondant dans A et plus d'un élément dans A peut pointer vers un seul élément dans B. Voir la figure ci-dessous.

Fonction surjective.

Exemples de fonctions injectives

Il en va de même pour les fonctions $f\left(x\right)=x^3,x^5$, etc.

Il en va de même pour les fonctions telles que $x^4,x^6$, etc.