Résolution de systèmes d'inégalités

Une entreprise peut vouloir savoir combien d'exemplaires d'un produit particulier elle doit produire pour maximiser ses profits. En supposant qu'elle parvienne à une conclusion, celle-ci est souvent présentée sous la forme d'une fourchette de produits, de sorte que tout nombre de produits supérieur à un certain nombre devrait lui permettre de réaliser des bénéfices. Cette fourchette est présentée à l'aide d'inégalités. Les entreprises utilisent les inégalités pour contrôler les stocks, planifier les chaînes de production, produire des modèles de tarification et pour l'expédition et l'entreposage des marchandises et des matériaux. Dans cet article, nous allons découvrir les systèmes d'inégalités et les façons de les résoudre.

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    Qu'est-ce qu'un système d'inégalités ?

    Un système d'inégalités est un ensemble d'inégalités qui contient une ou plusieurs variables.

    Les systèmes d'inégalités sont généralement utilisés pour déterminer la meilleure solution à un problème.

    Imaginons que l'on nous présente un problème concernant les places assises dans un bus. Le bus dispose d'un siège gauche (x) et d'un siège droit (y) pour une capacité maximale de 48 personnes. Ce problème peut être modélisé mathématiquement comme suit x+y = 48.

    Maintenant, si nous avons plus d'informations sur le fait que le bus est presque plein et que le siège droit du bus ne peut accueillir que 23 personnes. Combien de personnes se trouvent sur le côté gauche du bus ? Cette partie peut également être modélisée mathématiquement comme suit y 23 .

    Il s'agit d'un problème typique de système d'inégalités qui peut être résolu en utilisant certaines des méthodes décrites dans les sections ci-dessous.

    Comment résoudre les systèmes d'inégalités ?

    La résolution des systèmes d'inéquations peut différer légèrement des systèmes d'équations linéaires dans la mesure où la méthode de substitution et la méthode d'élimination ne peuvent pas être utilisées. Ceci est uniquement dû aux restrictions des signes d'inégalité <, >, ≤, et ≥. Cependant, la résolution d'inégalités nécessite de les représenter graphiquement afin d'en trouver les solutions.

    Nous apprendrons dans cette section à résoudre des systèmes d'inéquations en traçant le graphique de deux ou plusieurs inéquations linéaires simultanément. La solution des systèmes d'inéquations linéaires est la région où les graphiques de toutes les inéquations linéaires du système s'interceptent. Cela signifie que chaque paire de la forme (x, y) est une solution du système d'inéquations si (x, y) vérifie chacune des inéquations. L'intersection de l'ensemble des solutions de chaque inégalité est notée ∩.

    Étapes pour résoudre les systèmes d'inéquations

    Lorsque tu voudras résoudre des systèmes d'inéquations, tu devras suivre les étapes ci-dessous.

    • Fais de la variable y le sujet de chaque inégalité.

    • Représente graphiquement la première inégalité et, à l'aide de la mesure (0, 0), teste pour savoir quel côté du plan de coordonnées doit être ombré.

    • Représente la deuxième inégalité et, à l'aide de la mesure (0, 0), vérifie quel côté du plan de coordonnées doit être ombré.

    • Maintenant, ombrage la région où les deux inégalités s'interceptent. Nous pouvons alors conclure que le système d'inégalités n'a pas de solution s'il n'y a pas d'intersection.

    Résoudre des systèmes d'inégalités à deux variables

    Tu trouveras ci-dessous des exemples qui t'aideront à résoudre des systèmes d'inéquations.

    Résous les systèmes d'inégalités suivants.

    y x-1y < 2x + 1

    Solution

    Puisque nous avons déjà isolé la variable y dans les deux inéquations, nous allons tout de suite la représenter graphiquement. Trouvons les points avec lesquels nous devrions les représenter graphiquement. Nous utiliserons ici la méthode de l'ordonnée à l'origine. Quelle sera la valeur de x lorsque y = 0 ? Quelle sera la valeur de y lorsque x = 0 ? Nous pouvons remplacer le signe d'inégalité par un signe d'équation pour faciliter la résolution.

    Lorsque x =0,

    y = x-1

    y = 0-1

    y = -1

    (0, -1)

    Quand y =0,

    y = x-1

    0 = x-1

    x = 1

    (1, 0)

    Nous avons maintenant les coordonnées de notre première ligne. Cependant, comme le signe y est ≤, la ligne du graphique sera pleine. Nous pouvons également déterminer quel côté de la ligne devra être ombré mathématiquement en substituant (0, 0) à l'équation pour voir si elle est vraie.

    y x-1

    0 0-1

    0 -1

    Cela signifie que le point (0, 0) n'est pas inférieur ou égal à -1, par conséquent, nous ombrerons le côté opposé de la ligne où (0, 0) n'existe pas.

    Systèmes d'inégalités, Représentation graphique des systèmes d'inégalités, StudySmarter

    Région y = x - 1 - StudySmarter Original

    Nous allons également représenter graphiquement la deuxième inégalité en trouvant deux points à l'aide de la méthode de l'ordonnée à l'origine. Quelle sera la valeur de x lorsque y = 0 ? Quelle sera la valeur de y lorsque x = 0 ? Nous pouvons remplacer le signe de l'inégalité par le signe de l'équation pour faciliter la résolution.

    y = -2x+1

    Lorsque x = 0,

    y = -2(0)+1

    y = 1

    (0, 1)

    Quand y = 0,

    0 = -2(x)+1

    -2x = 1

    x = -0.5

    (-0.5, 0)

    Nous avons maintenant les coordonnées de notre deuxième ligne. Cependant, comme le signe à cet endroit est <, la ligne du graphique sera en pointillés. Nous allons également déterminer mathématiquement quel côté de la ligne devra être ombré en substituant (0, 0) à l'équation pour voir si elle est vraie.

    y < -2x+1

    0 < -2(0) + 1

    0 < 1

    C'est effectivement vrai, donc nous ombrerons la partie de la ligne qui a le point (0, 0).

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarter

    Graphique du système y ≤ x - 1 et y < -2x + 1 - StudySmarter Original

    La solution du système est l'intersection des deux régions ombrées.

    Résous le système d'inéquations suivant.

    6x-2y 123x+4y > 12

    Solution

    Nous allons d'abord représenter graphiquement la première inégalité. Nous trouverons les points en utilisant la méthode de l'ordonnée à l'origine.

    6x - 2y = 12

    Lorsque x = 0,

    6(0)-2y = 12

    y = -6

    (0, -6)

    Lorsque y = 0,

    6x - 2(0) = 12

    x = 2

    (2, 0)

    Puisque nous avons suffisamment de points pour construire la droite, nous allons tracer notre première inégalité.

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarter

    Région 6x - 2y ≥ 12 - StudySmarter Original

    Nous allons également tracer le graphique de la deuxième inégalité en trouvant deux points à l'aide de la méthode de l'ordonnée à l'origine.

    3x + 4y = 12

    Lorsque x=0,

    3(0) + 4y = 12

    y = 3

    (0, 3)

    Lorsque y = 0,

    3x + 4(0) =12

    x = 4

    (4, 0)

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarter

    Graphique du système 6x - 2y ≥ 12 et 3x + 4y > 12 - StudySmarter Original

    La solution du système est l'intersection des deux régions ombrées.

    Résous le système d'inéquations suivant.

    -4x+6y > 62x-3y > 3

    Solution

    Traçons d'abord le graphique de la première inégalité en utilisant la méthode de l'ordonnée à l'origine.

    -4x+6y = 6

    Lorsque x = 0,

    -4(0) + 6y = 6

    y = 1

    (0, 1)

    Lorsque y = 0,

    -4x + 6(0) = 6

    x = -1.5

    (-1.5, 0)

    Puisque nous avons suffisamment de points pour construire la droite, nous allons tracer notre première inégalité.

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarter

    Région -4x + 6y > 6 - StudySmarter Original

    Nous allons également tracer le graphique de la deuxième inégalité en trouvant deux points à l'aide de la méthode de l'ordonnée à l'origine.

    2x-3y = 3

    Lorsque x = 0,

    2(0) - 3y = 3

    y = -1

    (0, -1)

    Lorsque y = 0,

    2x -3(0) =3

    x=1.5

    (1.5, 0)

    Résoudre des équations linéaires, Représenter graphiquement des équations linéaires, StudySmarter

    Graphique du système -4x + 6y > 6 et 2x - 3y > 3 - StudySmarter Original

    Nous remarquons ici que les deux droites sont parallèles, il n'y a donc pas de région qui se croise. C'est ce qu'on appelle des systèmes sans solution.

    Résoudre des systèmes d'inégalités à une variable

    Les systèmes d'inéquations à une variable impliquent de trouver l'intervalle dans lequel la solution satisfait à l'inégalité. Cependant, il est important de préciser à nouveau que nous allons avoir affaire à deux inégalités simultanées, car c'est ce que sont les systèmes. Ces deux équations sont résolues différemment et mises ensemble pour obtenir une solution finale. Prenons des exemples de la façon dont cela se fait.

    Résous l'inégalité ci-dessous et représente-la sur une droite numérique.

    2x+3 1-x+2 -1

    Solution

    Comme indiqué précédemment, nous allons résoudre chaque inégalité séparément. Nous allons donc prendre la première inégalité.

    2x+3 1

    Nous allons maintenant la résoudre de façon algébrique, en essayant d'isoler la variable x. Pour cela, nous allons soustraire 3 de chaque côté de l'inégalité.

    2x+3 -3 1-3

    2x -2

    Divise les deux côtés de l'inégalité par 2 pour isoler la variable x.

    2x2 -22

    x -1

    La notation de l'intervalle s'écrira comme suit [-1, )

    Nous avons maintenant une solution pour la première inégalité. Procédons de la même façon pour la deuxième.

    -x+2 -1

    Nous voudrons également isoler la variable x dans cette inégalité. Nous allons soustraire 2 de chaque côté de l'inégalité.

    -x+2-2 -1 -2

    -x -3

    Nous pouvons maintenant simplement multiplier chaque côté de l'inégalité par -1. Cependant, une règle sur le traitement des inégalités dit que le signe change pour être l'opposé une fois que les deux côtés sont multipliés par un nombre négatif. Par conséquent, deviendra ≤ .

    -1(-x) -1(-3)

    x 3

    Tu as remarqué que le signe change ci-dessus ?

    La notation de l'intervalle s'écrira comme suit (, 3]

    L'intersection de ces ensembles de solutions est l'ensemble ;

    [-1, 3]

    Systèmes d'inégalités, Graphique des systèmes d'inégalités à une variable, StudySmarter

    Droite numérique de l'ensemble d'intersection [-1, 3], superprof.fr.

    Résous l'inégalité ci-dessous et écris la notation d'intervalle de celle-ci.

    2x+3 < 1-x+6 < 3

    Solution

    Nous allons résoudre les deux inégalités séparément. Nous commencerons par la première.

    2x+3 < 1

    Nous tenterons d'isoler les y en soustrayant d'abord 3 de chaque côté de l'inégalité.

    2x+3-3 < 1-3 2x<-2

    Nous diviserons chaque côté de l'inégalité par 2.

    2x2 <-22 x<-1

    L'ensemble des solutions en notation d'intervalle est (,-1).

    Nous allons maintenant résoudre la deuxième inégalité.

    -x+6 < 3

    Nous allons isoler x en soustrayant 6 de chaque côté de l'équation

    -x+6-6 < 3-6 -x<-3 -1(-x)<-1(-3)

    Nous allons multiplier chaque côté de l'inégalité par -1. Le signe change pour être l'opposé une fois que les deux côtés sont multipliés par un nombre négatif. Par conséquent, < deviendra>.

    x > 3

    La solution en notation d'intervalle est (3,).

    Résoudre des systèmes d'inéquations - Principaux enseignements

    • Un système d'inéquations est un ensemble de deux ou plusieurs inégalités en une ou plusieurs variables.
    • Les systèmes d'inégalités sont utilisés lorsqu'un problème nécessite un éventail de solutions et qu'il y a plus d'une contrainte sur ces solutions.
    • La région d'intersection de deux inégalités est la solution du problème.
    • Lorsque les systèmes d'inéquations n'ont pas de solutions, leurs lignes ne se croisent pas sur le plan de coordonnées.
    Questions fréquemment posées en Résolution de systèmes d'inégalités
    Qu'est-ce qu'un système d'inégalités?
    Un système d'inégalités est un ensemble de deux ou plusieurs inégalités contenant les mêmes variables.
    Comment résoudre un système d'inégalités linéaires?
    Pour résoudre un système d'inégalités linéaires, on trace les droites correspondantes et on identifie les régions satisfaisant toutes les inégalités.
    Quelle est la différence entre une inégalité stricte et une inégalité large?
    Une inégalité stricte utilise les symboles < ou >, excluant l'égalité, tandis qu'une inégalité large utilise ≤ ou ≥, incluant l'égalité.
    Comment vérifier la solution d'un système d'inégalités?
    Pour vérifier la solution, on substitue les valeurs des variables dans chaque inégalité et vérifie si les inégalités sont respectées.

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