Points de retournement

En anglais, l'expression "reached its turning point" signifie que quelque chose a connu un changement important. Le même concept peut également s'appliquer aux mathématiques !

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    Rappelons-nous le graphique d'une fonction quadratique. Te souviens-tu du nom de la courbe en forme de U qu'elle produit ? C'est bien cela ! Il s'agit d'une parabole.

    Exemple de parabole, StudySmarter OriginalsExemple de parabole, StudySmarter Originals

    Exemple de parabole, StudySmarter Originals

    Maintenant, remarque que le graphique s'incurve vers le bas et atteint un point où il s'incurve ensuite vers le haut. Nous voyons que la parabole change de direction lorsqu'elle rencontre cet endroit précis. C'est ce qu'on appelle le point d'inflexion.

    Dans cette leçon, nous allons examiner la notion de point d'inflexion et présenter plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer le point d'inflexion d'une fonction donnée. Tout au long de ce sujet, nous nous concentrerons uniquement sur la recherche du point d'inflexion d'une fonction quadratique de la forme,

    y=ax2+bx+c.

    Signification du point d'inflexion

    Comme nous l'avons présenté au début de cet article, le point d'inflexion d'un graphique est un point où la courbe s'écarte de sa trajectoire initiale. Autrement dit, si une voiture montait une colline et atteignait son point culminant, elle devra alors redescendre pour atteindre l'autre côté de la colline. Tu trouveras ci-dessous une définition formelle du point d'inflexion.

    Le point d'inflexion d'un graphique est un point où la courbe change de direction.

    Dans certains manuels, un point d'inflexion peut également être appelé point critique.

    Un point d'inflexion sur un graphique

    Le point d'inflexion d'une courbe est représenté par une paire de coordonnées x et y sur le plan cartésien et est désigné par le point (x, y). Tu trouveras ci-dessous un exemple de ce à quoi peut ressembler un point d'inflexion lorsqu'il est représenté sur un graphique.

    Le point d'inflexion sur le plan cartésien, StudySmarter Originals

    Le point d'inflexion sur le plan cartésien, StudySmarter Originals

    Types de points d'inflexion

    Il existe deux types de points d'inflexion que nous devons prendre en compte lorsque nous traçons des graphiques de fonctions quadratiques :

    • lepoint minimum et le point maximum.

    • lepointmaximum .

    Chaque type a sa propre orientation de courbure et peut être déterminé en regardant la valeur du coefficient principal de la fonction quadratique, c'est-à-dire le coefficient de x2. Le tableau ci-dessous décrit les principales caractéristiques de ces deux cas ainsi que leur tracé général.

    Point minimum

    Point maximum

    Le coefficient de x2 est négatif, c'est-à-dire a < 0

    Le coefficient de x2 est positif, c'est-à-dire a > 0

    Le point minimum, StudySmarter Originals

    Le point minimum, StudySmarter Originals

    Le point maximum, StudySmarter Originals

    Le point maximum, StudySmarter Originals

    Le graphique s'incurve vers le bas pour atteindre son minimum, puis s'incurve vers le haut.

    Le graphique s'incurve vers le haut pour atteindre son maximum, puis s'incurve vers le bas.

    Le point d'inflexion est le point le plus bas de la courbe

    Le point d'inflexion est le point le plus élevé de la courbe

    La valeur y du point d'inflexion est la plus petite valeur possible de la fonction

    La valeur y du point d'inflexion est la plus grande valeur possible de la fonction

    Formule du point d'inflexion

    Le point tournant d'une équation quadratique coïncide avec le sommet de la parabole correspondante. Pour déterminer les coordonnées de son sommet, nous utiliserons la formule du sommet ou, dans ce cas, la formule du point de retournement. Étant donné la forme standard d'une équation quadratique,

    y=ax2+bx+c

    la forme du sommet de cette équation quadratique est

    y=a(x-h)2+k,

    où (h, k) est le sommet ou le point d'inflexion de la parabole. Il y a deux façons de déterminer les valeurs de h et de k.

    Méthode 1

    Évalue h=-b2a et k=-D4a où D est le discriminant et D=b2-4ac.

    Méthode 2

    Calcule h=-b2a et utilise ce résultat pour trouver k en substituant cette valeur de h à y.

    Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous.

    y=3x2-8x+1

    Solution

    Utilisons la première méthode de la formule du point tournant pour trouver les valeurs de h et k.

    Ici, a = 3, b = -8 et c = 1. La valeur de h est donnée par ,

    h=-(-8)2(3)h=43

    Le discriminant est donné par,

    D=(-8)2-4(3)(1)D=52

    Ainsi, k est donné par,

    k=-524(3)k=-133

    Par conséquent, le point d'inflexion est 43, -133.

    Vérifie

    Vérifions si notre solution est correcte en utilisant la deuxième méthode de la formule du point de retournement. Comme précédemment, nous savons que

    h=-(-8)2(3)h=43

    En remplaçant cette valeur de h par y, nous obtenons

    k=y43k=3432-843+1k=-133

    Ainsi, notre point d'inflexion est 43, -133 , comme il se doit.

    Note que cette formule ne peut être appliquée qu'aux équations quadratiques telles qu'elles sont présentées ci-dessus. Elle n'est pas applicable pour trouver les points d'inflexion des polynômes de degré supérieur et d'autres fonctions complexes .Cependant, c'est là que la section suivante sera pertinente ! Ici, nous examinerons d'autres façons de localiser les points d'inflexion de n'importe quel type d'équation.

    Les mathématiques pour trouver le point d'inflexion

    Pour une fonction quadratique donnée, nous pouvons localiser le point d'inflexion de la parabole en utilisant quatre méthodes, à savoir :

    1. Ligne de symétrie

    2. Factorisation

    3. Compléter le carré

    4. Différenciation

    Dans cette partie, nous allons présenter en détail, étape par étape, chacune des techniques énoncées ci-dessus, ainsi que plusieurs exemples concrets.

    Méthode de la ligne de symétrie

    Nous commencerons par observer une caractéristique distincte d'une parabole qui nous permet de déterminer son point d'inflexion. Cette propriété est connue sous le nom de ligne de symétrie. Rappelle que la ligne de symétrie est un segment de droite qui divise un objet précisément en deux.

    Le graphique de toute fonction quadratique possède une ligne de symétrie verticale qui passe par son point d'inflexion. En d'autres termes, le point d'inflexion est situé exactement au milieu de la parabole. Pour identifier le point d'inflexion d'une courbe donnée, nous pouvons suivre les étapes suivantes.

    Étape 1 : Détermine si le graphique est un minimum ou un maximum en observant le coefficient de x2;

    Étape 2 : Identifie l'équation de la ligne de symétrie à l'aide de la formule,

    x=-b2a.

    Il s'agit de la coordonnée x du point d'inflexion ;

    Étape 3 : Évalue la coordonnée y en substituant la coordonnée x de l'étape 3 à la fonction donnée.

    Tu trouveras ci-dessous deux exemples d'application de cette méthode.

    Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous en utilisant la méthode de la ligne de symétrie.

    f(x)=2x2-3x-1

    Étape 1 : En regardant le coefficient de x2, nous avons a = 2 > 0. Puisque a est positif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un minimum.

    Étape 2 : La coordonnée x du point d'inflexion est donnée par l'équation de la ligne de symétrie. Ici, a = 2 et b = -3. Alors ,

    x=-(-3)2(2)x=34

    Étape 3 : En substituant cette valeur de x à notre équation initiale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

    f34=2342-334-1f34=-178

    Ainsi, le point d'inflexion est un point minimum donné par 34, -178. Comme il s'agit d'un point minimum, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 1, StudySmarter Originals

    Exemple 1, StudySmarter Originals

    En utilisant la méthode de la ligne de symétrie, identifie le point d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

    f(x)=-x2+4x-2

    Étape 1 : en regardant le coefficient de x2, on a a = -1 < 0. Comme a est négatif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un maximum.

    Étape 2 : La coordonnée x du point d'inflexion est donnée par l'équation de la ligne de symétrie. Ici, a = -1 et b = 4. Alors ,

    x=-42(-1)x=2

    Étape 3 : En substituant cette valeur de x à notre équation initiale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

    f(2)=-(2)2+4(2)-2f(2)=2

    Ainsi, le point d'inflexion est un point maximum donné par 2, 2. Comme il s'agit d'un point maximum, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 2, StudySmarter Originals

    Exemple 2, StudySmarter Originals

    Méthode de factorisation

    Étant donné qu'une ligne de symétrie verticale coupe la parabole en deux moitiés égales et croise son point d'inflexion, nous pouvons dire que la position de son point d'inflexion se trouve exactement au point médian entre les (deux) intersections x d'une fonction quadratique. En gardant cela à l'esprit, nous pouvons trouver le point d'inflexion d'une équation quadratique à l'aide d'une approche impliquant la factorisation. Cette méthode comporte cinq étapes.

    Étape 1 : Détermine si le graphique est un minimum ou un maximum en observant le coefficient de x2;

    Étape 2 : Factorise la fonction quadratique donnée et fixe-la à zéro ;

    Étape 3: Identifie les racines de la fonction ;

    Étape 4: localise la coordonnée x du point d'inflexion en prenant le point médian de la paire de racines ;

    Étape 5 : Évaluer la coordonnée y en substituant la coordonnée x de l'étape 4 à la fonction donnée.

    Voyons maintenant quelques exemples pratiques qui illustrent cette technique.

    Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous en utilisant la méthode de factorisation.

    f(x)=-2x2-12x-10

    Étape 1 : en regardant le coefficient de x2, on a a = -2 < 0. Comme a est négatif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un maximum.

    Étape 2 : en factorisant la fonction quadratique et en la mettant à zéro, on obtient.

    f(x)=0-2x2-12x-10=0(-x-5)(2x+2)=0

    Étape 3 : Les racines de la fonction sont données par

    -x-5=0x=-5

    et

    2x+2=02x=-2x=-1

    Les racines sont donc x = -1 et x = -5.

    Étape 4 : Pour trouver le point médian, M, de ces deux coordonnées x, il suffit de trouver leur moyenne

    M=-1+(-5)2M=-62M=-3

    La coordonnée x de notre point d'inflexion est M ou x = -3.

    Étape 5 : En substituant cette valeur de x dans notre équation originale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

    f(-3)=-2(-3)2-12(-3)-10f(-3)=8

    Ainsi, le point d'inflexion est un point maximum donné par -3, 8. Comme il s'agit d'un point maximum, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 3, StudySmarter Originals

    Exemple 3, StudySmarter Originals

    En utilisant la méthode de factorisation, identifie le point d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

    f(x)=x2-3x-18

    Étape 1 : En regardant le coefficient de x2, nous avons a = 1 > 0. Puisque a est positif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un minimum.

    Étape 2 : En factorisant la fonction quadratique et en la mettant à zéro, on obtient

    f(x)=0x2-3x-18=0(x+3)(x-6)=0

    Étape 3 : Les racines de la fonction sont données par

    x+3=0x=-3

    et

    x-6=0x=6

    Les racines sont donc x = -3 et x = 6.

    Étape4 : Pour trouver le point médian, M, de ces deux coordonnées x, il suffit de trouver leur moyenne.

    M=-3+62M=32

    Étape 5 : En substituant cette valeur de x dans notre équation originale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

    f32=322-332-18f32=-814

    Ainsi, le point d'inflexion est un point minimum donné par 32, -814. Comme il s'agit d'un point minimum, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 4, StudySmarter Originals

    Exemple 4, StudySmarter Originals

    Méthode du carré complet

    Nous allons maintenant passer à la recherche du point tournant d'une équation quadratique à l'aide d'une méthode appelée compléter le carré. Lorsque nous complétons le carré d'une fonction quadratique donnée, il prendra la forme,

    y=a(x-h)2+k

    Pour rappeler le déroulement de cette méthode, reporte-toi à la rubrique : Compléter le carré. Il y a 3 étapes à prendre en compte dans ce cas.

    Étape 1 : Détermine si le graphique est un minimum ou un maximum en observant le coefficient de x2;

    Étape 2 : Complète le carré de la fonction quadratique donnée de façon à ce qu'il ressemble à y=a(x-h)2+k;

    Étape3 : Identifie les coordonnées x et y du point d'inflexion. Les valeurs de h et k sont respectivement les coordonnées x et y.

    Maintenant que nous avons établi les étapes ci-dessus, observons deux exemples pratiques.

    Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous en utilisant la méthode de la complétion du carré.

    f(x)=2x2+9x

    Étape 1 : En regardant le coefficient de x2, nous avons a = 2 > 0. Puisque a est positif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un minimum.

    Étape 2 : En complétant le carré de la fonction quadratique, on obtient

    f(x)=2x2+9xf(x)=2x2+92xf(x)=2x+942-2942f(x)=2x+942-818

    Note que nous devons factoriser le coefficient de x2, diviser par deux le coefficient de x pour compléter le carré et équilibrer l'équation. Notre fonction a maintenant la forme suivante y=a(x-h)2+k.

    Étape 3 : À partir d'ici, h=-94 et k=-818. Les valeurs de h et k représentent respectivement les coordonnées x et y du point d'inflexion.

    Ainsi, le point d'inflexion est un point minimum donné par -94, -818. Comme il s'agit d'un point minimum, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 5, StudySmarter Originals

    Exemple 5, StudySmarter Originals

    En utilisant la méthode de la complétion du carré, identifie le point d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

    f(x)=-x2+7x+4

    Étape 1 : En regardant le coefficient de x2, nous avons a = -1 < 0. Puisque a est négatif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un maximum.

    Étape 2 : compléter le carré de la fonction quadratique.

    f(x)=-x2+7x+4f(x)=-x2-7x+4f(x)=-x-722+4+722f(x)=-x-722+654

    Note que nous devons factoriser le coefficient de x2, diviser par deux le coefficient de x pour compléter le carré et équilibrer l'équation. Notre fonction a maintenant la forme suivante y=a(x-h)2+k.

    Étape 3 : À partir d'ici, h=72 et k=654. Les valeurs de h et k représentent respectivement les coordonnées x et y du point d'inflexion.

    Ainsi, le point d'inflexion est un point maximum donné par 72, 654. Comme il s'agit d'un point maximum, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 6, StudySmarter Originals

    Exemple 6, StudySmarter Originals

    Méthode de différenciation

    Voyons maintenant notre dernière méthode pour localiser le point d'inflexion d'une fonction quadratique. Cette fois, nous aurons recours à une technique largement utilisée en calcul appelée différenciation. Rappelle que la différenciation est une méthode utilisée pour déterminer le gradient d'une courbe en un point spécifique. Tu trouveras un aperçu plus détaillé de ce sujet ici : Différenciation.

    Pour une fonction quadratique de la formey=ax2+bx+cle gradient de la courbe à son point d'inflexion est égal à zéro. En d'autres termes , dydx=0.

    Comme nous l'avons déjà mentionné, un point d'inflexion peut être un minimum ou un maximum. Examinons chaque cas à tour de rôle.

    Point minimum

    Point maximum

    Le gradient du point minimum, StudySmarter Originals

    Le gradient d'un point minimum, StudySmarter Originals

    La pente d'un point maximum, StudySmarter Originals

    Le gradient d'un point maximum, StudySmarter Originals

    À un point minimum, le gradient passe de négatif à zéro à positif.

    À un point maximum, le gradient passe de positif à zéro et à négatif.

    Pour localiser le point d'inflexion à l'aide de la différenciation, il suffit de calculer la dérivée première de la fonction donnée et de la fixer à zéro. Tu obtiendras ainsi la coordonnée x du point d'inflexion. La coordonnée y est trouvée en substituant cette valeur x trouvée à la fonction quadratique initiale.

    dydx=0 ou f'(x)=0

    La nature du point d'inflexion est déterminée en calculant la dérivée seconde de la fonction donnée. Dans ce cas,

    1. si d2yd2x>0 ou f''(x)>0 alors le point d'inflexion de notre fonction est un minimum ;

    2. si d2yd2x<0 ou f''(x)<0 alors le point d'inflexion de notre fonction est un maximum ;

    3. si d2yd2x=0 ou f''(x)=0 alors le point d'inflexion de notre fonction est un point d'inflexion.

    Note que la troisième clause sera examinée plus en détail dans le cadre du sujet sur les fonctions cubiques et les polynômes d'ordre supérieur.

    Comme nous avons maintenant couvert ces faits, observons maintenant deux exemples.

    Utilise la différenciation pour localiser les points d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

    f(x)=-4x2-x

    Solution

    Commençons par localiser les points d'inflexion de la courbe. En calculant la dérivée première de la fonction et en la fixant à zéro, nous obtenons

    f'(x)=0-8x-1=0-8x=1x=-18

    La coordonnée y est donnée par

    f-18=-4-182--18f-18=116

    Le point d'inflexion est donc -18, 116

    La nature de ce point d'inflexion est donnée par la dérivée seconde.

    f''(x)=-8<0

    Puisque la valeur de la dérivée seconde est négative, alors notre point d'inflexion est un maximum. Ainsi, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 7, StudySmarter Originals

    Exemple 7, StudySmarter Originals

    Étant donné l'équation quadratique ci-dessous, détermine son point d'inflexion à l'aide de la différenciation.

    f(x)=2x2+7x+9

    Solution

    Commençons par localiser les points d'inflexion de la courbe. En calculant la dérivée première de la fonction et en la fixant à zéro, nous obtenons

    f'(x)=04x+7=04x=-7x=-74

    La coordonnée y est donnée par

    f-74=2-742+7-74+9f-74=238

    Le point d'inflexion est donc -74, 238 .

    La nature de ce point d'inflexion est donnée par la dérivée seconde.

    f''(x)=4>0

    Puisque la valeur de la dérivée seconde est positive, alors notre point d'inflexion est un minimum. Ainsi, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

    Exemple 8, StudySmarter Originals

    Exemple 8, StudySmarter Originals

    Exemples de points de retournement

    Pour améliorer encore nos compétences en matière de recherche du point d'inflexion d'une parabole, nous terminerons notre discussion par deux exemples du monde réel impliquant le concept de point d'inflexion.

    La trajectoire d'une balle de tennis lancée sur un terrain est modélisée par

    h(x)=-0.3x2-2.7x+1.8,

    où h(x) représente la hauteur de la balle par rapport au sol en mètres. Quelle est la hauteur maximale que la balle peut atteindre d'après ce modèle de projectile ?

    Exemple 9, StudySmarter Originals

    Exemple 9, StudySmarter Originals

    Solution

    Nous allons utiliser la méthode de différenciation pour résoudre ce problème. Comme mentionné dans la question, nous recherchons un point de retournement maximum, qui est le sommet de la parabole. Il s'agit bien d'un point maximum puisque le coefficient de x2 est négatif puisque a = -0,3. Comme nous l'avons vu plus haut, notre parabole s'incurve vers le haut, comme il se doit.

    Pour localiser le point d'inflexion de cette courbe, nous allons d'abord calculer la dérivée première du modèle donné et la fixer à zéro.

    h'(x)=0-0.6x-2.7=0

    En la résolvant, nous obtenons

    -0.6x=2.7x=-9.2

    Cette coordonnée x indique la position à laquelle la balle est à son point le plus élevé. En introduisant cette valeur de x dans notre équation originale, nous obtenons

    h(-9.2)=-0.3(-9.2)2-2.7(-9.2)+1.8h(-9.2)=7.875

    Ainsi, le point le plus élevé que la balle peut atteindre depuis le sol est de 7,875 mètres.

    Le mouvement d'un pendule suit une courbe parabolique modélisée par

    p(x)=0.22x2+x-1.6,

    où p(x) est la longueur du pendule à partir de son point de suspension en centimètres. Détermine la longueur du pendule à partir de la barre lorsque la corde du pendule est à angle droit du point de suspension.

    Exemple 10, StudySmarter Originals

    Exemple 10, StudySmarter Originals

    Solution

    Nous allons utiliser la méthode de la ligne de symétrie pour traiter ce problème. Tout d'abord, note que le coefficient de x2 est a = 0,22 > 0. Comme il est positif, notre point d'inflexion est un minimum. Comme tu peux le voir ci-dessus, la parabole s'est incurvée vers le bas, comme il se doit. Ici, b = 1. En appliquant la formule de l'équation de la ligne de symétrie, nous obtenons

    x=-b2ax=-12(0.22)x=-2511

    En substituant cette valeur de x à notre équation originale, on obtient

    p2511=0.2225112+2511-1.6p2511=-301110p2511-2.74 (correct to 2 decimal places)

    Comme il s'agit de longueurs, nous pouvons considérer cette valeur comme positive, car il n'existe pas de distance négative. Ainsi, la longueur du pendule par rapport à la barre lorsque la corde du pendule est à angle droit par rapport au point de suspension est de 2,74 centimètres.

    Essaie toi-même : Essaie d'utiliser les autres méthodes pour trouver les points de retournement pour ces deux questions ci-dessus. Donnent-elles la même réponse ?

    Points d'inflexion - Principaux enseignements

    • Le point d'inflexion d'un graphique est un point où la courbe change de direction.
    • Le point d'inflexion d'un graphique est désigné par les coordonnées (x, y).
    • Pour une fonction quadratique de la forme y = ax2+ bx + c,
      • Si a < 0, le point d'inflexion est un minimum et constitue le point le plus bas de la courbe.
      • Si a > 0, le point d'inflexion est un maximum et est le point le plus élevé de la courbe.
    • Méthodes pour trouver le point d'inflexion d'un graphique
      • Ligne de symétrie
      • Factorisation
      • Compléter le carré
      • Différenciation
    Points de retournement Points de retournement
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    Questions fréquemment posées en Points de retournement
    Comment déterminer un point de retournement?
    Pour déterminer un point de retournement, on cherche où la dérivée seconde de la fonction change de signe.
    Qu'est-ce qu'un point de retournement?
    Un point de retournement est un point où la courbe change de concavité, passant de concave vers le haut à concave vers le bas, ou vice versa.
    Pourquoi les points de retournement sont-ils importants?
    Les points de retournement sont importants car ils indiquent des changements dans la direction de courbure d'une fonction, ce qui aide à comprendre sa forme globale.
    Peut-on avoir un point de retournement sans dérivée seconde nulle?
    Oui, un point de retournement peut exister même si la dérivée seconde n'est pas nulle; il suffit que la dérivée seconde change de signe.

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