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Dans cette section, nous allons examiner un nouveau concept appelé nombre imaginaire. Prenons la racine carrée de 2. Nous savons que cela donne la décimale non répétitive
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Maintenant, quelle est la racine carrée de -2 ? Tu pourrais penser qu'il n'y a pas de solution à la racine carrée d'un nombre négatif. Mais ce n'est pas le cas ! En fait, c'est là que le nombre imaginaire entre en jeu. Le concept de nombre imaginaire découle de l'unité imaginaire, désignée par la lettre i, et est représenté par la dérivation suivante :
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Ainsi, la racine carrée de -2 est simplement
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En fait, on peut additionner des nombres réels et des nombres imaginaires. Cette structure des nombres nous amène à l'idée d'un nombre complexe.
Un nombre complexe est une expression algébrique qui comprend le facteur i = √-1 et qui s'écrit sous la forme z = a + bi.
Forme standard des nombres complexes
La forme standard des nombres complexes est
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où
Cette forme est également désignée par
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Nombres réels et imaginaires
Il existe deux sous-classes importantes de nombres complexes : pour un nombre complexe z = a + bi
Si Im (z) = 0, alors z = a est un nombre réel.
Si Re (z) = 0, on dit que z = bi est purement imaginaire.
Pourquoi les nombres complexes sont-ils importants ?
Les nombres complexes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils sont largement utilisés dans le domaine de l'ingénierie électrique et de la mécanique quantique. Les nombres complexes nous aident également à résoudre des équations polynomiales qui n'ont pas de solutions réelles : jette un coup d'œil à Graphique et résolution d'équations quadratiques qui explique comment procéder.
Nous pouvons effectuer des opérations arithmétiques de base avec des nombres complexes, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Opérations avec des nombres complexes ; addition et soustraction
Dans cette section, nous allons expliquer les opérations les plus importantes que tu devrais être capable d'effectuer avec des nombres complexes :
- Addition et soustraction de nombres complexes
- Multiplication scalaire
- Multiplication et division de nombres complexes
Addition et soustraction de nombres complexes
Pour additionner des nombres complexes, il suffit d'ajouter les parties réelles et imaginaires correspondantes. La même règle s'applique pour la soustraction de nombres complexes.
Soit z1 et z2 deux nombres complexes avec z1 = a + bi et z2 = c + di, où a, b, c et d sont des nombres réels.
Formule d'addition des nombres complexes
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En distribuant le signe positif dans le deuxième terme (aux parties réelle et imaginaire) et en rassemblant les termes similaires, nous obtenons
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Formule de soustraction des nombres complexes
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En distribuant le signe négatif dans le deuxième terme (aux parties réelle et imaginaire) et en rassemblant les termes similaires, nous obtenons
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Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes.
Calcule α+ β
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Détermine α - β
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Multiplication scalaire des nombres complexes
La multiplication scalaire des nombres complexes est la multiplication d'un nombre réel et d'un nombre complexe. Dans ce cas, le nombre réel est également appelé le scalaire .
Pour multiplier un nombre complexe par un scalaire, il suffit de multiplier séparément les parties réelle et imaginaire par le scalaire.
Soit z = a + bi un nombre complexe et c un scalaire, où a, b et c sont des nombres réels.
Formule de multiplication scalaire des nombres complexes
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Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes.
Trouve7α
Dans ce cas, nous multiplions le nombre complexe α par le nombre réel 7 (aussi appelé scalaire) .
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Évalue2β
Dans ce cas, nous multiplions le nombre complexe β par le nombre réel 2 (également appelé scalaire).
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Multiplication des nombres complexes
La multiplication des nombres complexes est exactement la même que la technique de l'expansion binomiale : applique la méthode FOIL et combine les termes semblables.
Formule de multiplication des nombres complexes
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Voici comment fonctionne la méthode FOIL, étape par étape.
Soit z1 et z2 deux nombres complexes avec z1 = a + bi et z2 = c + di, où a, b, c et d sont des nombres réels. Pour les multiplier
- Ecris les deux sous la forme standard.
- Effectue le développement binomial.
- Combine les termes semblables.
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En notant que i2 = -1, on obtient
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En simplifiant, on obtient
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Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes.
Trouve α x β
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Division de nombres complexes
Si tu as une fraction de nombres complexes, multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur.
Pour un nombre complexe z = a + bi, le conjugué complexe de z est noté z* = a - bi.
Après cela, développe et simplifie l'expression sous la forme standard des nombres complexes. Le résultat est donné par la formule suivante :
Formule de division des nombres complexes
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Lorsque tu divises des nombres complexes, assure-toi d'écrire la réponse finale sous sa forme standard.
Voyons en pratique et étape par étape comment effectuer la division de nombres complexes. Soit z1 etz2 deux nombres complexes avec z1 = a + bi etz2 = c + di, où a, b, c et d sont des nombres réels. En divisant z1 parz2, on obtient
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Le conjugué complexe du dénominateur, z2, estz2*= c - di.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par z2*, on obtient
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En développant cette expression, on obtient
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Enfin, en combinant les termes similaires, nous obtenons
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Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes. Ici, β est le dénominateur. Le conjugué complexe de β est β* = 5 - 7i.
Calcule α ÷ β
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Ici, β est le dénominateur. Le conjugué complexe de β est β* = 5 - 7i. Ainsi, en multipliant le numérateur et le dénominateur par β*, on obtient :
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Opérations sur les nombres complexes - Principaux enseignements
| Opération | Formule |
| Addition | ![]() |
| Soustraction | ![]() |
| Multiplication scalaire | ![]() |
| Multiplication | ![]() |
| Division | ![]() |
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