Points, Lignes et Plans

Tout ce qui nous entoure comprend des formes géométriques. La meilleure description géométrique de la façon dont Berlin peut être représenté sur un globe est un point !

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    Nous rencontrons de nombreux types de lignes dans les routes, les bords du mur, les portes, etc. La surface de l'écran de cinéma est bidimensionnelle et ressemble à un plan.

    Nous allons voir ici l'introduction aux points, aux lignes et aux plans.

    Identifier les points, les lignes et les plans

    Un point est un emplacement exact dans l'espace. Un point n'a ni largeur, ni longueur, ni hauteur et n'a donc aucune dimension.

    Les points sont utilisés pour représenter un emplacement particulier dans les diagrammes et les graphiques. Ils sont généralement indiqués en lettres majuscules. Dans le diagramme ci-dessous, nous avons trois points et ils sont étiquetés A, B et C.

    PointsPoints, StudySmarter Original

    Leslignes sont formées par une infinité de points qui se prolongent des deux côtés.

    Contrairement aux points, les lignes ont une longueur et sont donc des objets unidimensionnels qui s'étendent des deux côtés à l'infini.

    S'il y a deux points A et B sur la ligne, nous pouvons représenter une ligne en l'écrivant comme suit AB ou BA.

    En général, lorsqu'il n'y a pas de points sur une ligne, celle-ci est représentée par des lettres d'écriture, telles que r, s et t.

    Une ligne qui a un point de départ mais pas de point d'arrivée s'appelle un rayon.

    Le rayon contenant deux points A et B, avec A comme point de départ, est représenté par AB.

    Une ligne qui a un point de départ et un point d'arrivée s'appelle un segment de ligne.

    Le segment entre les points A et B s'écrit AB¯.

    Rayon, segment de ligne et ligneRayon, segment de droite et ligne, StudySmarter Original

    Lesplans peuvent être considérés comme une infinité de lignes qui se croisent et qui s'étendent à l'infini dans toutes les directions.

    Les plans peuvent avoir une longueur et une largeur et sont donc des objets bidimensionnels. Les plans sont également représentés par des lettres majuscules.

    BâchePlan, StudySmarter Original

    Types de points

    Dans cette sous-section, nous apprendrons ce que sont les points colinéaires, non colinéaires, coplanaires, non coplanaires et le point de concours.

    Étant donné un point, nous pouvons tracer un nombre infini de lignes qui passent par ce point. Cependant, il n'y a exactement qu'une seule ligne qui peut être tracée et qui passe par deux points donnés.

    Dans le diagramme ci-dessous, la seule ligne qui pourrait être tracée à travers deux points P et Q est donnée.

    Une ligne unique passant par deux pointsUne seule ligne passe par les points P et Q, StudySmarter Original

    Supposons que nous ayons maintenant 3 points ou plus, nous posons alors la question suivante : existe-t-il une ligne qui passe par tous les points donnés ? En fonction de cela, nous pouvons classer les points en deux catégories :

    1. Les points colinéaires ;

    2. les points non colinéaires.

    Points colinéaires et non colinéaires

    On dit que 3 points ou plus sont colinéaires s'ils se trouvent tous sur une ligne droite.

    Dans le cas contraire, ils ne sont pas colinéaires.

    Points colinéairesPoints colinéaires, StudySmarter Original

    Dans le diagramme ci-dessus, les points A, B, C et D se trouvent tous sur la même ligne et sont donc des points colinéaires.

    Points non colinéairesPoints non colinéaires, StudySmarter Original

    Dans le diagramme ci-dessus, aucune ligne ne peut être tracée pour relier les quatre points A, B, C et D. Il s'agit donc de points non colinéaires.

    Les points non colinéaires ouvrent encore davantage le monde de la géométrie.

    Étant donné trois points non colinéaires, nous pouvons dessiner exactement un plan qui contient les trois points. De même, étant donné une ligne et un point, un seul plan peut les contenir tous les deux. De même, étant donné deux lignes parallèles, un seul plan peut les contenir toutes.

    Les points non colinéaires forment des plansTrois points, deux droites, ou une droite et un point extérieur à la droite forment un plan, StudySmarter Original

    Supposons maintenant que nous ayons 4 points ou plus, nous posons alors la question de savoir s'ils existent dans le même plan. En fonction de cela, nous pouvons classer un ensemble de points dans l'une des catégories suivantes

    1. Points coplanaires

    2. Points non coplanaires

    Points coplanaires et non coplanaires

    Si un ensemble de points se trouve sur le même plan, on les appelle des points coplanaires.

    Dans le cas contraire, il s'agit de points non coplanaires.

    Points coplanairesPoints coplanaires, StudySmarter Original

    Si deux ou plusieurs lignes se rencontrent en un point, on l'appelle le point de concordance.

    Points de concordancePoint de concordance, StudySmarter Original

    Identifie les points, les points colinéaires, les points non colinéaires et les points concourants à partir de la figure ci-dessous.

    Exemple 1

    Solution

    Les points sont A, B, C, D, E, F, G et H.

    L'ensemble des points colinéaires est {A, C, E}, {A, F, G} et {H, F, E}. Les points B et D ne sont pas colinéaires avec deux autres points.

    Le point F est un point concourant des droites AG and EH.

    Dans le diagramme ci-dessous, nous avons quelques points en 3 dimensions.

    Points en 3 dimensions

    Les points qui se trouvent dans le même plan sont A, B, C et D. Les points E et F sont en dehors de ce plan.

    Types de lignes

    Comme nous l'avons vu précédemment, une ligne s'étend dans les deux sens. Les lignes peuvent être droites ou courbes. Lorsque les lignes sont droites, nous pouvons les classer dans l'une des trois catégories ci-dessous.

    1. Ligne horizontale

    2. Ligne verticale

    3. Ligne oblique

    Types de lignesTypes de lignes, StudySmarter Original

    En observant l'image ci-dessus, nous pouvons dire que,

    • Leslignes horizontales vont de gauche à droite. Dans un diagramme cartésien, elles courent le long ou parallèlement à l'axe X ;

    • Leslignes verticales vont de haut en bas. Dans un diagramme cartésien, elles sont parallèles à l'axe des Y ;

    • Les lignes droites qui ne sont ni verticales ni horizontales sont appelées lignes obliques.

    Exemples concrets

    1. Lignes horizontales - Les bords des marches de l'escalier.
    2. Lignes verticales - Une rangée de grands arbres sur les autoroutes.
    3. Ligne oblique - La poignée de l'escalier.

    Lorsque nous avons deux lignes, soit elles se croisent, soit elles ne se croisent en aucun point. En fonction de cela, nous avons

    1. Des lignes parallèles

    2. Des lignes qui se croisent

    Lignes parallèles et lignes sécantes

    On dit que deux lignes sont parallèles si elles n'ont pas de point d'intersection.

    Si deux lignes se croisent, elles sont alors des lignes d'intersection.

    Lorsque deux lignes se croisent, elles se coupent en un point. En particulier, si l'angle entre les deux lignes est de 90º, on les appelle lignes perpendiculaires.

    Les lignes parallèles, les lignes d'intersection et les lignes perpendiculairesDroites parallèles, droites sécantes et droites perpendiculaires, StudySmarter Original

    Types de plans

    Comme pour deux lignes, nous pouvons classer deux plans donnés dans l'une ou l'autre des catégories suivantes

    1. Plans parallèles ou

    2. Plans qui se croisent

    Lorsque deux plans ne se croisent jamais, ils sont appelés plans parallèles.

    Dans le cas contraire, ils sont appelés plans sécants.

    Lorsque deux plans se croisent, ils se croisent le long d'une ligne. Et, de la même façon que les lignes, les plans peuvent aussi se croiser à un angle de 90º, ce que l'on appelle des plans perpendiculaires.

    Plans parallèles et plans qui se croisentPlans parallèles et plans sécants, StudySmarter Original

    Points, lignes et plans - Principaux points à retenir

    • Le point est sans dimension, la ligne est unidimensionnelle et le plan est un objet bidimensionnel.
    • De nombreuses lignes droites peuvent être tracées à partir d'un point. Une seule ligne peut être tracée à partir de deux points donnés. Si trois points ou plus se trouvent sur la même ligne, nous les appelons colinéaires. Sinon, il s'agit de points non colinéaires.
    • Il existe exactement un plan qui contient 3 points non colinéaires, une ligne et un point, et 2 lignes parallèles. Lorsque deux ou plusieurs points ou deux ou plusieurs lignes se trouvent dans le même plan, on dit qu'ils sont coplanaires. Dans le cas contraire, ils ne sont pas coplanaires.
    • Deux lignes se coupent en un point. Une ligne coupe un plan en un point. Le point de rencontre des deux plans est une ligne droite.
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    Questions fréquemment posées en Points, Lignes et Plans
    Qu'est-ce qu'un point en géométrie ?
    Un point en géométrie est une position précise dans l'espace, sans dimension, longueur ou largeur.
    Comment définir une ligne en mathématiques ?
    Une ligne est une série continue de points s'étendant à l'infini dans les deux directions, n'ayant qu'une seule dimension : la longueur.
    Qu'est-ce qu'un plan en géométrie ?
    Un plan est une surface plate s'étendant à l'infini en deux dimensions : longueur et largeur.
    Comment les points, lignes et plans interagissent-ils ?
    Un point peut se situer sur une ligne ou un plan, une ligne peut être contenue dans un plan, et deux plans peuvent se croiser en une ligne.

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