Résolution et Représentation Graphique des Inégalités Quadratiques

Résous l'inégalité $x^2+5x\ge -6$.

Solution

Étape 1 : En apportant -6 au côté gauche de l'inégalité, on obtient

$x^2+5x+6\ge 0$

En factorisant cette inégalité quadratique, on obtient

$(x+2)(x+3)\ge 0$

Étape 2 : Nous devons maintenant trouver les racines de l'inégalité. Notre premier réflexe est d'utiliser la propriété du produit nul. Cependant, il faut savoir que cette propriété est utilisée pour les équations, pas pour les inégalités. Au lieu de cela, nous devons résoudre les ordonnées à l'origine en transformant l'inégalité en équation, puis en ajustant le signe de l'inégalité à la situation actuelle en fonction des ordonnées à l'origine trouvées. Ceci est illustré ci-dessous.

$$\begin{gathered} (x+2)(x+3)=0 \\ \Rightarrow x+2=0 \\ \Rightarrow x=-2 \\ and \\ x+3=0 \\ \Rightarrow x=-3 \end{gathered}$$

Étape 3 : D'après le tableau, nous constatons que cette inégalité obéit au cas 2 avec a > 0. Comme y est positif, nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l'axe des x.

Étape 4 : Maintenant, en écrivant la solution en notation d'intervalle, nous obtenons

$x\le -2andx\ge -3$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'inégalité $10x^2<19x-6$.

Solution

Étape 1 : En amenant 19x et -6 au côté gauche de l'inégalité, on obtient

$10x^2-19x+6<0$

En factorisant cette inégalité quadratique, on obtient

$(5x-2)(2x-3)<0$

Étape 2 : Comme dans l'exemple précédent, nous allons traiter notre inégalité ci-dessus comme une équation afin de déterminer ses racines comme ci-dessous.

$$\begin{gathered} (5x-2)(2x-3)=0 \\ \Rightarrow 5x-2=0 \\ \Rightarrow x=\frac{2}{5} \\ and \\ 2x-3=0 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Étape 3: En nous référant à nouveau à notre tableau, nous voyons que cette inégalité obéit au cas 1 avec a > 0. Comme y est négatif, nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en dessous de l'axe des x.

Étape 4 : Ainsi, en écrivant la solution sous sa forme de notation d'intervalle correspondante, nous avons

$\frac{2}{5}<x<\frac{3}{2}$

Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Représente graphiquement l'inégalité quadratique $y>-x^2+x+6$.

Solution

Étape 1 : Nous commençons par tracer le graphique du polynôme $y=-x^2+x+6$

Le coefficient de ^x2 est négatif, la courbe s'ouvre donc vers le bas. En factorisant cette expression, on obtient

$$\begin{gathered} y=-(x^2-x-6) \\ \Rightarrow y=-(x+2)(x-3) \end{gathered}$$

En égalant cette expression à zéro, nous avons des racines à $x=-2andx=3$.

Puisque l'inégalité est >, notre courbe doit être une ligne pointillée. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 3 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Étape 2 : Testons maintenant un point à l'intérieur de la parabole, disons (1, 2). En introduisant x = 1 et y = 2 dans notre inégalité quadratique, nous trouvons que

$$\begin{gathered} 2>-{\left(1\right)}^2+\left(1\right)+6 \\ \Rightarrow 2>6 \end{gathered}$$

Étape 3 : 2 n'est pas supérieur à 6, donc l'inégalité échoue. Ainsi, (1, 2) n'est pas une solution à l'inégalité et nous devons donc ombrer la région à l'extérieur de la parabole comme indiqué ci-dessous.

Exemple 3 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Maintenant, si nous considérons l'inégalité quadratique à une variable, nous obtenons

$-x^2+x+6<0$

Par conséquent, y est négatif et nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en dessous de l'axe des x. Le graphique final est illustré ci-dessous.

Exemple 3 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Représente graphiquement l'inégalité quadratique $y\le 5x^2-10x+1$.

Solution

Étape 1 : Comme précédemment, nous allons d'abord tenter de représenter graphiquement le polynôme $y=5x^2-10x+1$.

Le coefficient de ^x2 est positif, la courbe s'ouvre donc. Remarque que nous ne pouvons pas factoriser cette expression à l'aide des méthodes de factorisation standard. Par conséquent, nous appliquerons la formule quadratique pour déterminer les racines.

Étant donné que

$a=5,b=-10,c=1$

nous évaluons

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \Rightarrow x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{{(-10)}^2-4\left(5\right)\left(1\right)}}{2\left(5\right)} \\ \Rightarrow x=\frac{10\pm \sqrt{80}}{10} \\ \Rightarrow x=\frac{10\pm 4\sqrt{5}}{10} \\ \Rightarrow x=1\pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

Ainsi, nous obtenons deux racines irrationnelles

$$\begin{gathered} x=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0.11(correctto2decimalplaces) \\ x=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 1.89(correctto2decimalplaces) \end{gathered}$$

Puisque l'inégalité est ≤, notre courbe doit être une ligne solide. Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 4 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Étape 2 : Vérifions maintenant un point à l'intérieur de la parabole, disons (1, -1). En introduisant x = 1 et y = -1 dans l'inégalité, nous trouvons que

$$\begin{gathered} -1\le 5{\left(1\right)}^2-10\left(1\right)+1 \\ \Rightarrow -1\le -4 \end{gathered}$$

Étape 3 : -1 n'est pas inférieur ou égal à -4, donc l'inégalité échoue. Ainsi, (1, -1) n'est pas une solution à l'inégalité et nous devons donc ombrer la région à l'extérieur de la parabole comme ci-dessous.

Exemple 4 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Maintenant, si nous considérons l'inégalité quadratique à une variable, nous obtenons

$5x^2-10x+6\ge 0$

Par conséquent, y est positif et nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l'axe des x. Le graphique final est illustré ci-dessous.

Exemple 4 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals

La hauteur d'une balle lancée entre deux personnes peut être modélisée par la fonction

$h\left(x\right)=-7x^2+15x+2$,

où la hauteur h est donnée en mètres et le temps x en secondes. À quel moment de son vol la balle se trouve-t-elle à moins de 6 mètres du sol ?

Solution

La hauteur du ballon est décrite par la fonction h.

Nous voulons trouver les valeurs de x pour lesquelles h(x) ≤ 6.

$$\begin{gathered} h\left(x\right)\le 6 \\ \Rightarrow -7x^2+15x+2\le 6 \\ \Rightarrow -7x^2+15x+2-6\le 0 \\ \Rightarrow -7x^2+15x-4\le 0 \end{gathered}$$

En faisant le graphique de la fonction y = ^-7x2 + 15x - 4, on obtient le croquis ci-dessous.

Exemple 5 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Les racines peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique car l'expression ^-7x2 + 15x - 4 ne peut pas être factorisée davantage à l'aide des méthodes de factorisation standard. Ce faisant, nous avons obtenu les deux racines suivantes, correctes à deux décimales près : x ≈ 0,31 et x ≈ 1,83.

En considérant maintenant l'inégalité, la région pour laquelle l'expression est satisfaite est indiquée ci-dessous.

Exemple 5 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Remarque que le graphique se trouve en dessous de l'axe des x lorsque x < 0,31 ou x > 1,83. À partir de là, nous concluons que la balle se trouve à moins de 6 mètres du sol pendant les 0,31 premières secondes de son vol et à nouveau après 1,83 seconde jusqu'à ce que la balle touche le sol à 2,14 secondes.