Résolution et Représentation Graphique des Inégalités Quadratiques

Auparavant, nous avions appris à représenter graphiquement les équations quadratiques pour trouver leurs racines. En visualisant ces équations quadratiques sous forme de graphique, nous avons pu déterminer le comportement de la courbe pour une équation quadratique donnée. Dans cette leçon, nous visons à représenter graphiquement les inégalités quadratiques de la même façon que nous l'avons fait pour les équations quadratiques.

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    Inégalités quadratiques

    Avant de commencer, définissons une inégalité quadratique.

    Une inégalité quad ratique est un polynôme du second degré qui utilise un signe d'inégalité au lieu d'un signe d'égalité.

    Il existe quatre types d'inégalités quadratiques (en deux variables) dont nous parlerons dans ce sujet, à savoir

    1. y>ax2+bx+c2. yax2+bx+c 3. y<ax2+bx+c4. yax2+bx+c

    Une inégalité quadratique à une variable n'a qu'une seule inconnue dans l'expression quadratique et peut être représentée sur un seul axe ou une seule droite numérique - il s'agit généralement de l'axe des x. Le graphique d'une inégalité quadratique à deux variables est constitué de toutes les paires ordonnées (x, y) qui sont des solutions à l'inégalité quadratique donnée.

    Une inégalité quadratique à deux variables décrit une région du plan cartésien dont la limite est une parabole (courbe). Ici, nous considérons les axes x et y.

    Les formes standard des inégalités quadratiques (en une variable) sont :

    1. ax2+bx+c>02. ax2+bx+c03. ax2+bx+c<04. ax2+bx+c0

    Résoudre des inégalités quadratiques à une variable

    La résolution d'inégalités quadratiques à une variable est essentiellement similaire à la résolution d'équations quadratiques. La seule différence est que nous cherchons à trouver l'intervalle de nombres réels pour lequel l'inégalité est satisfaite, plutôt que d'assimiler l'expression donnée à zéro.

    Dans cette section, nous utiliserons des méthodes de factorisation de base pour résoudre de telles inégalités quadratiques. Les étapes de cette technique sont expliquées ci-dessous.

    Étape 1 : Écris l'inégalité quadratique sous forme générale, c'est-à-dire avec ax2 + bx + c, où a 0, d'un côté de l'inégalité ;

    Étape 2 : factorise complètement l'expression quadratique de l'inégalité ;

    Étape 3: Identifie les racines de l'inégalité, par le biais d'une équation correspondante ;

    Étape 4 : Détermine le comportement de l'inégalité quadratique :

    1. Si l'inégalité est de la forme (x-a)(x-b)0, lorsque a<b alors, axb;

    2. Si l'inégalité est de la forme (x-a)(x-b)0,lorsque a<b alors, ax or xb.

    Étape 5 : Exprime la solution en notation d'inégalité ou en notation d'intervalle.

    Les cas a) et b) se suivent de façon similaire pour les inégalités < et > respectivement.

    Représentation graphique des inégalités quadratiques à une variable

    Pour évaluer les inégalités quadratiques à une variable, nous pouvons également utiliser le graphique du polynôme donné. Le tableau ci-dessous décrit la représentation graphique pour chaque cas d'inégalité que la quadratique peut avoir.

    La région ombrée dans les graphiques ci-dessous représente la solution correcte de l'inégalité quadratique donnée.

    Casa > 0 a < 0
    1ax2 + bx + c < 0
    Méthode :
    1. Trace le graphique y = ax2 + bx + c
    2. Puisque y est négatif, détermine les valeurs x pour lesquelles le graphique se situe en dessous de l'axe des x
    3. Pour >, n'inclus pas les ordonnées à l'origine dans la solution. Ceci est indiqué par des cercles ouverts (comme on le voit sur le graphique).
    4. Écris la solution en termes de notation d'intervalle (comme indiqué sous chaque graphique).

    Graphique d'inégalité Cas 1 (a), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Solution: x1 < x < x2

    Graphique d'inégalité Cas 1 (b), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Solution :x < x1 ou x > x2
    2ax2 + bx + c ≥ 0
    Méthode :
    1. Trace le graphique y = ax2 + bx + c.
    2. Puisque y est positif, détermine les valeurs x pour lesquelles le graphique se situe au-dessus de l'axe des x
    3. Pour ≤, inclus les intercepts des x dans la solution. Ceci est indiqué par des cercles fermés (comme on le voit sur le graphique)
    4. Écris la solution en fonction de sa notation d'intervalle (comme indiqué sous chaque graphique).

    Graphique d'inégalité Cas 2 (a), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Solution :x ≤ x1 ou x ≥ x2.

    Graphique d'inégalité Cas 2 (b), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Solution: x1 ≤ x ≤ x2

    Résous l'inégalité x2+5x-6.

    Solution

    Étape 1 : En apportant -6 au côté gauche de l'inégalité, on obtient

    x2+5x+60

    En factorisant cette inégalité quadratique, on obtient

    (x+2)(x+3)0

    Étape 2 : Nous devons maintenant trouver les racines de l'inégalité. Notre premier réflexe est d'utiliser la propriété du produit nul. Cependant, il faut savoir que cette propriété est utilisée pour les équations, pas pour les inégalités. Au lieu de cela, nous devons résoudre les ordonnées à l'origine en transformant l'inégalité en équation, puis en ajustant le signe de l'inégalité à la situation actuelle en fonction des ordonnées à l'origine trouvées. Ceci est illustré ci-dessous.

    (x+2)(x+3)=0x+2=0x=-2andx+3=0x=-3

    Étape 3 : D'après le tableau, nous constatons que cette inégalité obéit au cas 2 avec a > 0. Comme y est positif, nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l'axe des x.

    Étape 4 : Maintenant, en écrivant la solution en notation d'intervalle, nous obtenons

    x-2 and x-3

    Le graphique est illustré ci-dessous.

    Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Résous l'inégalité 10x2<19x-6.

    Solution

    Étape 1 : En amenant 19x et -6 au côté gauche de l'inégalité, on obtient

    10x2-19x+6<0

    En factorisant cette inégalité quadratique, on obtient

    (5x-2)(2x-3)<0

    Étape 2 : Comme dans l'exemple précédent, nous allons traiter notre inégalité ci-dessus comme une équation afin de déterminer ses racines comme ci-dessous.

    (5x-2)(2x-3)=05x-2=0x=25and 2x-3=0x=32

    Étape 3: En nous référant à nouveau à notre tableau, nous voyons que cette inégalité obéit au cas 1 avec a > 0. Comme y est négatif, nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en dessous de l'axe des x.

    Étape 4 : Ainsi, en écrivant la solution sous sa forme de notation d'intervalle correspondante, nous avons

    25 < x<32

    Le graphique est illustré ci-dessous.

    Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Représentation graphique des inégalités quadratiques à deux variables

    La représentation graphique des inégalités quadratiques (en deux variables) utilise les mêmes principes que la représentation graphique des inégalités linéaires. Tu trouveras ci-dessous une méthode détaillée pour résoudre ce type de problème.

    Étape 1 : Esquisse la fonction quadratique y = ax2 + bx + c. Détermine la nature de la parabole en fonction de l'inégalité donnée.

    • Dessine une parabole en pointillés pour les inégalités avec < ou > pour décrire que les points de la parabole ne sont pas des solutions.

    • Dessine une parabole pleine pour les inégalités avec ≤ ou ≥ pour décrire que les points sur la parabole sont des solutions.

    Glencoe McGraw-Hill, Algebra 2 (2008)

    Étape 2 : Prends un point (x1, y1) à l'intérieur de la parabole. Fais un test pour voir si ce point est une solution de l'inégalité.

    y1?a(x1)2+b(x1)+c

    Glencoe McGraw-Hill, Algèbre 2 (2008)

    Etape 3 : Ombrage la région correcte qui satisfait l'inégalité.

    • Si (x1, y1) est une solution, ombrage la région à l'intérieur de la parabole.

    • Si (x1, y1) n'est pas une solution, ombrage la région à l'extérieur de la parabole.

    Glencoe McGraw-Hill, Algèbre 2 (2008)

    Tu trouveras ci-dessous plusieurs exemples concrets pour illustrer cette technique.

    Représente graphiquement l'inégalité quadratique y>-x2+x+6.

    Solution

    Étape 1 : Nous commençons par tracer le graphique du polynôme y=-x2+x+6

    Le coefficient de x2 est négatif, la courbe s'ouvre donc vers le bas. En factorisant cette expression, on obtient

    y=-(x2-x-6)y=-(x+2)(x-3)

    En égalant cette expression à zéro, nous avons des racines à x=-2 and x=3.

    Puisque l'inégalité est >, notre courbe doit être une ligne pointillée. Le graphique est illustré ci-dessous.

    Exemple 3 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Étape 2 : Testons maintenant un point à l'intérieur de la parabole, disons (1, 2). En introduisant x = 1 et y = 2 dans notre inégalité quadratique, nous trouvons que

    2>-(1)2+(1)+62>6

    Étape 3 : 2 n'est pas supérieur à 6, donc l'inégalité échoue. Ainsi, (1, 2) n'est pas une solution à l'inégalité et nous devons donc ombrer la région à l'extérieur de la parabole comme indiqué ci-dessous.

    Exemple 3 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Maintenant, si nous considérons l'inégalité quadratique à une variable, nous obtenons

    -x2+x+6<0

    Par conséquent, y est négatif et nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en dessous de l'axe des x. Le graphique final est illustré ci-dessous.

    Exemple 3 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Utilisation de la formule quadratique pour résoudre les inéquations quadratiques

    Tout comme pour la résolution des équations quadratiques qui ne peuvent pas être factorisées à l'aide des techniques de factorisation standard, nous pouvons appliquer la formule quadratique pour évaluer les inéquations quadratiques.

    Représente graphiquement l'inégalité quadratique y5x2-10x+1.

    Solution

    Étape 1 : Comme précédemment, nous allons d'abord tenter de représenter graphiquement le polynôme y=5x2-10x+1.

    Le coefficient de x2 est positif, la courbe s'ouvre donc. Remarque que nous ne pouvons pas factoriser cette expression à l'aide des méthodes de factorisation standard. Par conséquent, nous appliquerons la formule quadratique pour déterminer les racines.

    Étant donné que

    a=5, b=-10, c=1

    nous évaluons

    x= -b±b2-4ac2ax=-(-10)±(-10)2-4(5)(1)2(5)x=10±8010x=10±4510x=1±255

    Ainsi, nous obtenons deux racines irrationnelles

    x=1-2550.11 (correct to 2 decimal places)x=1+2551.89 (correct to 2 decimal places)

    Puisque l'inégalité est ≤, notre courbe doit être une ligne solide. Le graphique est représenté ci-dessous.

    Exemple 4 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Étape 2 : Vérifions maintenant un point à l'intérieur de la parabole, disons (1, -1). En introduisant x = 1 et y = -1 dans l'inégalité, nous trouvons que

    -15(1)2-10(1)+1-1-4

    Étape 3 : -1 n'est pas inférieur ou égal à -4, donc l'inégalité échoue. Ainsi, (1, -1) n'est pas une solution à l'inégalité et nous devons donc ombrer la région à l'extérieur de la parabole comme ci-dessous.

    Exemple 4 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Maintenant, si nous considérons l'inégalité quadratique à une variable, nous obtenons

    5x2-10x+60

    Par conséquent, y est positif et nous devons choisir les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l'axe des x. Le graphique final est illustré ci-dessous.

    Exemple 4 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Exemples du monde réel utilisant les inégalités quadratiques

    Les inégalités quadratiques peuvent aider à modéliser certains types de scénarios du monde réel tels que la finance, le mouvement et l'architecture. Voici un exemple qui montre comment nous pouvons appliquer les inégalités quadratiques dans de tels cas.

    La hauteur d'une balle lancée entre deux personnes peut être modélisée par la fonction

    h(x)=-7x2+15x+2,

    où la hauteur h est donnée en mètres et le temps x en secondes. À quel moment de son vol la balle se trouve-t-elle à moins de 6 mètres du sol ?

    Solution

    La hauteur du ballon est décrite par la fonction h.

    Nous voulons trouver les valeurs de x pour lesquelles h(x) ≤ 6.

    h(x)6-7x2+15x+26-7x2+15x+2-60-7x2+15x-40

    En faisant le graphique de la fonction y = -7x2 + 15x - 4, on obtient le croquis ci-dessous.

    Exemple 5 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Les racines peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique car l'expression -7x2 + 15x - 4 ne peut pas être factorisée davantage à l'aide des méthodes de factorisation standard. Ce faisant, nous avons obtenu les deux racines suivantes, correctes à deux décimales près : x ≈ 0,31 et x ≈ 1,83.

    En considérant maintenant l'inégalité, la région pour laquelle l'expression est satisfaite est indiquée ci-dessous.

    Exemple 5 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

    Remarque que le graphique se trouve en dessous de l'axe des x lorsque x < 0,31 ou x > 1,83. À partir de là, nous concluons que la balle se trouve à moins de 6 mètres du sol pendant les 0,31 premières secondes de son vol et à nouveau après 1,83 seconde jusqu'à ce que la balle touche le sol à 2,14 secondes.

    Graphique et résolution d'inégalités quadratiques - Principaux points à retenir

    • Le graphique d'une inégalité quadratique est constitué de toutes les paires ordonnées (x, y) qui sont des solutions à l'inégalité quadratique donnée.
    • Résoudre des inégalités quadratiques à une variable
      1. Écris l'inégalité quadratique sous forme générale : ax2 + bx + c, où a 0.
      2. Factorise complètement l'expression quadratique de l'inégalité.
      3. Identifieles racines de l'inégalité
      4. Exprime la solution en notation d'inégalité ou en notation d'intervalle
      5. Détermine le comportement de l'inégalité quadratique.
    • Pour les inégalités < ou >, la parabole est une ligne en pointillés. Cela montre que les points de la parabole ne sont pas des solutions.
    • Pour les inégalités ≤ ou ≥, la parabole est pleine. Cela montre que les points de la parabole sont des solutions.
    • Représentation graphique des inégalités quadratiques à deux variables
      1. Esquisse la fonction quadratique y = ax2 + bx + c. Détermine la nature de la parabole en fonction de l'inégalité donnée.
      2. Prends un point (x1, y1) à l'intérieur de la parabole. Vérifie si ce point est une solution à l'inégalité.
      3. Ombre la région correcte qui satisfait à l'inégalité.
    • Pour ax2+ bx + c < 0, identifie les valeurs x pour lesquelles le graphique se trouve en dessous de l'axe des x (puisque y est négatif).
      • La solution devient x1 < x < x2
    • Pour ax2+ bx + c > 0, identifie les valeurs x pour lesquelles le graphique se situe au-dessus de l'axe des x (puisque y est positif).
      • La solution devient x < x1 ou x > x2
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    Questions fréquemment posées en Résolution et Représentation Graphique des Inégalités Quadratiques
    Qu'est-ce qu'une inégalité quadratique ?
    Une inégalité quadratique est une inégalité qui implique un polynôme de degré deux. Par exemple, ax² + bx + c > 0.
    Comment résoudre une inégalité quadratique ?
    Pour résoudre une inégalité quadratique, on commence par trouver les racines de l'équation quadratique, puis on teste les intervalles définis par ces racines.
    Comment représente-t-on graphiquement une inégalité quadratique ?
    Pour représenter graphiquement une inégalité quadratique, on trace la parabole correspondant à l'équation quadratique et on identifie les zones au-dessus ou en dessous de l'axe des x.
    Quelle est l'utilité de la forme factorisée pour résoudre des inégalités quadratiques ?
    La forme factorisée permet de trouver rapidement les racines de l'équation, facilitant l'identification des intervalles où l'inégalité est vraie.

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