Raisonnement inductif

Trouve le nombre suivant dans la séquence $1,2,4,7,11$ par raisonnement inductif.

Solution:

Observe : Nous voyons que la séquence est croissante.

Modèle :

Modèle de séquence, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Ici, le nombre augmente de $1,2,3,4$ respectivement.

Conjecture : Le prochain nombre sera 16, car $11+5=16.$

Dérive une conjecture pour trois nombres consécutifs et teste la conjecture.

Solution:

Considère des groupes de trois nombres consécutifs. Ici, ces nombres sont des entiers.

$1,2,3;5,6,7;10,11,12$

Pour émettre une conjecture, nous devons d'abord trouver un modèle.

$1+2+3;5+6+7;10+11+12$

Modèle : $1+2+3=6\Rightarrow 6=2\times 3$

$$\begin{gathered} 5+6+7=18\Rightarrow 18=6\times 3 \\ 10+11+12=33\Rightarrow 33=11\times 3 \end{gathered}$$

Comme nous pouvons voir ce modèle pour le type de nombres donné, émettons une conjecture.

Conjecture : La somme de trois nombres consécutifs est égale à trois fois le nombre du milieu de la somme donnée.

Nous allons maintenant tester cette conjecture sur une autre séquence afin de déterminer si la conclusion dérivée est en fait vraie pour tous les nombres consécutifs.

Test : Nous prenons trois nombres consécutifs $50,51,52.$

$50+51+52=153\Rightarrow 153=51\times 3$

La différence entre deux nombres est toujours inférieure à sa somme. Trouve le contre-exemple qui prouve que cette conjecture est fausse.

Solution:

Considérons deux nombres entiers disons -2 et -3.

Somme : $(-2)+(-3)=-5$

Différence : $$\begin{gathered} (-2)-(-3)=-2+3=1 \\ \therefore 1\nless -5 \end{gathered}$$

Ici, la différence entre les deux nombres -2 et -3 est plus grande que leur somme. La conjecture est donc fausse.

Fais une conjecture sur un modèle donné et trouve le suivant dans la séquence.

Exemple de séquence de raisonnement inductif, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solution:

Observation : D'après le modèle donné, nous pouvons voir que chaque quadrant d'un cercle devient noir un par un.

Conjecture : Tous les quadrants d'un cercle se remplissent de couleur dans le sens des aiguilles d'une montre.

Prochaine étape : Le prochain motif de cette séquence sera :

Figure suivante dans la séquence, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Fais et teste la conjecture pour la somme de deux nombres pairs.

Solution:

Considère le groupe suivant de petits nombres pairs.

$2+8;10+12;14+20$

Étape 1 : trouve la tendance entre ces groupes.

$$\begin{gathered} 2+8=10 \\ 10+12=22 \\ 14+20=34 \end{gathered}$$

D'après ce qui précède, nous pouvons observer que la réponse de toutes les sommes est toujours un nombre pair.

Étape 2 : fais une conjecture à partir de l'étape 2.

Conjecture : La somme des nombres pairs est un nombre pair.

Étape 3 : Vérifie la conjecture pour un ensemble particulier.

Considère quelques nombres pairs, disons, $68,102.$

La réponse à la somme ci-dessus est un nombre pair. La conjecture est donc vraie pour cet ensemble donné .

Pour prouver que cette conjecture est vraie pour tous les nombres pairs, prenons un exemple général pour tous les nombres pairs.

Étape 4 : Vérifier la conjecture pour tous les nombres pairs.

Considérons deux nombres pairs de la forme : $x=2m,y=2n$, où $x,y$ sont des nombres pairs et $m,n$ des nombres entiers.

$x+y=2m+2n=2(m+n)$

Il s'agit donc d'un nombre pair, puisqu'il s'agit d'un multiple de 2 et que $m+n$ est un entier.

Notre conjecture est donc vraie pour tous les nombres pairs.

Montre un contre-exemple pour le cas donné afin de prouver que sa conjecture est fausse.

Deux nombres sont toujours positifs si le produit de ces deux nombres est positif.

Solution:

Identifions d'abord l'observation et l'hypothèse pour ce cas.

Observation : Le produit des deux nombres est positif.

Hypothèse : Les deux nombres pris doivent être positifs.

Ici, nous devons considérer un seul contre-exemple pour montrer que cette hypothèse est fausse.

Prenons en considération les nombres entiers. Considérons -2 et -5.

$(-2)\times (-5)=10$

Ici, le produit des deux nombres est 10, ce qui est positif. Mais les nombres choisis -2 et -5 ne sont pas positifs. La conjecture est donc fausse.