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Récapitulation : Multiples et multiples communs
Avant de commencer, jetons un coup d'œil rapide à quelques sujets antérieurs liés à celui-ci, à savoir les multiples et les multiples communs.
Un multiple d'un nombre entier non nul \(A\) est un nombre entier non nul \(C\) qui peut être obtenu en le multipliant par un autre nombre, disons \(B\).
Essentiellement, \(B\ ) et \(C\) sont des multiples de \ (A\) si \ (B\) et \(C\) figurent dans la table de multiplication de \ (A\). Le multiple d'un nombre, disons \N (A\N), est donné par la formule générale,
\N- [\N-Texte{Multiple de}\N- a=a×z\N]
où \ (z\in\mathbb{Z}\). En général, si \ (A\time B=C\) , alors \ (A\) et \ (B\) sont des diviseurs (ou facteurs) de \ (C\) ou \ (C\) est le multiple de \ (A\) et \(B\). Nous pouvons utiliser la table de multiplication pour trouver un ensemble particulier de multiples pour un nombre donné.
D'autre part :
Un multiple commun est un multiple partagé entre deux (ou plusieurs) nombres.
Pour trouver les multiples communs d'un ensemble donné de nombres, il te suffit de dresser la liste des multiples de chaque nombre donné et de choisir les multiples identiques partagés entre eux. Pour le rappeler, prenons un exemple.
Trouve les 8 premiers multiples de 2 et de 6. Ont-ils des multiples communs pour cet intervalle ?
Solution
Le tableau ci-dessous présente les 8 premiers multiples (non nuls) de 2 et 6.
| Nombre | 8 premiers multiples |
| 2 | 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 |
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 |
Le tableau ci-dessus montre que les multiples communs de 2 et 6 pour cet intervalle sont 6 et 12.
Tu trouveras une explication détaillée des multiples et des multiples communs dans les rubriques Multiples et Multiples communs, respectivement.
Quel est le plus petit multiple commun ?
Le plus petit multiple commun est le résultat direct des multiples communs. Comment cela se fait-il ? Eh bien, revenons à notre exemple précédent.
Nous avons constaté que les multiples communs de 2 et 6 sont 6 et 12. En comparant ces deux multiples communs, on dit que 6 est le plus petit multiple commun de 2 et 6 puisque 6 est inférieur à 12. Cela nous amène à la définition suivante.
Leplus petit commun multiple (LCM) est le plus petit commun multiple partagé entre deux nombres (ou plus).
Le plus petit commun multiple sera abrégé en LCM tout au long de cette discussion.
Le LCM entre deux nombres donnés, disons \ (a\) et \ (b\), est désigné par
\[ \text{LCM}(a, b)=c\]
où \(c\) est le LCM. Avant de passer aux méthodes permettant de trouver le LCM d'un ensemble donné de nombres, il peut être utile de se familiariser avec certaines de leurs propriétés uniques.
Propriétés du LCM
Le tableau ci-dessous décrit deux propriétés importantes du LCM et les explique.
Propriété | Description et exemple |
Le LCM de deux nombres premiers est toujours le produit des nombres donnés. | Cette paire de nombres premiers est souvent appelée co-primes. Puisque chaque nombre premier a deux facteurs : 1 et le nombre lui-même, le seul facteur commun de tout nombre premier est 1.La formule générale de ce concept stipule que si \(a\N) et \N(b\N) sont des nombres premiers, alors le LCM de \N (a\N) et \N(b\N) est égal à \N(\Ntext{LCM}(a,b)=a\Nfois b\N). Par exemple, étant donné deux co-primes 2 et 7, le LCM de 2 et 7 est 14 puisque \[\text{LCM}(2,7)=2\times 7=14\] |
Le LCM de tout ensemble de nombres n'est jamais inférieur aux nombres donnés. | D'après la définition, le LCM est le plus petit nombre dans lequel un ensemble donné de nombres se divise. Souvent, le LCM sera plus grand que les deux ou au moins l'un des nombres donnés. Par exemple, le LCM de 3 et 4 est 12, ce qui est effectivement beaucoup plus grand que les nombres donnés. Dans un cas particulier, si l'on considère un ensemble de nombres dont l'un est un facteur de l'autre, le LCM est plus grand que le nombre lui-même. Par exemple, disons qu'on nous demande de trouver le LCM de 9 et de 18. Puisque 9 est un facteur de 18, alors 18 est le LCM de 9 et 18. |
Méthodes pour trouver le LCM
Le LCM est toujours différent de zéro, bien que zéro soit le plus petit multiple entre deux nombres. Il existe trois façons de trouver le LCM pour un ensemble donné de nombres, à savoir :
Méthode d'inscription ;
Méthode de factorisation des nombres premiers ;
Méthode de la division.
Nous allons maintenant étudier chaque méthode tour à tour, puis plusieurs exemples travaillés démontrant leurs techniques.
Méthode des multiples communs
Cette méthode te demande seulement d'énumérer les multiples de chaque nombre donné et d'identifier le plus petit multiple commun partagé entre eux.
Remarque importante : il n'est pas nécessaire de restreindre l'intervalle pour un ensemble donné de nombres. Pour trouver leur MCP, il te suffit d'identifier le premier plus petit commun multiple que tu vois et qui est partagé entre les nombres, c'est le MCP. Tu n'as pas besoin de tout énumérer ! Il suffit d'aller jusqu'au point pour lequel les multiples sont identiques.
Voici un exemple qui utilise cette approche.
Trouve le MCP de 18 et de 27.
Solution
Commençons par énumérer les premiers multiples (non nuls) de 18 et 27.
Étant donné un ensemble de nombres, énumère leurs multiples jusqu'à ce que tu trouves le premier multiple commun partagé entre eux. Il n'est pas nécessaire d'énumérer les multiples au-delà, car tu dois seulement trouver le plus petit multiple possible partagé entre eux.
Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72,...
Multiples de 27 : 27, 54, 81,...
À partir des listes ci-dessus, nous constatons que le LCM de 18 et 27 est 54. Ainsi, \(\text{LCM}(18, 27)=54\).
Voyons maintenant un autre exemple.
Identifie le LCM de 15, 20 et 25.
Solution
Comme précédemment, nous allons énumérer les premiers multiples de 15, 20 et 25.
Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, 225, 240, 255, 270, 285, 300,...
Multiples de 20 : 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320,...
Multiples de 25 : 25, 50, 75, 100,125, 150, 175, 200,225, 250, 275, 300, 325, ...
Ici, nous voyons que le LCM de 15, 20 et 25 est 300 et donc \(\text{LCM}(15, 20, 25)=300\).
Bien que cette méthode semble assez simple, elle n'est pas aussi appréciée que les deux autres. Cette méthode peut devenir assez longue et déroutante si l'on nous donne un ensemble de nombres qui ont une très grande différence entre eux.
Par exemple, disons qu'on nous demande de trouver le LCM de 2 et de 51. Cela prendrait beaucoup de temps avant de trouver un multiple commun partagé entre eux, car nous devrions passer par tous les multiples de 2 avant de trouver le nombre le plus proche de 51.
Pour résoudre ce problème, nous devrions utiliser la méthode de factorisation des nombres premiers ou la méthode du diviseur commun, comme nous le verrons bientôt dans les deux prochaines sections.
Méthode des facteurs premiers
Comme son nom l'indique, la méthode des facteurs premiers est une technique qui nous dit de décomposer un nombre donné comme le produit de ses facteurs premiers. Tu trouveras une discussion détaillée sur la factorisation des nombres premiers dans la rubrique : Factorisation des facteurs premiers. Ce processus se déroule en quatre étapes :
Étant donné un ensemble de nombres, écris chacun d'entre eux comme un produit de leurs facteurs premiers ;
Exprime ces produits sous la forme de leur exposant (ou indice) respectif ;
Identifie la puissance la plus élevée de tous les facteurs premiers pour les nombres donnés ;
Le LCM est le produit des facteurs premiers trouvés à l'étape 3.
Pour mieux comprendre ces instructions, observons un exemple qui utilise cette technique.
Trouve le LCM de 16, 24 et 28.
Solution
Pour commencer, décomposons chacun de ces nombres donnés en un produit de ses facteurs premiers.
\(16=2\times 2\times 2\times 2\)
\N- (24=2\times 2\times 2\times 3\N)
\N(28=2\times 2\times 7\N)
Nous allons maintenant écrire ces produits sous forme d'exposants.
\(16=2^4\)
\N- (24=2^3\N fois 3\N)
\N(28=2^2\Nfois 7\N)
À partir de là, on remarque que les facteurs premiers sont 2, 3 et 7, 4, 1 et 1 étant respectivement leur puissance la plus élevée. Le LCM est donc
\(\text{LCM}(16, 24, 28)=2^4\times 3\times 7=336\)
Revenons maintenant à notre énigme précédente.
Quel est le LCM de 2 et de 51 ?
Solution
En suivant notre exemple précédent, nous devons décomposer 2 et 51 en un produit de leurs facteurs premiers.
\(2=2\)
\N(51=3 fois 17\N)
En exprimant ces produits sous forme d'exposants, on obtient
\(2=2^1\)
\N(51=3^1\Nfois 17^1\N)
Les facteurs premiers, dans ce cas, sont 2, 3 et 17. La puissance la plus élevée pour chacun de ces facteurs premiers est 1. Par conséquent, le LCM est
\(\text{LCM}(2, 51)=2\times 3\times 17=102\)
Voici un autre exemple.
Trouve le LCM de 63, 125 et 245.
Solution
Comme précédemment, commençons par décomposer chacun de ces nombres donnés en un produit de ses facteurs premiers.
\(63=3 fois 3 fois 7 fois)
\(125=5\times 5\times 5\)
\N- (245=5\Ntimes 7\Ntimes 7\N)
Nous allons maintenant exprimer ces produits sous forme d'exposants.
\N- (63=3^2\N fois 7\N)
\(125=5^3\)
\N(245=5 fois 7^2\N)
Les facteurs premiers, dans ce cas, sont 3, 5 et 7, 2, 3 et 2 étant respectivement leur puissance la plus élevée. Le LCM est donc
\(\text{LCM}(63, 125, 245)=3^2 fois 5^3 fois 7^2=55125\)
Méthode de la division commune
Cette technique comporte trois étapes :
1. Construis un tableau de division de deux colonnes (comme indiqué ci-dessous). Place les nombres donnés dans la deuxième colonne. La première colonne sera l'endroit où nous mettrons les facteurs premiers.
Facteurs premiers | Nombres donnés |
2. Divise le plus petit nombre premier qui peut diviser au moins un des nombres donnés et abaisse les nombres après cette division. Les nombres qui ne sont pas divisibles peuvent être ramenés tels quels.
3. Continue ce processus jusqu'à ce que la dernière rangée ait un quotient de 1 pour les nombres donnés.
4. Multiplie tous les facteurs premiers obtenus dans la première colonne. C'est le LCM.
La méthode de division commune s'avère être l'approche la plus préférée des trois méthodes pour trouver le LCM. En effet, il suffit de regrouper tous les nombres donnés dans une table de division. Voici un exemple.
Quel est le LCM de 60, 72 et 84 ?
Solution
Construisons maintenant la table de division.
| 60, 72, 84 | |
Nous allons maintenant commencer notre processus de division. Remarque que 2 est le plus petit nombre premier divisible par les trois nombres donnés. N'oublie pas d'abaisser le quotient obtenu !
| 2 | 60, 72, 84 |
| 30, 36, 42 |
Encore une fois, nous pouvons diviser ces nombres par 2.
| 2 | 60, 72, 84 |
| 2 | 30, 36, 42 |
| 15, 18, 21 |
Remarque maintenant que 18 est le seul nombre divisible par 2. Nous n'aurons donc qu'un quotient résultant pour le nombre 18. Les nombres 15 et 21 seront ramenés tels quels.
| 2 | 60, 72, 84 |
| 2 | 30, 36, 42 |
| 2 | 15, 18, 21 |
| 15, 9, 21 |
Continuons maintenant ce processus jusqu'à ce que notre dernière ligne ait un quotient de 1 pour tous les nombres donnés.
| 2 | 60, 72, 84 |
| 2 | 30, 36, 42 |
| 2 | 15, 18, 21 |
| 3 | 15, 9, 21 |
| 3 | 5, 3, 7 |
| 5 | 5, 1, 7 |
| 7 | 1, 1, 7 |
| 1, 1, 1 |
Voilà ! Nous avons une table de division complète. Nous allons maintenant calculer le LCM en multipliant tous les facteurs premiers trouvés dans la partie gauche du tableau ci-dessus.
\(\text{LCM}(60, 72, 84)=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 7=2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\)
Nous allons examiner un dernier exemple avant de terminer cette section.
Quel est le LCM de 18, 39 et 42 ?
Solution
Comme précédemment, nous allons construire une table de division et diviser ces nombres donnés par le plus petit nombre premier jusqu'à ce que la dernière ligne ait un quotient de tous les 1 .
| 2 | 18, 39, 42 |
| 3 | 9, 39, 21 |
| 3 | 3, 13, 7 |
| 7 | 1, 13, 7 |
| 13 | 1, 13, 1 |
| 1, 1, 1 |
Pour calculer le LCM, nous allons multiplier tous les facteurs premiers obtenus dans la première colonne du tableau ci-dessus.
\(\text{LCM}(18, 39, 42)=2\times 3\times 3\times 7\times 13=2\times 3^2\times 7\times 13=1638\)
LCM vs. HCF
Dans cette partie, nous allons faire des comparaisons entre le LCM et le HCF. Note que le FCM est l'abréviation du facteur commun le plus élevé. Le tableau ci-dessous décrit chacune de leurs différences notables.
Multiple commun le plus bas (LCM) | Facteur commun le plus élevé (FCH) |
Le MCP est le plus petit commun multiple partagé entre un ensemble donné de nombres. | Le FCH est le plus grand facteur commun partagé entre un ensemble donné de nombres. |
Le MCP d'un ensemble donné de nombres est toujours supérieur (ou égal) aux nombres donnés. | Le FCH d'un ensemble de nombres donné est toujours inférieur (ou égal) aux nombres donnés. |
Le LCM est le plus petit nombre dans lequel un ensemble donné de nombres se divise. | L'HCF est le plus grand nombre qui divise un ensemble donné de nombres sans laisser de reste. |
Tu trouveras une explication détaillée à ce sujet dans la rubrique : Facteur commun le plus élevé.
Relation entre le LCM et le HCF
Il y a deux conditions qui relient le concept du LCM et du HCF, à savoir
La formule du LCM et du HCF ;
Le LCM et le HCF des fractions.
Dans cette section, nous allons examiner chacune de ces idées à tour de rôle avec un exemple connexe.
La formule du LCM et du HCF
Cette formule stipule que le produit du LCM et du HCF de deux nombres donnés est toujours égal au produit de ces nombres. Supposons que nous ayons deux nombres, \(a\) et \(b\), alors
\[\text{LCM}(a, b)\times \text{HCF}(a, b)=a\times b\]
Note que cette formule ne convient que pour deux nombres donnés.
Avec les nombres 6 et 8, le LCM et le HCF sont
\[\text{LCM}(6, 8)=24\]
\[\text{HCF}(6, 8)=2\]
Le produit du LCM et du HCF de 6 et 8 est
\[\text{LCM}(6,8)\Nfois \text{HCF}(6,8)=24\Nfois 2=48\N]
De même, le produit de 6 et 8 donne 48. La formule est donc valable.
\[\text{LCM}(6,8)\times \text{HCF}(6,8)=6\times 8=48\]
Le LCM et le HCF des fractions
Disons qu'on nous donne deux fractions, \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\). Nous pouvons obtenir le LCM et le HCF de ces deux fractions à l'aide des formules généralisées suivantes.
\[LCM=\frac{\text{LCM des numérateurs}}{\text{HCF des dénominateurs}}\]
\[HCF=\frac{\text{HCF des numérateurs}}{\text{LCM des dénominateurs}}\]
Voici un exemple.
Trouve le LCM et le HCF de \ (\frac{2}{3}\) et \(\frac{4}{5}\).
Solution
Les numérateurs sont ici 2 et 4 tandis que les dénominateurs sont 3 et 5. Commençons par trouver les composants nécessaires.
\[\text{LCM des numérateurs}=\text{LCM}(2, 4)=4\]
\[\text{LCM des dénominateurs}=\text{LCM}(3, 5)=15\]
\[\text{HCF des numérateurs}=\text{HCF}(2, 4)=2\]
\[\text{HCF des dénominateurs}=\text{HCF}(3, 5)=1\]
Maintenant que nous disposons de ces informations, nous pouvons trouver le LCM et le HCF des fractions données.
\[LCM=\frac{4}{1}=4\]
\[HCF=\frac{2}{15}\]
Exemples impliquant LCM
Nous allons conclure cette discussion avec quelques autres exemples pratiques qui appliquent le LCM.
Utilise la méthode des facteurs premiers pour déduire le LCM de 9, 21 et 36.
Solution
Nous allons commencer par décomposer chacun de ces nombres donnés en un produit de ses facteurs premiers.
\(9=3 fois 3)
\N- (21=3\Nfois 7\N)
\N- (36=2\Nfois 2\Nfois 3\Nfois 3\N)
Nous allons maintenant exprimer ces produits sous forme d'exposants.
\(9=3^2\)
\N- (21=3 fois 7 fois)
\N- (36=2^2\N fois 3^2\N)
Les facteurs premiers sont ici 2, 3 et 7, 2, 1 et 1 étant respectivement leur puissance la plus élevée. Par conséquent, le LCM est
\(\text{LCM}(9, 21, 36)=2^2\times 3^2\times 7=252\)
Voici un autre exemple.
Utilise la méthode de la division commune pour trouver le LCM de 14, 54 et 77.
Solution
Pour résoudre ce problème, nous allons construire une table de division et diviser ces nombres donnés par le plus petit nombre premier jusqu'à ce que la dernière ligne ait un quotient de 1.
| 2 | 14, 54, 77 |
| 3 | 7, 27, 77 |
| 3 | 7, 9, 77 |
| 3 | 7, 3, 77 |
| 7 | 7, 1, 77 |
| 11 | 1, 1, 11 |
| 1, 1, 1 |
Le LCM est le produit de tous les facteurs premiers obtenus dans la première colonne du tableau ci-dessus.
\(\text{LCM}(14, 54, 77)=2\times 3\times 3\times 3\times 7\times11=2\times 3^3\times 7\times 11=4158\)
Exemples du monde réel utilisant le LCM
Le LCM peut également être appliqué à des problèmes du monde réel, comme nous l'avons vu au début de notre discussion. Rappelons cet exemple et utilisons l'idée d'un LCM pour le résoudre.
Ella a une poignée de bonbons qu'elle aimerait distribuer à ses amis. Elle décide de diviser ces bonbons en 3 piles égales. Elle change ensuite d'avis et décide de les diviser plutôt en 4 piles égales. Quel est le plus petit nombre de bonbons qu'Ella pourrait avoir ?
Solution
Compte tenu des informations ci-dessus, nous observons qu'Ella est capable de diviser sa poignée de bonbons en groupes de 3 et 4. Le plus petit nombre possible de bonbons qu'elle pourrait avoir serait le plus petit multiple commun de 3 et 4. Commençons par énumérer les premiers multiples de 3 et 4.
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15,...
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16,...
En examinant les listes ci-dessus, nous constatons que le LCM de 3 et 4 est 12. Puisque 12 est effectivement divisible par 3 et 4, nous pouvons conclure qu'Ella a un total de 12 bonbons.
Par conséquent, si Ella devait diviser ses bonbons en 3 groupes égaux, elle aurait 4 bonbons dans chaque pile. Cependant, si Ella devait diviser ses bonbons en 4 groupes égaux, elle aurait 3 bonbons dans chaque pile.
Nous allons observer un dernier exemple du monde réel pour conclure cette discussion.
Emily a un jardin dans l'arrière-cour qui peut contenir entre 400 et 600 plantes en pot. Un jour, elle est rentrée chez elle avec un certain nombre de plantes en pot qu'elle aimerait placer dans son jardin. Elle est en mesure de disposer ces plantes en rangées de 63 et 81 pots. Combien de plantes en pot a-t-elle achetées ?
Solution
Pour trouver le nombre de plantes en pot qu'Emily possède, il faudrait trouver le plus petit commun multiple de 63 et 81 puisqu'elle est capable de les disposer en rangées de 63 et 81 pots. Note en outre qu' étant donné une restriction d'intervalle, nous n'avons besoin que d'énumérer les multiples de 63 et 81 compris entre 400 et 600.
Énumérons maintenant les multiples de 63 et 81.
Multiples de 63 : 441, 504, 567
Multiples de 81 : 405, 468, 567
À partir de là, nous constatons que le LCM de 63 et 81 est 567. Emily a donc acheté 567 plantes en pot pour son jardin.
Le plus petit commun multiple - Principaux enseignements
- Le plus petit commun multiple est le plus petit commun multiple partagé entre un ensemble donné de nombres.
- Propriétés du MCP
- Le LCM de deux nombres premiers est toujours le produit des nombres donnés.
- Le LCM de n'importe quel ensemble de nombres n'est jamais inférieur aux nombres donnés.
- Méthodes pour trouver le LCM
Méthode de l'énumération ;
Méthode de factorisation des nombres premiers ;
Méthode de division.
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