Aire et périmètre des quadrilatères

Trouve le périmètre du parallélogramme ci-dessous.

Exemple 2, StudySmarter Originals

Solution

Rappelle-toi qu'un parallélogramme a des côtés opposés de même longueur. Cela signifie que PQ = SR et PS = QR. Ainsi, SR = 16 cm et QR = 10 cm.

Pour trouver le périmètre de cette forme donnée, il suffit d'ajouter la longueur totale de chaque côté comme indiqué.

$$\begin{gathered} P=16+16+10+10 \\ \Rightarrow P=2\left(16\right)+2\left(10\right) \\ \Rightarrow P=32+20 \\ \Rightarrow P=52cm \end{gathered}$$

Ainsi, le périmètre de ce parallélogramme est de 52 cm.

Trouve la longueur des côtés manquants du cerf-volant ci-dessous étant donné que le périmètre est égal à 98 cm.

Exemple 3, StudySmarter Originals

Solution

Tout d'abord, note qu'un cerf-volant a deux paires de côtés adjacents égaux. Cela signifie que WZ = WX (et YZ = YX = 32 cm).

En utilisant la formule du périmètre d'un quadrilatère, nous obtenons

$$\begin{gathered} P=32+32+WX+WZ \\ \Rightarrow 98=64+WX+WX \\ \Rightarrow 98=64+2WX \end{gathered}$$

En réarrangeant cette formule, on obtient

$$\begin{gathered} 64+2WX=98 \\ \Rightarrow 2WX=98-64 \\ \Rightarrow 2WX=34 \end{gathered}$$

En simplifiant encore,

$$\begin{gathered} WX=\frac{34}{2} \\ \Rightarrow WX=17cm \end{gathered}$$

La longueur de WX et WZ est donc de 17 cm.

Trouve le périmètre d'un rectangle dont les sommets sont situés en A (1, 6), B (1, 2), C (4, 2) et D (4, 6).

Solution

Commençons par esquisser ce quadrilatère sur le plan cartésien.

Exemple 4, StudySmarter Originals

Puisque nous avons un rectangle, AB = DC et AD = BC. Nous pouvons donc utiliser la formule de la distance pour calculer les longueurs de AB et AD.

Distance AB, A (1, 6) et B (1, 2)

$$\begin{gathered} D_{AB}=\sqrt{{(1-1)}^2+{(2-6)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{(-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{16} \\ \Rightarrow D_{AB}=4units \end{gathered}$$

Distance AD, A (1, 6) et D (4, 6)

$$\begin{gathered} D_{AD}=\sqrt{{(4-1)}^2+{(6-6)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{{\left(3\right)}^2+{\left(0\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{9} \\ \Rightarrow D_{AD}=3units \end{gathered}$$

Périmètre ABCD

$$\begin{gathered} P=AB+DC+AD+BC \\ \Rightarrow P=4+4+3+3 \\ \Rightarrow P=14units \end{gathered}$$

Déduis le périmètre d'un quadrilatère dont les sommets sont situés en A (-2, 8), B (0, 8), C (1, 4) et D (-1, 6).

Solution

Commençons par esquisser ce quadrilatère sur le plan cartésien.

Exemple 5, StudySmarter Originals

En regardant le croquis ci-dessus, nous devons trouver la distance entre AB, BC, CD et AD pour calculer le périmètre de ABCD.

Distance AB, A (-2, 8) et B (0, 8)

$$\begin{gathered} D_{AB}=\sqrt{{(-2-0)}^2+{(8-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(0\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{4} \\ \Rightarrow D_{AB}=2units \end{gathered}$$

Distance BC, B (0, 8) et C (1, 4)

$$\begin{gathered} D_{BC}=\sqrt{{(1-0)}^2+{(4-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{BC}=\sqrt{{\left(1\right)}^2+{(-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{BC}=\sqrt{1+16} \\ \Rightarrow D_{BC}=\sqrt{17}units \end{gathered}$$

DistanceCD, C (1, 4) et D (-1, 6)

$$\begin{gathered} D_{CD}=\sqrt{{(-1-1)}^2+{(6-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{CD}=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(2\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{CD}=\sqrt{4+4} \\ \Rightarrow D_{CD}=\sqrt{8} \\ \Rightarrow D_{CD}=2\sqrt{2}units \end{gathered}$$

Distance AD, A (-2, 8) et D (-1, 6)

$$\begin{gathered} D_{AD}=\sqrt{{(-1-2)}^2+{(6-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{{(-3)}^2+{(-2)}^2} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{9+4} \\ \Rightarrow D_{AD}=\sqrt{13}units \end{gathered}$$

Périmètre ABCD

$$\begin{gathered} P=AB+DC+AD+BC \\ \Rightarrow P=2+\sqrt{17}+2\sqrt{2}+\sqrt{13} \\ \Rightarrow P=12.6units(correcttoonedecimalplace) \end{gathered}$$

Calcule l'aire du losange ci-dessous sachant que PO = 7 cm et SO = 4cm. Le point O est le point où les deux diagonales PR et SQ se coupent perpendiculairement.

Exemple 6, StudySmarter Originals

Solution

Rappelle-toi : Nous avons besoin des mesures des diagonales PR et SQ du losange pour calculer sa surface. Puisque les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent, nous trouvons que PO = OR et SO = OQ et donc,

$$\begin{gathered} PR=PO+OR=2PO \\ SQ=SO+OQ=2SO \end{gathered}$$

En résolvant ce problème, on obtient

$$\begin{gathered} PR=2\left(7\right)=14cm \\ SQ=2\left(4\right)=8cm \end{gathered}$$

Ainsi, la diagonale verticale, PR est de 14 cm et la diagonale horizontale, SQ est de 8 cm. Par la formule de l'aire d'un losange,

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\times 14\times 8 \\ \Rightarrow A=\frac{112}{2} \\ \Rightarrow A=56c{m}^2 \end{gathered}$$

L'aire de ce losange est donc de 56 ^cm2.

Quelle est la hauteur du trapèze ci-dessous, sachant que son aire est de 330 ^cm2?

Exemple 7, StudySmarter Originals

Solution

Puisque AB est parallèle à DC, les bases de ce trapèze sont données par AB = 13 cm et DC = 31 cm. La hauteur est donnée par AD. Par la formule de l'aire d'un trapèze, nous obtenons

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\times \left(13+31\right)\times AD \\ \Rightarrow 330=\frac{1}{2}\times \left(44\right)\times AD \\ \Rightarrow 330=22\times AD \end{gathered}$$

En réarrangeant ceci et en simplifiant notre expression, nous obtenons

$$\begin{gathered} 22\times AD=330 \\ \Rightarrow AD=\frac{330}{22} \\ \Rightarrow AD=15cm \end{gathered}$$

Ainsi, la hauteur de ce trapèze, AD, est de 15 cm.

Trouve la surface d'un cerf-volant dont les sommets sont situés en A (0, 4), B (1, 2), C (0, -4) et D (-1, 2).

Solution

Commençons par esquisser ce quadrilatère sur le plan cartésien.

Exemple 8, StudySmarter Originals

Puisque nous avons un cerf-volant, nous avons besoin de la longueur des diagonales pour évaluer sa surface. Les diagonales sont ici AC et BD.

Distance AC, A (0, 4) et C (0, -4)

$$\begin{gathered} D_{AC}=\sqrt{{(0-0)}^2+{(-4-4)}^2} \\ \Rightarrow D_{AC}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{(-8)}^2} \\ \Rightarrow D_{AC}=\sqrt{64} \\ \Rightarrow D_{AC}=8units \end{gathered}$$

DistanceBD, B (1, 2) et D (-1, 2)

$$\begin{gathered} D_{BD}=\sqrt{{(-1-1)}^2+{(2-2)}^2} \\ \Rightarrow D_{BD}=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(0\right)}^2} \\ \Rightarrow D_{BD}=\sqrt{4} \\ \Rightarrow D_{BD}=2units \end{gathered}$$

Surface ABCD

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\times AC\times DB \\ \Rightarrow A=\frac{1}{2}\times 8\times 2 \\ \Rightarrow A=8unit{s}^2 \end{gathered}$$

Trouve l'aire d'un carré dont les sommets sont A (2, 3), B (2, -3), C (-2, -3) et D (-2, 3).

Solution

Commençons par esquisser ce quadrilatère sur le plan cartésien.

Exemple 9, StudySmarter Originals

Comme pour un carré, AB = BC = CD = AD. Il suffit donc de trouver un côté pour calculer l'aire de ce carré. Nous choisirons de trouver AB.

Distance AB, A (2, 3) et B (2, -3)

$$\begin{gathered} D_{AB}=\sqrt{{(2-2)}^2+{(-3-3)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{(-6)}^2} \\ \Rightarrow D_{AB}=\sqrt{36} \\ \Rightarrow D_{AB}=6units \end{gathered}$$

Surface ABCD

$$\begin{gathered} A=AB\times BC \\ \Rightarrow A={\left(AB\right)}^2 \\ \Rightarrow A=6^2 \\ \Rightarrow A=36unit{s}^2 \end{gathered}$$

Trouve le périmètre et l'aire du parallélogramme MBND inscrit dans le rectangle ABCD ci-dessous. Ici, AM = 6cm.

Exemple 10, StudySmarter Originals

Solution

La formule de l'aire d'un parallélogramme nécessite la longueur de sa largeur et de sa hauteur perpendiculaire. La largeur est décrite par MB (ou DN et MB = DN) tandis que la hauteur perpendiculaire est définie par MO. La longueur de MO est égale à la hauteur du rectangle ABCD. Ainsi, MO = AD = BC = 55 cm.

La largeur du rectangle est AB = 84 cm. Elle est constituée des deux segments de droite AM et MB, donc

$$\begin{gathered} AB=AM+MB \\ \Rightarrow 84=48+MB \\ \Rightarrow MB=84-48 \\ \Rightarrow MB=36cm \end{gathered}$$

La longueur de MB est donc de 36 cm. Par la formule de l'aire d'un parallélogramme, on obtient

$$\begin{gathered} A_{MBND}=55\times 36 \\ \Rightarrow A_{MBND}=1980c{m}^2 \end{gathered}$$

L'aire de ce parallélogramme est donc de 1980 ^cm2.

Nous devons maintenant trouver la longueur du côté MD pour calculer le périmètre de ce parallélogramme. Remarque que MOD est un triangle rectangle. Puisque nous avons les longueurs de MO = 55 cm et DO = AD = 48 cm, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore ! Ici, MD est l'hypoténuse.

$$\begin{gathered} M{D}^2={55}^2+{48}^2 \\ \Rightarrow M{D}^2=3025+2304 \\ \Rightarrow M{D}^2=5329 \\ \Rightarrow MD=\sqrt{5329} \\ \Rightarrow MD=73cm \end{gathered}$$

La longueur de MD est donc de 73 cm. Note que MD = BN. Le périmètre est donc égal à 218 cm puisque

$$\begin{gathered} P_{MBDN}=73+73+36+36 \\ \Rightarrow P_{MBDN}=218cm \end{gathered}$$